2010年辽宁省抚顺市中考数学试卷 20页

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•抚顺）﹣‎1‎‎4‎的绝对值等于（　　）‎ ‎ A、﹣‎1‎‎4‎ B、‎‎1‎‎4‎ ‎ C、‎±‎‎1‎‎4‎ D、4‎ 考点：绝对值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据“负数的绝对值是它的相反数”解题即可．‎ 解答：解：|﹣‎1‎‎4‎|=‎1‎‎4‎．‎ 故选B．‎ 点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•抚顺）下列汉字中，属于中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心对称图形；生活中的旋转现象。‎ 分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、B、C是轴对称图形，D既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选D．‎ 点评：掌握中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ ‎3、（2010•抚顺）数据0，1，2，2，4，4，8的众数是（　　）‎ ‎ A、2和4 B、3‎ ‎ C、4 D、2‎ 考点：众数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ 解答：解：2和4出现次数最多，都是2次，故数据的众数是2和4．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了众数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎4、（2010•抚顺）下列说法正确的是（　　）‎ ‎ A、为了检测一批电池使用时间的长短，应该采用全面调查的方法 B、方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大 ‎ C、打开电视一定有新闻节目 D、为了了解某校学生的身高情况，从八年级学生中随机抽取50名学生的身高情况作为总体的一个样本 考点：方差；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件。‎ 分析：根据方差、随机事件、抽样调查和样本的概念对选项一一分析，排除错误答案即可．‎ 解答：解：A、为了检测一批电池使用时间的长短，应该采用抽样调查的方法，选项错误；‎ B、方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，符合方差意义，选项正确；‎ C、打开电视有新闻节目是随机事件，选项错误；‎ D、抽取的样本不全面，选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：破坏性较强的调查要采用抽样调查；方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；抽取的样本要具有代表性．‎ ‎5、（2010•抚顺）有一个圆柱形笔筒如图放置，它的左视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：圆柱的左视图为长方形，那么从左面看可得到两个长方形，里面的长方形有3条边是虚线，故选C．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，注意实际存在的但又看不到的棱应用虚线表示．‎ ‎6、（2010•抚顺）在数据1，﹣1，4，﹣4中任选两个数据，均是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0‎ 的根的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎6‎ B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、‎1‎‎2‎ D、‎‎1‎‎4‎ 考点：概率公式；一元二次方程的解。‎ 分析：首先判断，数据1，﹣1，4，﹣4哪几个是方程的解．然后根据概率公式即可求解．‎ 解答：解：在数据1，﹣1，4，﹣4中是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根的有：4，﹣1．‎ 在数据1，﹣1，4，﹣4中任选两个数据有：1，﹣1；1，4；1，﹣4；﹣1，4；﹣1，﹣4；4，﹣4共计6种情况，而均是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根的只有﹣1，4两种情况．故均是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根的概率是‎1‎‎6‎．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．正确列举出：任意取两数有哪几种情况，是解决本题的关键．‎ ‎7、（2010•抚顺）如图所示，点A是双曲线y=‎1‎x（x＞0）上的一动点，过A作AC⊥y轴，垂足为点C，作AC的垂直平分线双曲线于点B，交x轴于点D．当点A在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD的面积（　　）‎ ‎ A、逐渐变小 B、由大变小再由小变大 ‎ C、由小变大再有大变小 D、不变 考点：反比例函数系数k的几何意义。‎ 专题：数形结合；几何变换。‎ 分析：四边形ABCD的面积等于‎1‎‎2‎×AC×BD，AC、BC可以用A点的坐标表示，即可求解．‎ 解答：解：设A点的坐标是（m，n），则m•n=1，则D点的横坐标是m‎2‎，‎ 把x=m‎2‎代入y=‎1‎x，得到y=‎2‎m，即BD=‎2‎m．‎ ‎∴四边形ABCD的面积=‎1‎‎2‎AC×BD=‎1‎‎2‎×m×‎2‎m=1．‎ 即四边形ABCD的面积不随C点的变化而变化．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查的是利用反比例函数系数k的几何意义求对角线互相垂直的四边形面积的计算方法．‎ ‎8、（2010•抚顺）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎ A、‎4‎‎3‎‎3‎ B、6‎ ‎ C、‎18‎‎5‎ D、‎‎36‎‎5‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌AGE，有AE=AF，即ED=AD﹣AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．‎ 解答：解：由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8‎ 在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣AF）2=AF2，‎ 解得AF=5‎ ‎∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°‎ ‎∴∠BAF=∠EAG ‎∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG ‎∴△BAF≌△GAF ‎∴AE=AF=5，ED=GE=3‎ ‎∵S△GAF=‎1‎‎2‎AG•GE=‎1‎‎2‎AE•AE边上的高 ‎∴AE边上的高=‎‎12‎‎5‎ ‎∴S△GED=‎1‎‎2‎ED•AE边上的高=‎1‎‎2‎×3×‎12‎‎5‎=‎18‎‎5‎．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用了矩形的性质和翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质求解．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2010•抚顺）为鼓励大学生自主创业，某市可为每位大学生提供贷款150000元，将150000‎ 用科学记数法表示为 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中150 000有6位整数，n=6﹣1=5．‎ 解答：解：150 000=1.5×105．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律总结：‎ ‎（1）当|M|≥1时，n的值为M的整数位数减1；‎ ‎（2）当|M|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎10、（2010•抚顺）分解因式：ax2﹣4ax+4a= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解．‎ 解答：解：ax2﹣4ax+4a，‎ ‎=a（x2﹣4x+4），‎ ‎=a（x﹣2）2．‎ 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．‎ ‎11、（2010•抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= 度．‎ 考点：平行线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过∠3作a的平行线，则∠1=∠4，∠2=∠5，所以∠3=∠4+∠5=53°．‎ 解答：解：过∠3的顶点作a的平行线，则也平行于b，‎ 则∠1=∠4，∠2=∠5（内错角相等），‎ ‎∵∠3=∠4+∠5，‎ ‎∴∠3=∠4+∠5=53°．‎ 所以答案是53° ．‎ 点评：解答此类题，若平行线无截线，可适当构造截线转化角的关系．两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．‎ ‎12、（2010•抚顺）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则它的解析式为 （写出一个即可）．‎ 考点：一次函数的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：根据一次函数的性质解答即可．‎ 解答：解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，‎ ‎∴写出的解析式只要符合上述条件即可，例如y=x﹣1．‎ 点评：此题属开放型题目，答案不唯一，只要写出的解析式符合条件即可．‎ ‎13、（2010•抚顺）方程‎1‎‎2x﹣1‎‎+3=‎x‎2x﹣1‎的根是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：观察可得方程最简公分母为（2x﹣1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．‎ 解答：解：方程两边同乘（2x﹣1），得 ‎1+3（2x﹣1）=x，解得x=‎2‎‎5‎，‎ 经检验x=‎2‎‎5‎是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．‎ ‎14、（2010•抚顺）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且∠AOC=80°，点D在⊙O上（不与B、C重合），则∠BDC的度数是 ．‎ 考点：圆周角定理。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：由于点D的位置不确定，因此要分情况进行讨论：‎ ‎（1）点D在优弧CAB上，（2）点D在劣弧BC上．‎ 解答：解：如图；‎ ‎∵∠AOC=80°，‎ ‎∴∠BOC=180°﹣∠AOC=100°；‎ ‎∴∠BEC=‎1‎‎2‎∠BOC=50°；‎ ‎∵四边形BECF内接于⊙O，‎ ‎∴∠BEC+∠BFC=180°，即∠BFC=180°﹣∠BEC=130°；‎ ‎①当点D在优弧CAB上时，∠BDC=∠BEC=50°；‎ ‎②当点D在劣弧BC上时，∠BDC=∠BFC=130°；‎ 故∠BDC的度数为50°或130°．‎ 点评：此题主要考查的是圆周角定理，需注意的是点D的位置不确定，应分类讨论，以免漏解．‎ ‎15、（2010•抚顺）如图所示，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=5cm．将其绕直角边AB所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为 cm2．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：解：圆锥的侧面积=π×5×12=60πcm2．‎ 点评：本题考查圆锥侧面积的求法．‎ ‎16、（2010•抚顺）观察下列数据：x‎2‎‎3‎，x‎3‎‎15‎，x‎4‎‎35‎，x‎5‎‎63‎，x‎6‎‎99‎，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个数据是 ．‎ 考点：规律型：数字的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：分析分子分母数的变化可找出规律：第n个数据是xn+1‎‎4n‎2‎﹣1‎或xn+1‎‎（2n+1）（2n﹣1）‎或xn+1‎‎（2n‎）‎‎2‎﹣1‎．‎ 解答：解：‎ x‎2‎‎3‎‎=x‎1+1‎‎4×‎1‎‎2‎﹣1‎；‎ x‎3‎‎15‎‎=x‎2+1‎‎4×‎2‎‎2‎﹣1‎；‎ x‎4‎‎35‎‎=x‎3+1‎‎4×‎3‎‎2‎﹣1‎；‎ x‎5‎‎63‎‎=x‎4+1‎‎4×‎4‎‎2‎﹣1‎；‎ x‎6‎‎99‎‎=x‎5+1‎‎4×‎5‎‎2‎﹣1‎；‎ ‎…；‎ 第n个数据是xn+1‎‎4n‎2‎﹣1‎=xn+1‎‎（2n+1）（2n﹣1）‎=‎xn+1‎‎（2n‎）‎‎2‎﹣1‎ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•抚顺）计算：|﹣3|+（﹣‎1‎‎2‎）﹣3﹣‎（﹣3‎）‎‎2‎﹣‎1‎‎10‎+‎‎16‎．‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及负指数幂、二次根式化简和绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：|﹣3|+（﹣‎‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣3‎‎﹣（﹣3‎）‎‎2‎﹣‎1‎‎10‎+‎‎16‎ ‎=3+（﹣8）﹣9﹣1+4‎ ‎=3﹣8﹣9﹣1+4‎ ‎=﹣11．‎ 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎18、（2010•抚顺）先化简，再求值：（‎1+‎‎2‎x﹣2‎）‎÷‎1‎x‎2‎‎﹣4‎﹣‎（2x﹣3），其中x=3．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先计算括号里的，再把分子分母分解因式，然后约分即可．‎ 解答：解：（‎1+‎‎2‎x﹣2‎）‎÷‎1‎x‎2‎‎﹣4‎﹣‎（2x﹣3）‎ ‎=xx﹣2‎‎×（x+2）（x﹣2）﹣2x+3‎（3分）‎ ‎=x2+2x﹣2x+3‎ ‎=x2+3，（5分）‎ 当x=3时，原式=32+3=12．（8分）‎ 点评：注意做这类题一定要先化简再求值．‎ ‎19、（2010•抚顺）某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．‎ ‎（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？‎ ‎（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．‎ 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。‎ 专题：应用题；方案型。‎ 分析：（1）关键描述语是：买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元；‎ 设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，列方程组解x，y的值即可；‎ ‎（2）关键描述语是：本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元；‎ 设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个；可得3（2m﹣10）+5m≤320，求得m的最大整数值即可．‎ 解答：解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元．（1分）‎ 根据题意可得‎&20x+10y=110‎‎&30x+10=20y（3分）‎ 解这个方程组得‎&x=3‎‎&y=5‎（4分）‎ 答：甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元．（5分）‎ ‎（2）设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个．（6分）‎ 根据题意可得3（2m﹣10）+5m≤320 （8分）‎ 解这个不等式得m≤31‎9‎‎11‎（9分）‎ 因为m为正整数，所以m的最大整数值为31‎ 答：本次乙种笔记本最多购买31个．（10分）‎ 点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．‎ ‎20、（2010•抚顺）2010年5月1日上海世博会召开了，上海世博会对我国在政治、经济、文化等方面的影响很大．某校就同学们对上海世博会的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图．根据统计图中所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）该校参加问卷调查的学生有 名；‎ ‎（2）补全两个统计图；‎ ‎（3）若全校有1500名学生，那么该校有多少名学生达到基本了解以上（含基本了解）的程度？‎ ‎（4）为了让更多的学生更好的了解世博会，学校举办了两期专刊．之后又进行了一次调查，结果全校已有1176名学生达到了基本了解以上（含基本了解）的程度．如果每期专刊发表之后学生达到基本了解以上（含基本了解）的程度增长的百分数相同，试求这个百分数．‎ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；折线统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）观察图表，了解很少的有25人，所占百分比为50%，相除即可求出参加问卷调查的学生总人数；‎ ‎（2）基本了解的有30%，总人数是50名，所以可求出基本了解的学生人数，了解占百分比为50%，基本了解的有30%，则了解人数所占百分比为1﹣50%﹣30%；‎ ‎（3）用全校学生总人数乘以达到基本了解以上（含基本了解）的百分比即可求得结果；‎ ‎（4）用举办了两期专刊之后调查结果减去没办专刊之前结果再除以全校总人数即可求得这个百分数．‎ 解答：解：（1）25÷50%=50（名）；‎ ‎（2）如图：‎ ‎（3）1500×50%=750（名）；‎ ‎（4）（1176﹣750）÷1500=28.4%．‎ 点评：本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．组成整体的各部分的百分比之和为1；整体数目=部分÷相应的百分比．‎ ‎21、（2010•抚顺）有4张不透明的卡片，除正面写有不同的数字﹣1、2、‎2‎、﹣‎3‎外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．‎ ‎（1）从中随机抽取一张卡片，上面的数据是无理数的概率是多少？‎ ‎（2）若从中随机抽取一张卡片，记录数据后放回．重新洗匀后，再从中随机抽取一张，并记录数据．请你用列表法或画树形图法求两次抽取的数据之积是正无理数的概率．‎ 考点：列表法与树状图法；概率公式。‎ 分析：（1）看无理数的个数占数的总个数的多少即可；‎ ‎（2）列举出所有情况，看两次抽取的数据之积是正无理数的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：（1）共有4个数，无理数有2个，那么是无理数的概率是‎2‎‎4‎=‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）共有16种情况，积为正无理数的有3种情况，所以概率是‎3‎‎16‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎22、（2010•抚顺）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为‎3‎的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．‎ ‎（1）画出旋转后的Rt△ADE；‎ ‎（2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；‎ ‎（3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由．‎ 考点：切线的判定；作图-旋转变换。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）把三角形AB旋转120°就能得到图形．‎ ‎（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的长；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根据垂径定理知QF就是弧长PQ的一半．‎ ‎（3）过M作AD的垂线设垂足为H，然后证MH与⊙M半径的大小关系即可；连接AM、MN，由于AE是⊙M的切线，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通过解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可证得AM是∠DAE的角平分线，根据角平分线的性质即可得到MH=MN，由此可证得⊙M与AD相切．‎ 解答：解：（1）如图Rt△ADE就是要画的图形 ‎（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，垂足为F，由直角三角形ABC可知，NE=1，‎ 在直角三角形MFQ中，解得FQ=‎2‎，故弦PQ的长度2‎2‎．‎ ‎（3）AD与⊙M相切．‎ 证明：过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN=‎3‎，‎ 在Rt△AMN中，tan∠MAN=MNAN=‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠MAN=30°，‎ ‎∵∠DAE=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠MAD=30°，‎ ‎∴∠MAN=∠MAD=30°，‎ ‎∴MH=MN，‎ ‎∴AD与⊙M相切．‎ 点评：本题主要考查切线的判定，掌握切线的性质很重要，难度不大．‎ ‎23、（2010•抚顺）星期天，小强去水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角．在A处测得树顶D的俯角为15°．如图所示，已知AB与地面的夹角为60°，AB为8米．请你帮助小强计算一下这颗大树的高度？（结果精确到1米．参考数据‎2‎≈1.4‎3‎≈1.7）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：利用题中所给的角的度数可得到△ABD中各角的度数，进而把已知线段AB整理到直角三角形中，利用相应的三角函数即可求得所求线段的长度．‎ 解答：解：∵AF∥CE，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠FAB=60°．‎ ‎∵∠FAD=15°，‎ ‎∴∠DAB=45°．‎ ‎∵∠DBE=60°，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ABD=60°．‎ 过点D作DM⊥AB于点M，则有AM=DM．‎ ‎∵tan∠ABD=DMBM，‎ ‎∴tan60°=DMBM，‎ ‎∴DM=‎3‎BM．‎ 设BM=x，则AM=DM=‎3‎x．‎ ‎∵AB=AM+BM=8，‎ ‎∴‎3‎x+x=8，‎ ‎∴x=‎8‎‎3‎‎+1‎≈3.0，‎ ‎∴DM=‎3‎x≈5．‎ ‎∵∠ABD=∠DBE=60°，DE⊥BE，DM⊥AB，‎ ‎∴DE=DM≈5（米）．‎ 答：这棵树约有5米高．‎ 点评：通常把已知长度的线段整理到直角三角形中，利用公共边及相应的三角函数求解；所求的线段的长度也要进行代换，整理到相应的直角三角形中．‎ ‎24、（2010•抚顺）某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）直接写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）一个批发商一次购进200件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；‎ ‎（3）若每件T恤衫的成本价是45元，当10O＜X≤500件（x为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数．（2）由（1）的函数解析式，把x值代入函数解析式，求出函数值．（3）根据利润=（售价﹣成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．‎ 解答：解：（1）当0＜x≤100且x为整数（或x取1，2，3，100）时，y=80；‎ 当100＜x≤500且x为整数（或x取101，102，500）时，y=‎﹣‎‎1‎‎20‎x+85；‎ 当x＞500且x为整数（或x取501，502，503，）时，y=60．‎ ‎（2）当x=200时，y=‎﹣‎‎1‎‎20‎×200+85=75，‎ ‎∴所花的钱数为75×200=15000（元）．‎ ‎（3）当100＜x≤500且x为整数时，y=‎﹣‎‎1‎‎20‎x+85‎ ‎∴w=（y﹣45）x=（‎﹣‎‎1‎‎20‎x+85﹣45）x ‎∴w=‎﹣‎‎1‎‎20‎x‎2‎+40x（8分）‎ ‎∴w=‎﹣‎‎1‎‎20‎（x﹣400）2+8000，‎ ‎∵‎﹣‎‎1‎‎20‎＜0∴当x=400时，w最大，最大值为8000元 答：一次批发400件时所获利润最大，最大利润是8000元．‎ 点评：本题主要考查一次函数的应用，运用函数解决实际问题，比较简单．‎ ‎25、（2010•抚顺）如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；‎ ‎（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；‎ ‎（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正方形的性质。‎ 专题：综合题；数形结合。‎ 分析：（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；‎ ‎（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°，所以DF与BE的夹角β=180°﹣α．‎ 解答：解：（1）证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G（1分）‎ 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 AD=AB，AF=AE，‎ ‎∠BAD=∠EAF=90°‎ ‎∴∠FAD=∠EAB ‎∴△FAD≌△EAB（2分）‎ ‎∴∠AFD=∠AEB，DF=BE（3分）‎ ‎∵∠AFD+∠AFG=180°，‎ ‎∴∠AEG+∠AFG=180°，‎ ‎∵∠EAF=90°，‎ ‎∴∠EGF=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴DF⊥BE（5分）‎ ‎（2）数量关系改变，位置关系不变．DF=kBE，DF⊥BE．（7分）‎ 延长DF交EB于点H，‎ ‎∵AD=kAB，AF=kAE ‎∴ADAB=k，AFAE=k ‎∴ADAB=‎AFAE ‎∵∠BAD=∠EAF=a ‎∴∠FAD=∠EAB ‎∴△FAD∽△EAB（9分）‎ ‎∴DFBE‎=‎AFAE=k ‎∴DF=kBE（10分）‎ ‎∵△FAD∽△EAB，‎ ‎∴∠AFD=∠AEB，‎ ‎∵∠AFD+∠AFH=180°，‎ ‎∴∠AEH+∠AFH=180°，‎ ‎∵∠EAF=90°，‎ ‎∴∠EHF=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴DF⊥BE（5分）‎ ‎（3）不改变．DF=kBE，β=180°﹣a．（7分）‎ 证法（一）：延长DF交EB的延长线于点H∵AD=kAB，AF=kAE ‎∴ADAB=k，AFAE=k ‎∴ADAB=‎AFAE ‎∵∠BAD=∠EAF=‎ ‎∴∠FAD=∠EAB ‎∴△FAD∽△EAB（9分）‎ ‎∴DFBE‎=‎AFAE=k ‎∴DF=kBE（10分）‎ 由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB ‎∵∠AFD+∠AFH=180°‎ ‎∴∠AEB+∠AFH=180°‎ ‎∵四边形AEHF的内角和为360°，‎ ‎∴∠EAF+∠EHF=180°‎ ‎∵∠EAF=α，∠EHF=β ‎∴a+β=180°∴β=180°﹣a（12分）‎ 证法（二）：DF=kBE的证法与证法（一）相同 延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G．由△FAD∽△EAB得∠ADF=∠ABE ‎∵∠ABE=∠GBH∴∠ADF=∠GB ‎∵β=∠BHF=∠GBH+∠G∴β=∠ADF+∠G．‎ 在△ADG中，∠BAD+∠ADF+∠G=180°，∠BAD=a ‎∴a+β=180°∴β=180°﹣a（12分）‎ 证法（三）：在平行四边形ABCD中AB∥CD可得到∠ABC+∠C=180°‎ ‎∵∠EBA+∠ABC+∠CBH=180°∴∠C=∠EBA+∠CBH 在△BHP、△CDP中，由三角形内角和等于180°可得∠C+∠CDP=∠CBH+∠BHP ‎∴∠EBA+∠CBH+∠CDP=∠CBH+∠BHP ‎∴∠EBA+∠CDP=∠BHP 由△FAD∽△EAB得∠ADP=∠EBA ‎∴∠ADP+∠CDP=∠BHP即∠ADC=∠BHP ‎∵∠BAD+∠ADC=180°，∠BAD=a，∠BHP=β ‎∴a+β=180°∴β=180°﹣a（12分）‎ ‎（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分．）‎ 点评：本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．‎ ‎26、（2010•抚顺）如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（﹣2，0）、C（6，0）．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；‎ ‎（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．‎ 考点：二次函数综合题；二次函数的定义；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（﹣2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c．‎ ‎（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t＜2时，OP=6﹣t，OQ=2﹣t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积．‎ ‎（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．‎ 解答：解：（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（﹣2，0）、C（6，0）‎ ‎∴得到c=4，‎ 则‎&4a﹣2b+c=0‎‎&36a+6b+c=0‎，‎ 解得a=﹣‎1‎‎3‎，b=‎4‎‎3‎，c=4‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣‎1‎‎3‎x2+‎4‎‎3‎x+4．‎ 四边形OADE为正方形．‎ ‎（2）根据题意可知OE=OA=4OC=6OB=OF=2，‎ ‎∴CE=2∴CO=FA=6，‎ ‎∵运动的时间为t∴CP=FQ=t，‎ 过M作MN⊥OE于N，则MN=2，‎ 当0≤t＜2时，OP=6﹣t，OQ=2﹣t，‎ ‎∴S=S△OPQ+S△OPM=‎1‎‎2‎（6﹣t）×2+‎1‎‎2‎（6﹣t）（2﹣t）=‎1‎‎2‎（6﹣t）（4﹣t），‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎t=t2﹣5t+12．‎ 当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，‎ 当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，‎ ‎∵FQ=CP=t，FO=CE=2，‎ ‎∴OQ=EP，‎ ‎∴△QOM≌△PEM，‎ ‎∴四边形OPMQ的面积S=S△MOE=‎1‎‎2‎×4×2=4，‎ 综上所述，当0≤t＜2时，S=‎1‎‎2‎t2﹣5t+12；当2＜t＜6时，S=4．‎ ‎（3）存在N1（1，5），N2（5，‎7‎‎3‎），N3（2+‎22‎，﹣2），N4（2﹣‎22‎，﹣2） ．‎ 点评：本题是二次函数的综合题，考查的知识点也很多，要求会求抛物线的表达式，会运用分别类讨论思想，此题有一定的难度，做题时不能粗心大意．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ 张伟东；zhjh；Linaliu；yangjigang；hbxglhl；py168；lanchong；lzhzkkxx；MMCH；zhehe；路斐斐；nhx600；CJX；huangling；137-hui；tiankong；shenzigang；haoyujun；zhqd。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日