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- 2021-11-10 发布
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4.4 两个三角形相似的判定(2)
(见B本39页)
A 练就好基础 基础达标
1.如图所示,指出下列四个三角形中相似的三角形,正确的是( B )
第1题图
A.①和② B.①和④
C.③和④ D.①和④,②和③
2.如图所示,在△ABC中,D是AB上一点,且AC2=AD·AB,则( A )
A.△ADC∽△ACB B.△BDC∽△BCA
C.△ADC∽△CDB D.无相似三角形
第2题图
第3题图
3.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( B )
A.①与②相似 B.①与③相似
5
C.①与④相似 D.②与④相似
4.如图所示,点M在BC上,点N在AM上, CM=CN,=,下列结论中正确的是( B )
第4题图
A.△ABM∽△ACB B.△ANC∽△AMB
C.△ANC∽△ACM D.△CMN∽△BCA
5.如图所示,BC平分∠ABD,AB=9,BD=25,当BC=__15__时,△ABC∽△CBD.
第5题图
第6题图
6.如图所示,零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度为__2.5__mm.
7.在△ABC中,AB=4 cm,AC=2 cm.
(1)在AB上取一点D,当AD=__1__cm时,△ACD∽△ABC;
(2)在AC的延长线上取一点E,当CE=__6__cm时,△AEB∽△ABC.
第8题图
8.2017·铜仁中考如图所示,已知:∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
证明:∵AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.
∴==1.2,==1.2,
∴=,∵∠BAC=∠EAD,
∴△ABC∽△AED.
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第9题图
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为CB的延长线上的一点,E为BC的延长线上的一点,且满足AB2=DB·CE.
求证:△ADB∽△EAC.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB2=DBCE,∴=,∴=,
∴△ADB∽△EAC.
B 更上一层楼 能力提升
第10题图
10.如图所示,△OPQ在边长为1个单位的方格纸中,它们的顶点在小正方形顶点位置,点A,B,C,D,E也是小正方形的顶点,从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似,那么这个三角形是__△CDB__.
第10题答图
解:与△OPQ相似的是△BCD;理由如下:
连接BC,BD,如图所示:
则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP,
由勾股定理,得OP=BC=,
∵OQ=2,CD=1,
∴==,
∴△OPQ∽△CDB.
5
第11题图
11.如图所示,在△ABC中,AC=8 cm,BC=16 cm,点P从点A出发,沿着AC边向点C以1 cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿着CB边向点B以2 cm/s的速度运动,如果P与Q同时出发,经过几秒△PQC和△ABC相似?
解:设经过x(s),两三角形相似,
则CP=AC-AP=8-x,CQ=2x,
①当CP与CA是对应边时,=,即=, 解得x=4;
②当CP与BC是对应边时,=,
即=, 解得x=.
故经过4 s或 s,△PQC和△ABC相似.
第12题图
12.福州中考如图所示,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连结BD.
(1)通过计算,说明AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
解:(1)∵AD=BC,BC=,
∴AD=,DC=1-=.
∴AD2==,AC·CD=1×=.
∴AD2=AC·CD.
(2)∵AD=BC,AD2=AC·CD,
∴BC2=AC·CD,即=.
又∵∠C=∠C,
∴△BCD∽△ACB.
∴==1,∠DBC=∠A.
5
∴DB=CB=AD.
∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC.
设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°.
解得x=36°.∴∠ABD=36°.
C 开拓新思路 拓展创新
13.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC.
爱思考的小聪学了本节课进行了如下的推理:
第13题图
∵AD∥BC,
∴△AOD∽△COB,
∴=,又∵∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△DOC.
你认为小聪的推理正确吗?写出你的观点.
解:不正确.理由是=与∠AOB=∠DOC,不能构成△AOB∽△DOC的条件,因为边的对应关系错误.
第14题图
14.如图所示,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=,BC=1.连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.
(1)求证:△BFG∽△FEG.
(2)求出BF的长.
解:(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,
∴BC=CE=EG=BG=1,即BG=3,
又∵FE=AB=,∴===,
又∵∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG.
(2)∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形,
∴BF=BG=3.
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