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  • 2021-11-10 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第25讲 辅助圆

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1 第二十五讲 辅助圆 在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质,问题才得以解决. 而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但是此圆并 不是我们需要用的圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的实际存在的圆找出 来,添补辅助圆的常见方法有: 1.利用圆的定义添补辅助圆; 2.作三角形的外接圆; 3.运用四点共圆的判定方法: (1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆. (2)同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆. (3)若四边形 ABCD 的对角线相交于 P,且 PA·PC=PB·PD,则它的四个顶点共圆. (4)若四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线相交于 P,且 PA·PB=PC·PD,则它 的四个顶点共圆. 【例题求解】 【例 1】如图,直线 AB 和 AC 与⊙O 分别相切于 B、C,P 为圆上一点,P 到 AB、AC 的距 离分别为 4cm、6cm,那么 P 到 BC 的距离为 . 思路点拨 连 DF,EF,寻找 PD、PE、PF 之间的关系,证明△PDF∽△PFE,而发现 P、D、 B、F 与 P、E、C、F 分别共圆,突破角是解题的关键. 注:圆具有丰富的性质: (1)圆的对称性; (2)等圆或同圆中不同名称量的转化; (3)与圆相关的角; (4)圆中比例线段. 适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,由于图形的复杂性, 有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”. 【例 2】 如图,若 PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC 与 PB 交于点 P,且 PB=4,PD=3,则 AD·DC 等于( ) A.6 B.7 C.12 D.16 思路点拨 作出以 P 点为圆心、PA 长为半径的圆,为相交弦定理的应用创设了条件. 2 注:到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法. 【例 3】 如图,在△ABC 中,AB=AC,任意延长 CA 到 P,再延长 AB 到 Q,使 AP=BQ, 求证:△ABC 的外心 O 与 A,P,Q 四点共圆. 思路点拨 先作出△ABC 的外心 O,连 PO、OQ,将问题转化为证明角相等. 【例 4】 如图,P 是⊙O 外一点,PA 切⊙O 于 A,PBC 是⊙O 的割线,AD⊥PO 于 D.求 证: CD PC PD PB  . 思路点拨 因所证比例线段不是对应边,故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证 明.PA2=PD·PO=PB·PC,B、C、O、D 共圆,这样连 OB,就得多对相似三角形,以此 达到证明的目的. 注:四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明三角形全等和 相似三角形有着同等重要的地位,这是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系的条件集中 或转移,而且可直接运.用圆的性质为解题服务. 【例 5】如图,在△ABC 中,高 BE、CF 相交于 H,且∠BHC=135°,G 为△ABC 内的一 点,且 GB=GC,∠BGC=3∠A,连结 HG,求证:HG 平分∠BHF. 思路点拨 经计算可得∠A=45°,△ABE,△BFH 皆为等腰直角三角形,只需证∠GHB= ∠GHF=22.5°. 由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC,得 B、G、H、C 四点共圆,运用圆中角转化灵活的特点 证明. 3 注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题的难度,使问题获得简解、巧解或新解. 学力训练 1.如图,正方形 ABCD 的中心为 O,面积为 1989cm2,P 为正方形内一点,且∠OPB=45°, PA:PB=5:14,则 PB 的长为 . 2.如图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC 边上有 100 个不同的点 Pl、P2,…P100,记 CPBPAPm iiii  2 (i=1,2,…100),则 10021 mmm   = . 3.设△ABC 三边上的高分别为 AD、BE、CF,且其垂心 H 不与任一顶点重合,则由点 A、 B、C、D、E、F、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 4.如图,已知 OA=OB=OC,且∠AOB= k ∠BOC,则∠ACB 是∠BAC 的( ) A. k2 1 倍 B.是 k 倍 C. k2 D. k 1 5.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=998,CD=1001,AD=1999,点 P 在线段 AD 上,满足条件的∠BPC=90°的点 P 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 1 D.不小于 3 的整数 6.如图,AD、BE 是锐角三角形的两条高,S△ABC= 18,S△DEC=2,则 COSC 等于( ) 4 A.3 B. 3 1 C. 3 2 D. 4 3 7.如图;已知 H 是△ABC 三条高的交点,连结 DF,DE,EF,求证:H 是△DEF 的内心. 8.如图,已知△ABC 中,AH 是高,AT 是角平分线,且 TD⊥AB,TE⊥AC. 求证:(1)∠AHD=∠AHE;(2) CE CH BD BH  9 . 如 图 , 已 知 在 凸 四 边 形 ABCDE 中 , ∠BAE=3  , BC=CD=DE ,且∠BCD= ∠ CDE= 2180  .求证:∠BAC=∠CAD=∠DAK, 10.如图,P 是⊙O 外一点,PA 和 PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,P O 与 AB 交于点 M, 过 M 任作⊙O 的弦 CD.求证:∠CPO=∠DPO. 11.如图,已知点 P 是⊙O 外一点,PS、PT 是⊙O 的两条切线,过点 P 作⊙O 的割线 PAB, 交⊙O A、B 两点,与 ST 交于点 C.求证: )11(2 11 PBPAPC  5 参考答案