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- 2021-11-10 发布
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2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题(本题 10 小题,每题 4 分,共 40 分)
1. 2的倒数是( )
A.−2 B.2 C.− 1
2
D.1
2
2. 某市为做好“稳就业、保民生”工作,将新建保障性住房360000套,缓解中低收
入人群和新参加工作大学生的住房需求.把360000用科学记数法表示应是( )
A.0.36 × 106 B.3.6 × 105 C.3.6 × 106 D.36 × 105
3. 如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( )
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A.푎3 + 푎2=푎5 B.푎3 ÷ 푎=푎3 C.푎2 ⋅ 푎3=푎5 D.(푎2)4=푎6
5. 某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计
如下:4,3,5,5,2,5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为( )
A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5
6. 如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37∘时,∠1的度数为
( )
A.37∘ B.43∘ C.53∘ D.54∘
7. 如图,某停车场入口的栏杆퐴퐵,从水平位置绕点푂旋转到퐴′퐵′的位置,已知퐴푂的
长为4米.若栏杆的旋转角∠퐴푂퐴′=훼,则栏杆퐴端升高的高度为( )
A. 4
sin훼
米 B.4sin훼米 C. 4
cos훼
米 D.4cos훼米
8. 已知关于푥的一元二次方程(푚 − 1)푥2 + 2푥 + 1=0有实数根,则푚的取值范围是
( )
A.푚 < 2 B.푚 ≤ 2 C.푚 < 2且푚 ≠ 1 D.푚 ≤ 2且푚 ≠ 1
9. 如图,在菱形퐴퐵푂퐶中,퐴퐵=2,∠퐴=60∘,菱形的一个顶点퐶在反比例函数푦 =
푘
푥 (푘 ≠ 0)的图象上,则反比例函数的解析式为( )
A.푦 = − 3√3
푥
B.푦 = − √3
푥
C.푦 = − 3
푥
D.푦 = √3
푥
10. 如图,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 4交푦轴于点퐴,交过点퐴且平行于푥轴的直线于另一
点퐵,交푥轴于퐶,퐷两点(点퐶在点퐷右边),对称轴为直线푥 = 5
2
,连接퐴퐶,퐴퐷,
퐵퐶.若点퐵关于直线퐴퐶的对称点恰好落在线段푂퐶上,下列结论中错误的是( )
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A.点퐵坐标为(5, 4) B.퐴퐵=퐴퐷
C.푎 = − 1
6
D.푂퐶 ⋅ 푂퐷=16
二、填空题(本题 10 小题,每题 3 分,共 30 分)
11. 把多项式푎3 − 4푎分解因式,结果是________.
12. 若7푎푥푏2与−푎3푏푦的和为单项式,则푦푥=________.
13. 不等式组{
2푥 − 6 < 3푥
푥+2
5 − 푥−1
4 ≥ 0 的解集为________.
14. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐶=90∘,点퐷在线段퐵퐶上,且∠퐵=30∘,∠퐴퐷퐶=60∘,
퐵퐶=3√3,则퐵퐷的长度为________.
15. 如图,正比例函数的图象与一次函数푦=−푥 + 1的图象相交于点푃,点푃到푥轴的
距离是2,则这个正比例函数的解析式是________.
16. 如图,对折矩形纸片퐴퐵퐶퐷,使퐴퐵与퐷퐶重合得到折痕퐸퐹,将纸片展平,再一次
折叠,使点퐷落到퐸퐹上点퐺处,并使折痕经过点퐴,已知퐵퐶=2,则线段퐸퐺的长度为
________.
17. 如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入푥的值为625,则第2020次输出的
结果为________.
18. 有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人
传染了________个人.
19. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一
共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按
此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________.
20. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,퐴퐵=2,点퐷为퐴퐵的中点,以点퐷
为圆心作圆心角为90∘的扇形퐷퐸퐹,点퐶恰在弧퐸퐹上,则图中阴影部分的面积为
________.
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三、解答题(本题 6 小题,共 80 分)
21. (1)计算(−2)2 − | − √2| − 2cos45∘ + (2020 − 휋)0;
(2)先化简,再求值:( 2
푎+1 + 푎+2
푎2−1) ÷ 푎
푎−1
,其中푎 = √5 − 1.
22. 规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度훼(0∘ < 훼 ≤ 180∘)后
能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度훼称为这个图形
的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点푂旋转90∘或180∘后,能与自身重
合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
根据以上规定,回答问题:
(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________;
퐴.矩形
퐵.正五边形
퐶.菱形
퐷.正六边形
(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:________(填序
号);
(3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图
形;③圆是旋转对称图形.
其中真命题的个数有________个;
퐴.0
퐵.1
퐶.2
4 / 15
퐷.3
(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45∘,90∘,135∘,
180∘,将图形补充完整.
23. 新学期,某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程.为了解学生对新开设课
程的掌握情况,从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果
分为四个等级:퐴级为优秀,퐵级为良好,퐶级为及格,퐷级为不及格.将测试结果绘
制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是________名;
(2)扇形统计图中表示퐴级的扇形圆心角훼的度数是________,并把条形统计图补充
完整;
(3)该校八年级共有学生500名,如果全部参加这次测试,估计优秀的人数为
________;
(4)某班有4名优秀的同学(分别记为퐸、퐹、퐺、퐻,其中퐸为小明),班主任要从中
随机选择两名同学进行经验分享.利用列表法或画树状图法,求小明被选中的概率.
24. 随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,
也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的퐴型自行车去年销售总额为8万元.今年该
型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年
的销售总额将比去年减少10%,求:
(1)퐴型自行车去年每辆售价多少元?
(2)该车行今年计划新进一批퐴型车和新款퐵型车共60辆,且퐵型车的进货数量不超过퐴
型车数量的两倍.已知,퐴型车和퐵型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划퐵型
车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多?
25. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美
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丽的圆.如图,线段퐴퐵是⊙ 푂的直径,延长퐴퐵至点퐶,使퐵퐶=푂퐵,点퐸是线段푂퐵的
中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷,点푃是⊙ 푂上一动点(不与点퐴,퐵重合),连接퐶퐷,
푃퐸,푃퐶.
(1)求证:퐶퐷是⊙ 푂的切线;
(2)小明在研究的过程中发现푃퐸
푃퐶
是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对
小明发现的结论加以证明.
26. 已知抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6(푎 ≠ 0)交푥轴于点퐴(6, 0)和点퐵(−1, 0),交푦轴于点퐶.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)如图(1),点푃是抛物线上位于直线퐴퐶上方的动点,过点푃分别作푥轴,푦轴的平
行线,交直线퐴퐶于点퐷,퐸,当푃퐷 + 푃퐸取最大值时,求点푃的坐标;
(3)如图(2),点푀为抛物线对称轴푙上一点,点푁为抛物线上一点,当直线퐴퐶垂直平
分△ 퐴푀푁的边푀푁时,求点푁的坐标.
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参考答案与试题解析
2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题(本题 10 小题,每题 4 分,共 40 分)
1.【答案】
D
【解答】
2的倒数是1
2
,
2.【答案】
B
【解答】
360000=3.6 × 105,
3.【答案】
【解答】
从上面看可得四个并排的正方形,如图所示:
故选:퐷.
4.【答案】
C
【解答】
퐴、푎3 + 푎2,不是同类项,无法合并,故此选项错误;
퐵、푎3 ÷ 푎=푎2,故此选项错误;
퐶、푎2 ⋅ 푎3=푎5,正确;
퐷、(푎2)4=푎8,故此选项错误;
5.【答案】
A
【解答】
将数据从小到大排列为:1,2,3,3,4,4,5,5,5,
这组数据的中位数为4;众数为5.
6.【答案】
C
【解答】
∵ 퐴퐵 // 퐶퐷,∠2=37∘,
∴ ∠2=∠3=37∘,
∵ ∠1 + ∠3=90∘,
∴ ∠1=53∘,
7.【答案】
B
【解答】
过点퐴′作퐴′퐶 ⊥ 퐴퐵于点퐶,
由题意可知:퐴′푂=퐴푂=4,
∴ sin훼 = 퐴′퐶
퐴′푂
,
∴ 퐴′퐶=4sin훼,
8.【答案】
D
【解答】
∵ 关于푥的一元二次方程(푚 − 1)푥2 − 2푥 + 1=0有实数根,
∴ { 푚 − 1 ≠ 0
△=22 − 4 × 1 × (푚 − 1) ≥ 0 ,
解得:푚 ≤ 2且푚 ≠ 1.
9.【答案】
B
【解答】
7 / 15
∵ 在菱形퐴퐵푂퐶中,∠퐴=60∘,菱形边长为2,
∴ 푂퐶=2,∠퐶푂퐵=60∘,
∴ 点퐶的坐标为(−1, √3),
∵ 顶点퐶在反比例函数푦 = 푘
푥
的图象上,
∴ √3 = 푘
−1
,得푘 = −√3,
即푦 = − √3
푥
,
10.【答案】
D
【解答】
∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 4交푦轴于点퐴,
∴ 퐴(0, 4),
∵ 对称轴为直线푥 = 5
2
,퐴퐵 // 푥轴,
∴ 퐵(5, 4).
故퐴无误;
如图,过点퐵作퐵퐸 ⊥ 푥轴于点퐸,
则퐵퐸=4,퐴퐵=5,
∵ 퐴퐵 // 푥轴,
∴ ∠퐵퐴퐶=∠퐴퐶푂,
∵ 点퐵关于直线퐴퐶的对称点恰好落在线段푂퐶上,
∴ ∠퐴퐶푂=∠퐴퐶퐵,
∴ ∠퐵퐴퐶=∠퐴퐶퐵,
∴ 퐵퐶=퐴퐵=5,
∴ 在푅푡 △ 퐵퐶퐸中,由勾股定理得:퐸퐶=3,
∴ 퐶(8, 0),
∵ 对称轴为直线푥 = 5
2
,
∴ 퐷(−3, 0)
∵ 在푅푡 △ 퐴퐷푂中,푂퐴=4,푂퐷=3,
∴ 퐴퐷=5,
∴ 퐴퐵=퐴퐷,
故퐵无误;
设푦=푎푥2 + 푏푥 + 4=푎(푥 + 3)(푥 − 8),
将퐴(0, 4)代入得:4=푎(0 + 3)(0 − 8),
∴ 푎 = − 1
6
,
故퐶无误;
∵ 푂퐶=8,푂퐷=3,
∴ 푂퐶 ⋅ 푂퐷=24,
故퐷错误.
综上,错误的只有퐷.
二、填空题(本题 10 小题,每题 3 分,共 30 分)
11.【答案】
푎(푎 + 2)(푎 − 2)
【解答】
原式=푎(푎2 − 4)=푎(푎 + 2)(푎 − 2).
12.【答案】
8
【解答】
8 / 15
∵ 7푎푥푏2与−푎3푏푦的和为单项式,
∴ 7푎푥푏2与−푎3푏푦是同类项,
∴ 푥=3,푦=2,
∴ 푦푥=23=8.
13.【答案】
−6 < 푥 ≤ 13
【解答】
{
2푥 − 6 < 3푥
푥+2
5 − 푥−1
4 ≥ 0 ,
解①得:푥 > −6,
解②得:푥 ≤ 13,
不等式组的解集为:−6 < 푥 ≤ 13,
14.【答案】
2√3
【解答】
∵ ∠퐶=90∘,∠퐴퐷퐶=60∘,
∴ ∠퐷퐴퐶=30∘,
∴ 퐶퐷 = 1
2 퐴퐷,
∵ ∠퐵=30∘,∠퐴퐷퐶=60∘,
∴ ∠퐵퐴퐷=30∘,
∴ 퐵퐷=퐴퐷,
∴ 퐵퐷=2퐶퐷,
∵ 퐵퐶=3√3,
∴ 퐶퐷 + 2퐶퐷=3√3,
∴ 퐶퐷 = √3,
∴ 퐷퐵=2√3,
15.【答案】
푦=−2푥
【解答】
∵ 点푃到푥轴的距离为2,
∴ 点푃的纵坐标为2,
∵ 点푃在一次函数푦=−푥 + 1上,
∴ 2=−푥 + 1,得푥=−1,
∴ 点跑的坐标为(−1, 2),
设正比例函数解析式为푦=푘푥,
则2=−푘,得푘=−2,
∴ 正比例函数解析式为푦=−2푥,
16.【答案】
√3
【解答】
如图所示:
由题意可得:∠1=∠2,퐴푁=푀푁,∠푀퐺퐴=90∘,
则푁퐺 = 1
2 퐴푀,故퐴푁=푁퐺,
∴ ∠2=∠4,
∵ 퐸퐹 // 퐴퐵,
∴ ∠4=∠3,
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4 = 1
3 × 90∘=30∘,
∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是矩形,对折矩形纸片퐴퐵퐶퐷,使퐴퐵与퐷퐶重合得到折痕퐸퐹,
∴ 퐴퐸 = 1
2 퐴퐷 = 1
2 퐵퐶=1,
∴ 퐴퐺=2,
∴ 퐸퐺 = √22 − 12 = √3,
9 / 15
故答案为:√3.
17.【答案】
1
【解答】
当푥=625时,1
5 푥=125,
当푥=125时,1
5 푥=25,
当푥=25时,1
5 푥=5,
当푥=5时,1
5 푥=1,
当푥=1时,푥 + 4=5,
当푥=5时,1
5 푥=1,
…
依此类推,以5,1循环,
(2020 − 2) ÷ 2=1010,
即输出的结果是1,
18.【答案】
10
【解答】
设每轮传染中平均每人传染了푥人.
依题意,得1 + 푥 + 푥(1 + 푥)=121,
即(1 + 푥)2=121,
解方程,得푥1=10,푥2=−12(舍去).
19.【答案】
57
【解答】
第①个图形中一共有3个菱形,即2 + 1 × 1=3;
第②个图形中一共有7个菱形,即3 + 2 × 2=7;
第③个图形中一共有13个菱形,即4 + 3 × 3=13;
…,
按此规律排列下去,
所以第⑦个图形中菱形的个数为:8 + 7 × 7=57.
20.【答案】
휋
4 − 1
2
【解答】
连接퐶퐷,作퐷푀 ⊥ 퐵퐶,퐷푁 ⊥ 퐴퐶.
∵ 퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,点퐷为퐴퐵的中点,
∴ 퐷퐶 = 1
2 퐴퐵=1,四边形퐷푀퐶푁是正方形,퐷푀 = √2
2
.
则扇形퐹퐷퐸的面积是:90휋×12
360 = 휋
4
.
∵ 퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,点퐷为퐴퐵的中点,
∴ 퐶퐷平分∠퐵퐶퐴,
又∵ 퐷푀 ⊥ 퐵퐶,퐷푁 ⊥ 퐴퐶,
∴ 퐷푀=퐷푁,
∵ ∠퐺퐷퐻=∠푀퐷푁=90∘,
∴ ∠퐺퐷푀=∠퐻퐷푁,
在△ 퐷푀퐺和△ 퐷푁퐻中,
{
∠퐷푀퐺 = ∠퐷푁퐻
∠퐺퐷푀 = ∠퐻퐷푁
퐷푀 = 퐷푁
,
∴ △ 퐷푀퐺 ≅△ 퐷푁퐻(퐴퐴푆),
10 / 15
∴ 푆四边形퐷퐺퐶퐻=푆四边形퐷푀퐶푁 = 1
2
.
则阴影部分的面积是:휋
4 − 1
2
.
三、解答题(本题 6 小题,共 80 分)
21.【答案】
原式=4 − √2 − 2 × √2
2 + 1
=4 − √2 − √2 + 1
=5 − 2√2;
原式=[ 2(푎−1)
(푎−1)(푎+1) + 푎+2
(푎−1)(푎+1)]•푎−1
푎
= 3푎
(푎 − 1)(푎 + 1) ⋅ 푎 − 1
푎
= 3
푎+1
,
当푎 = √5 − 1时,原式= 3
√5−1+1 = 3√5
5
.
【解答】
原式=4 − √2 − 2 × √2
2 + 1
=4 − √2 − √2 + 1
=5 − 2√2;
原式=[ 2(푎−1)
(푎−1)(푎+1) + 푎+2
(푎−1)(푎+1)]•푎−1
푎
= 3푎
(푎 − 1)(푎 + 1) ⋅ 푎 − 1
푎
= 3
푎+1
,
当푎 = √5 − 1时,原式= 3
√5−1+1 = 3√5
5
.
22.【答案】
퐵
(1)( 3)( 5)
퐶
【解答】
是旋转图形,不是中心对称图形是正五边形,
故选퐵.
是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有(1)( 3)( 5).
故答案为(1)( 3)( 5).
命题中①③正确,
故选퐶.
图形如图所示:
23.【答案】
40
54∘
75人
画树状图得:
11 / 15
∵ 共有12种等可能的结果,选中小明的有6种情况,
∴ 选中小明的概率为1
2
.
故答案为:40;54∘;75人.
【解答】
本次抽样测试的学生人数是:12 ÷ 30%=40(人);
∵ 퐴级的百分比为: 6
40 × 100%=15%,
∴ ∠훼=360∘ × 15%=54∘;
퐶级人数为:40 − 6 − 12 − 8=14(人).
如图所示:
500 × 15%=75(人).
故估计优秀的人数为 75人;
画树状图得:
∵ 共有12种等可能的结果,选中小明的有6种情况,
∴ 选中小明的概率为1
2
.
故答案为:40;54∘;75人.
24.【答案】
解:(1)设去年퐴型车每辆售价푥元,
则今年售价每辆为(푥 − 200)元,由题意得,
80000
푥 = 80000(1−10%)
푥−200
,
解得:푥 = 2000.
经检验,푥 = 2000是原方程的根.
答:퐴型自行车去年每辆售价为2000元.
(2)设今年新进퐴型车푎辆,则퐵型车(60 − 푎)辆,获利푦元,由题意得,
푦 = (1800 − 1500)푎 + (2400 − 1800)(60 − 푎),
푦 = −300푎 + 36000.
∵ 퐵型车的进货数量不超过퐴型车数量的两倍,
∴ 60 − 푎 ≤ 2푎,
12 / 15
∴ 푎 ≥ 20.
∵ 푦 = −300푎 + 36000,
∴ 푘 = −300 < 0,
∴ 푦随푎的增大而减小,
∴ 当푎 = 20时,푦有最大值,
∴ 获利最大时퐵型车的数量为:60 − 20 = 40(辆).
∴ 当新进퐴型车20辆,퐵型车40辆时,这批车获利最大.
【解答】
解:(1)设去年퐴型车每辆售价푥元,
则今年售价每辆为(푥 − 200)元,由题意得,
80000
푥 = 80000(1−10%)
푥−200
,
解得:푥 = 2000.
经检验,푥 = 2000是原方程的根.
答:퐴型自行车去年每辆售价为2000元.
(2)设今年新进퐴型车푎辆,则퐵型车(60 − 푎)辆,获利푦元,由题意得,
푦 = (1800 − 1500)푎 + (2400 − 1800)(60 − 푎),
푦 = −300푎 + 36000.
∵ 퐵型车的进货数量不超过퐴型车数量的两倍,
∴ 60 − 푎 ≤ 2푎,
∴ 푎 ≥ 20.
∵ 푦 = −300푎 + 36000,
∴ 푘 = −300 < 0,
∴ 푦随푎的增大而减小,
∴ 当푎 = 20时,푦有最大值,
∴ 获利最大时퐵型车的数量为:60 − 20 = 40(辆).
∴ 当新进퐴型车20辆,퐵型车40辆时,这批车获利最大.
25.【答案】
连接푂퐷、퐷퐵,
∵ 点퐸是线段푂퐵的中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷,
∴ 퐷퐸垂直平分푂퐵,
∴ 퐷퐵=퐷푂.
∵ 在⊙ 푂中,퐷푂=푂퐵,
∴ 퐷퐵=퐷푂=푂퐵,
∴ △ 푂퐷퐵是等边三角形,
∴ ∠퐵퐷푂=∠퐷퐵푂=60∘,
∵ 퐵퐶=푂퐵=퐵퐷,且∠퐷퐵퐸为△ 퐵퐷퐶的外角,
∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐵퐷퐶 = 1
2 ∠퐷퐵푂.
∵ ∠퐷퐵푂=60∘,
∴ ∠퐶퐷퐵=30∘.
∴ ∠푂퐷퐶=∠퐵퐷푂 + ∠퐵퐷퐶=60∘ + 30∘=90∘,
∴ 퐶퐷是⊙ 푂的切线;
答:这个确定的值是1
2
.
连接푂푃,如图:
13 / 15
由已知可得:푂푃=푂퐵=퐵퐶=2푂퐸.
∴ 푂퐸
푂푃 = 푂푃
푂퐶 = 1
2
,
又∵ ∠퐶푂푃=∠푃푂퐸,
∴ △ 푂퐸푃 ∽△ 푂푃퐶,
∴ 푃퐸
푃퐶 = 푂푃
푂퐶 = 1
2
.
【解答】
连接푂퐷、퐷퐵,
∵ 点퐸是线段푂퐵的中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷,
∴ 퐷퐸垂直平分푂퐵,
∴ 퐷퐵=퐷푂.
∵ 在⊙ 푂中,퐷푂=푂퐵,
∴ 퐷퐵=퐷푂=푂퐵,
∴ △ 푂퐷퐵是等边三角形,
∴ ∠퐵퐷푂=∠퐷퐵푂=60∘,
∵ 퐵퐶=푂퐵=퐵퐷,且∠퐷퐵퐸为△ 퐵퐷퐶的外角,
∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐵퐷퐶 = 1
2 ∠퐷퐵푂.
∵ ∠퐷퐵푂=60∘,
∴ ∠퐶퐷퐵=30∘.
∴ ∠푂퐷퐶=∠퐵퐷푂 + ∠퐵퐷퐶=60∘ + 30∘=90∘,
∴ 퐶퐷是⊙ 푂的切线;
答:这个确定的值是1
2
.
连接푂푃,如图:
由已知可得:푂푃=푂퐵=퐵퐶=2푂퐸.
∴ 푂퐸
푂푃 = 푂푃
푂퐶 = 1
2
,
又∵ ∠퐶푂푃=∠푃푂퐸,
∴ △ 푂퐸푃 ∽△ 푂푃퐶,
∴ 푃퐸
푃퐶 = 푂푃
푂퐶 = 1
2
.
26.【答案】
∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6经过点퐴(6, 0),퐵(−1, 0),
∴ { 푎 − 푏 + 6 = 0
36푎 + 6푏 + 6 = 0 ,
∴ {푎 = −1
푏 = 5 ,
∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6=−(푥 − 5
2)2 + 49
4
,
∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,顶点坐标为(5
2 , 49
4 );
由(1)知,抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,
∴ 퐶(0, 6),
∴ 푂퐶=6,
∵ 퐴(6, 0),
∴ 푂퐴=6,
∴ 푂퐴=푂퐶,
∴ ∠푂퐴퐶=45∘,
∵ 푃퐷平行于푥轴,푃퐸平行于푦轴,
14 / 15
∴ ∠퐷푃퐸=90∘,∠푃퐷퐸=∠퐷퐴푂=45∘,
∴ ∠푃퐸퐷=45∘,
∴ ∠푃퐷퐸=∠푃퐸퐷,
∴ 푃퐷=푃퐸,
∴ 푃퐷 + 푃퐸=2푃퐸,
∴ 当푃퐸的长度最大时,푃퐸 + 푃퐷取最大值,
∵ 퐴(6, 0),퐶(0, 6),
∴ 直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6,
设퐸(푡, −푡 + 6)(0 < 푡 < 6),则푃(푡, −푡2 + 5푡 + 6),
∴ 푃퐸=−푡2 + 5푡 + 6 − (−푡 + 6)=−푡2 + 6푡=−(푡 − 3)2 + 9,
当푡=3时,푃퐸最大,此时,−푡2 + 5푡 + 6=12,
∴ 푃(3, 12);
如图(2),设直线퐴퐶与抛物线的对称轴푙的交点为퐹,连接푁퐹,
∵ 点퐹在线段푀푁的垂直平分线퐴퐶上,
∴ 퐹푀=퐹푁,∠푁퐹퐶=∠푀퐹퐶,
∵ 푙 // 푦轴,
∴ ∠푀퐹퐶=∠푂퐶퐴=45∘,
∴ ∠푀퐹푁=∠푁퐹퐶 + ∠푀퐹퐶=90∘,
∴ 푁퐹 // 푥轴,
由(2)知,直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6,
当푥 = 5
2
时,푦 = 7
2
,
∴ 퐹(5
2 , 7
2),
∴ 点푁的纵坐标为7
2
,
设푁的坐标为(푚, −푚2 + 5푚 + 6),
∴ −푚2 + 5푚 + 6 = 7
2
,解得,푚 = 5+√35
2
或푚 = 5−√35
2
,
∴ 点푁的坐标为(5+√35
2 , 7
2)或(5−√35
2 , 7
2).
【解答】
∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6经过点퐴(6, 0),퐵(−1, 0),
∴ { 푎 − 푏 + 6 = 0
36푎 + 6푏 + 6 = 0 ,
∴ {푎 = −1
푏 = 5 ,
∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6=−(푥 − 5
2)2 + 49
4
,
∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,顶点坐标为(5
2 , 49
4 );
由(1)知,抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,
∴ 퐶(0, 6),
∴ 푂퐶=6,
∵ 퐴(6, 0),
∴ 푂퐴=6,
15 / 15
∴ 푂퐴=푂퐶,
∴ ∠푂퐴퐶=45∘,
∵ 푃퐷平行于푥轴,푃퐸平行于푦轴,
∴ ∠퐷푃퐸=90∘,∠푃퐷퐸=∠퐷퐴푂=45∘,
∴ ∠푃퐸퐷=45∘,
∴ ∠푃퐷퐸=∠푃퐸퐷,
∴ 푃퐷=푃퐸,
∴ 푃퐷 + 푃퐸=2푃퐸,
∴ 当푃퐸的长度最大时,푃퐸 + 푃퐷取最大值,
∵ 퐴(6, 0),퐶(0, 6),
∴ 直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6,
设퐸(푡, −푡 + 6)(0 < 푡 < 6),则푃(푡, −푡2 + 5푡 + 6),
∴ 푃퐸=−푡2 + 5푡 + 6 − (−푡 + 6)=−푡2 + 6푡=−(푡 − 3)2 + 9,
当푡=3时,푃퐸最大,此时,−푡2 + 5푡 + 6=12,
∴ 푃(3, 12);
如图(2),设直线퐴퐶与抛物线的对称轴푙的交点为퐹,连接푁퐹,
∵ 点퐹在线段푀푁的垂直平分线퐴퐶上,
∴ 퐹푀=퐹푁,∠푁퐹퐶=∠푀퐹퐶,
∵ 푙 // 푦轴,
∴ ∠푀퐹퐶=∠푂퐶퐴=45∘,
∴ ∠푀퐹푁=∠푁퐹퐶 + ∠푀퐹퐶=90∘,
∴ 푁퐹 // 푥轴,
由(2)知,直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6,
当푥 = 5
2
时,푦 = 7
2
,
∴ 퐹(5
2 , 7
2),
∴ 点푁的纵坐标为7
2
,
设푁的坐标为(푚, −푚2 + 5푚 + 6),
∴ −푚2 + 5푚 + 6 = 7
2
,解得,푚 = 5+√35
2
或푚 = 5−√35
2
,
∴ 点푁的坐标为(5+√35
2 , 7
2)或(5−√35
2 , 7
2).
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