人教版九年级上册数学同步课件-第21章-21一元二次方程 20页

第二十一章 一元二次方程 21.1　一元二次方程 没有未知数 练一练:下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 4 2 9 x   x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组） 及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程 叫做一元一次方程. 探究交流: 如图，有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去 多大的正方形？请根据题意列出方程. 100cm 50cm x 3600cm2 解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm.根据方盒的底面积为 3600cm2,得 (100 2 )(50 2 ) 3600.x x   2 75 350 0.x x   ① 整理，得 24 300 1400 0.x x   化简，得 该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？ 一元二方程概念1 例1 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛 一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场 比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析：设应邀请x个队参赛，每个 队都要与其他(x-1)个队各赛一场， 因为甲队对乙队的比赛和乙队对 甲队的比赛是同一场比赛，所以 全部比赛共 场. 1 ( 1) 2 x x  解：根据题意，列方程： 1 ( 1) 28. 2 x x   整理,得 21 1 28. 2 2 x x  化简，得 2 56 0x x ②   该方程中 未知数的 个数和最 高次数各 是多少？ 例2 方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元 一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: (1)都是整式方程; (2)只含一个未知数; (3)未知数的最高次数是2. 2 56 0x x ②  2 75 350 0x x   ① 探究交流: ★一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程. ★一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a≠0) 二次项系数 一次项系数 常数项 ★ax2 + bx +c = 0强调： ①“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ③“ = ”右边必须整理为0. 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数. 想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式 方程；如果是整式方程，再进一步化简整理后再作判断. 2 2 2 2 2 1A. 0 B. 3 5 0 C. ( 1)( 2) 0 D. 0 x x xy y x x x ax bx c            下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）例3 (1)ax2-x=2x2； (2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当 a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣ a ∣ +1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一 元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方 程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． a为何值时，下列方程为一元二次方程？例4 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 例5 ★一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二 次方程的解（又叫做根）. 练一练： 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4. 解：3和-2. 你注意到了吗？ 一元二次方程可 能不止一个根. 一元二次方程的根2 解：由题意，得 2 2 2 0,a a   2 2 2.即a a  方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再 注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2(a2+2a)+2018 =2×2+2018 =2022 ∴2(a2+2a)+2018= 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+ 2018的值. 例6 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 3 2 0x x   23 1 2 3y y  24 5x  (2 )(3 4) 3x x   2 3 2 0x x   23 2 3 1 0y y   -21 3 13 -54 0 -53 -2 24 5 0x   23 2 5 0x x   32 3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值. 解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0, 即9+4a=0, ∴4a=-9， 9 . 4 a   4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为 零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述，m =2. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意，得 21 1 0,a b c     0.a b c  即 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的一个根吗? 解：由题意,得 21 1 0.即a b c     0.a b c   ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2 一元二次 方程 概 念 ① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是2 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0)  其中(a≠0)是一元二次方程的必 要条件；  确定一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项要先 化为一般式 根 使方程左右两边相等的未 知数的值