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- 2021-11-10 发布
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2020 年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷
一、选择题(每题 3 分,满分 30 分)
1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是 ( )
A. 2 2 42 2a a a B. 8 2 4x x x
C. 2 2 2( )x y x xy y D. 2 3 6( 3 ) 9x x
2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的
小正方体的个数最多是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.(3 分)一组从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则
该组数据的平均数是 ( )
A.3.6 B.3.8 或 3.2 C.3.6 或 3.4 D.3.6 或 3.2
5.(3 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k 有两个实数根 1x , 2x ,则实
数 k 的取值范围是 ( )
A. 1
4k B. 1
4k C. 4k D. 1
4k 且 0k
6.(3 分)如图,菱形 ABCD 的两个顶点 A ,C 在反比例函数 ky x
的图象上,对角线 AC ,
BD 的交点恰好是坐标原点 O ,已知 ( 1,1)B , 120ABC ,则 k 的值是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 42 2
x k
x x
的解为正数,则 k 的取值范围是 ( )
A. 8 0k B. 8k 且 2k C. 8k 且 2k D. 4k 且 2k
8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ,过点 D 作 DH AB 于点 H ,
连接 OH ,若 6OA , 48ABCDS 菱形 ,则 OH 的长为 ( )
A.4 B.8 C. 13 D.6
9.(3 分)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用 200 元钱购买
A 、 B 、 C 三种奖品, A 种每个 10 元, B 种每个 20 元, C 种每个 30 元,在 C 种奖品不
超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案 ( )
A.12 种 B.15 种 C.16 种 D.14 种
10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a ,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A , B 重合),
45DAM ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF BE ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、EF 、
EG .则下列结论:
① 45ECF ;
② AEG 的周长为 2(1 )2 a ;
③ 2 2 2BE DG EG ;
④ EAF 的面积的最大值是 21
8 a ;
⑤当 1
3BE a 时, G 是线段 AD 的中点.
其中正确的结论是 ( )
A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤
二、填空题(每题 3 分,满分 30 分)
11.(3 分) 5G 信号的传播速度为 300000000 /m s ,将数据 300000000 用科学记数法表示
为 .
12.(3 分)在函数 1
2
y
x
中,自变量 x 的取值范围是 .
13.(3 分)如图, Rt ABC 和 Rt EDF 中, B D ,在不添加任何辅助线的情况下,请
你添加一个条件 ,使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等.
14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球,这些球除了标号外都相同,
从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 .
15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 1 0
2 0
x
x a
有 2 个整数解,则 a 的取值范围是 .
16.(3 分)如图, AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径,若 40BAD ,则 ACB .
17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 2150 cm ,半径为15cm的扇形卡纸,围成一个
圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 cm .
18.(3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,将 ABD 沿射线 BD 平移,得到 EGF ,
连接 EC 、 GC .求 EC GC 的最小值为 .
19.(3 分)在矩形 ABCD 中, 1AB , BC a ,点 E 在边 BC 上,且 3
5BE a ,连接 AE ,
将 ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 .
20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 1y x 与 x 轴交于点 M ,与 y 轴交于点 A ,以 OA
为边作正方形 ABCO ,点 B 坐标为 (1,1) .过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ,交 x 轴于点 1O ,
过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ,以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ,点 1B 的坐标为 (5,3) .过
点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ,交 x 轴于点 2O ,过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A .以
2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C . .则点 2020B 的坐标 .
三、解答题(满分 60 分)
21.(5 分)先化简,再求值:
2
2
1 6 9(2 )1 1
x x x
x x
,其中 3tan30 3x .
22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐
标系中, ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上.
(1)将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ,并写出点 1A 的坐标;
(2)画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ,并写出点 2A 的坐标;
(3)在(2)的条件下,求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 ) .
23.(6 分)如图,已知二次函数 2y x bx c 的图象经过点 ( 1,0)A , B (3,0) ,与 y 轴
交于点 C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点 P ,使 PAB ABC ,若存在请直接写出点 P 的坐标.若不存
在,请说明理由.
24.(7 分)为了提高学生体质,战胜疫情,某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛,全
校跳绳平均成绩是每分钟 99 次,某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩,列出的频
数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点).
求:(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少,是否超过全校的平均次数;
(2)该班的一个学生说:“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范
围;
(3)从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少.
25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武
汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y (单位:千米)与快
递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉后用
2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时.
(1)求 ME 的函数解析式;
(2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间.
(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案)
26.(8 分)如图①,在 Rt ABC 中, 90ACB , AC BC ,点 D 、 E 分别在 AC 、 BC
边上, DC EC ,连接 DE 、 AE 、 BD ,点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点,
连接 PM 、 PN 、 MN .
(1) BE 与 MN 的数量关系是 .
(2)将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置,判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、
乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种蔬
菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元.
(1)该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元;购进甲种蔬菜 10 千克和
乙种蔬菜 8 千克需要 212 元,求 m , n的值.
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不多于
1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数),求有哪几种购买方案.
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20% ,求
a 的最大值.
28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x 的根,
连接 BD , 30DBC ,并过点 C 作 CN BD ,垂足为 N ,动点 P 从 B 点以每秒 2 个单
位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速
度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒 ( 0)t .
(1)线段 CN ;
(2)连接 PM 和 MN ,求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式;
(3)在整个运动过程中,当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标.
2020 年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题 3 分,满分 30 分)
1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是 ( )
A. 2 2 42 2a a a B. 8 2 4x x x
C. 2 2 2( )x y x xy y D. 2 3 6( 3 ) 9x x
【解答】解: A 、 2 2 42 2a a a ,正确;
B 、 8 2 6x x x ,故此选项错误;
C 、 2 2 2( ) 2x y x xy y ,故此选项错误;
D 、 2 3 6( 3 ) 27x x ,故此选项错误;
故选: A .
2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
【解答】解: A .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B .是中心对称图形,故本选项符合题意;
C .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;
D .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选: B .
3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的
小正方体的个数最多是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解答】解:综合主视图与左视图,第一行第 1 列最多有 2 个,第一行第 2 列最多有 1 个;
第二行第 1 列最多有 3 个,第二行第 2 列最多有 1 个;
所以最多有: 2 1 3 1 7 (个 ) .
故选: B .
4.(3 分)一组从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则
该组数据的平均数是 ( )
A.3.6 B.3.8 或 3.2 C.3.6 或 3.4 D.3.6 或 3.2
【解答】解:从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4,
2x 或 1x ,
当 2x 时,这组数据的平均数为 2 3 4 4 5 3.65
;
当 1x 时,这组数据的平均数为 1 3 4 4 5 3.45
;
即这组数据的平均数为 3.4 或 3.6,
故选: C .
5.(3 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k 有两个实数根 1x , 2x ,则实
数 k 的取值范围是 ( )
A. 1
4k B. 1
4k C. 4k D. 1
4k 且 0k
【解答】解:关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k 有两个实数根 1x , 2x ,
△ 2 2[ (2 1)] 4 1 ( 2 ) 0k k k
,
解得: 1
4k .
故选: B .
6.(3 分)如图,菱形 ABCD 的两个顶点 A ,C 在反比例函数 ky x
的图象上,对角线 AC ,
BD 的交点恰好是坐标原点 O ,已知 ( 1,1)B , 120ABC ,则 k 的值是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,
BA AD , AC BD ,
120ABC ,
60BAD ,
ABD 是等边三角形,
点 ( 1,1)B ,
2OB ,
6tan30
OBAO
,
直线 BD 的解析式为 y x ,
直线 AD 的解析式为 y x ,
6OA ,
点 A 的坐标为 ( 3 , 3) ,
点 A 在反比例函数 ky x
的图象上,
3 3 3k ,
故选: C .
7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 42 2
x k
x x
的解为正数,则 k 的取值范围是 ( )
A. 8 0k B. 8k 且 2k C. 8k 且 2k D. 4k 且 2k
【解答】解:分式方程 42 2
x k
x x
,
去分母得: 4( 2)x x k ,
去括号得: 4 8x x k ,
解得: 8
3
kx ,
由分式方程的解为正数,得到 8 03
k ,且 8 23
k ,
解得: 8k 且 2k .
故选: B .
8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ,过点 D 作 DH AB 于点 H ,
连接 OH ,若 6OA , 48ABCDS 菱形 ,则 OH 的长为 ( )
A.4 B.8 C. 13 D.6
【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,
6OA OC , OB OD , AC BD ,
12AC ,
DH AB ,
90BHD ,
1
2OH BD ,
菱形 ABCD 的面积 1 1 12 482 2AC BD BD ,
8BD ,
1 42OH BD ;
故选: A .
9.(3 分)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用 200 元钱购买
A 、 B 、 C 三种奖品, A 种每个 10 元, B 种每个 20 元, C 种每个 30 元,在 C 种奖品不
超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案 ( )
A.12 种 B.15 种 C.16 种 D.14 种
【解答】解:设购买 A 种奖品 m 个,购买 B 种奖品 n个,
当 C 种奖品个数为 1 个时,
根据题意得10 20 30 200m n ,
整理得 2 17m n ,
m 、 n都是正整数, 0 2 17m ,
1m ,2,3,4,5,6,7,8;
当 C 种奖品个数为 2 个时,
根据题意得10 20 60 200m n ,
整理得 2 14m n ,
m 、 n都是正整数, 0 2 14m ,
1m ,2,3,4,5,6;
有8 6 14 种购买方案.
故选: D .
10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a ,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A , B 重合),
45DAM ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF BE ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、EF 、
EG .则下列结论:
① 45ECF ;
② AEG 的周长为 2(1 )2 a ;
③ 2 2 2BE DG EG ;
④ EAF 的面积的最大值是 21
8 a ;
⑤当 1
3BE a 时, G 是线段 AD 的中点.
其中正确的结论是 ( )
A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤
【解答】解:如图 1 中,在 BC 上截取 BH BE ,连接 EH .
BE BH , 90EBH ,
2EH BE ,
2AF BE ,
AF EH ,
45DAM EHB , 90BAD ,
135FAE EHC ,
BA BC , BE BH ,
AE HC ,
( )FAE EHC SAS ,
EF EC , AEF ECH ,
90ECH CEB ,
90AEF CEB ,
90FEC ,
45ECF EFC ,故①正确,
如图 2 中,延长 AD 到 H ,使得 DH BE ,则 ( )CBE CDH SAS ,
ECB DCH ,
90ECH BCD ,
45ECG GCH ,
CG CG , CE CH ,
( )GCE GCH SAS ,
EG GH ,
GH DG DH , DH BE ,
EG BE DG ,故③错误,
AEG 的 周 长
2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a ,故②错误,
设 BE x ,则 AE a x , 2AF x ,
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 4 2 2 8AEFS a x x x ax x ax a a x a a ,
1 02
,
1
2x a 时, AEF 的面积的最大值为 21
8 a .故④正确,
当 1
3BE a 时,设 DG x ,则 1
3EG x a ,
在 Rt AEG 中,则有 2 2 21 2( ) ( ) ( )3 3x a a x a ,
解得
2
ax ,
AG GD ,故⑤正确,
故选: D .
二、填空题(每题 3 分,满分 30 分)
11.(3 分)5G 信号的传播速度为300000000 /m s ,将数据 300000000 用科学记数法表示为
83 10 .
【解答】解: 8300000000 3 10 .
故答案为: 83 10 .
12.(3 分)在函数 1
2
y
x
中,自变量 x 的取值范围是 2x .
【解答】解:由题意得, 2 0x ,
解得 2x .
故答案为: 2x .
13.(3 分)如图, Rt ABC 和 Rt EDF 中, B D ,在不添加任何辅助线的情况下,请
你 添加 一个 条件 (AB ED BC DF 或 AC EF 或 AE CF 等 ) , 使 Rt ABC 和
Rt EDF 全等.
【解答】解:添加的条件是: AB ED ,
理由是:在 ABC 和 EDF 中
B D
AB ED
A DEF
,
( )ABC EDF ASA ,
故答案为: AB ED .
14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球,这些球除了标号外都相同,
从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 2
5
.
【解答】解:画树状图如图所示:
共有 20 种等可能的结果,摸出的两个小球的标号之和大于 6 的有 8 种结果,
摸出的两个小球的标号之和大于 6 的概率为 8 2
20 5
,
故答案为: 2
5
.
15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 1 0
2 0
x
x a
有 2 个整数解,则 a 的取值范围是
6 8a .
【解答】解:解不等式 1 0x ,得: 1x ,
解不等式 2 0x a ,得:
2
ax ,
则不等式组的解集为1 2
ax ,
不等式组有 2 个整数解,
不等式组的整数解为 2、3,
则 3 42
a ,
解得 6 8a ,
故答案为: 6 8a .
16.(3 分)如图,AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径,若 40BAD ,则 ACB 50 .
【解答】解:连接 BD ,如图,
AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径,
90ABD ,
90 90 40 50D BAD ,
50ACB D .
故答案为 50.
17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 2150 cm ,半径为15cm的扇形卡纸,围成一个
圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 10 cm .
【解答】解: 1
2S l R ,
1 15 1502 l ,解得 20l ,
设圆锥的底面半径为 r ,
2 20r ,
10( )r cm .
故答案为:10.
18.(3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,将 ABD 沿射线 BD 平移,得到 EGF ,
连接 EC 、 GC .求 EC GC 的最小值为 4 5 .
【解答】解:如图,连接 DE ,作点 D 关于直线 AE 的对称点T ,连接 AT , ET , CT .
四边形 ABCD 是正方形,
4AB BC AD , 90ABC , 45ABD ,
/ /AE BD ,
45EAD ABD ,
D ,T 关于 AE 对称,
4AD AT , 45TAE EAD ,
90TAD ,
90BAD ,
B , A ,T 共线,
2 2 4 5CT BT BC ,
EG CD , / /EG CD ,
四边形 EGCD 是平行四边形,
CG EC ,
EC CG EC ED EC TE ,
TE EC TC
,
4 5EC CG
,
EC CG 的最小值为 4 5 .
19.(3 分)在矩形 ABCD 中, 1AB , BC a ,点 E 在边 BC 上,且 3
5BE a ,连接 AE ,
将 ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 2 或
30
5
.
【解答】解:分两种情况:
①当点 B 落在 AD 边上时,如图 1 所示:
四边形 ABCD 是矩形,
90BAD B ,
将 ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 AD 边上,
1 452BAE B AE BAD ,
ABE 是等腰直角三角形,
1AB BE , 2 2AE AB ;
②当点 B 落在 CD 边上时,如图 2 所示:
四边形 ABCD 是矩形,
90BAD B C D , AD BC a ,
将 ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 CD边上,
90B AB E , 1AB AB , 3
5BE BE a ,
3 2
5 5CE BC BE a a a , 2 2 21B D AB AD a ,
在 ADB 和△ B CE 中, 90B AD EB C AB D , 90D C ,
ADB ∽ △ B CE ,
B D AB
EC B E
,即
21 1
2 3
5 5
a
a a
,
解得: 5
3a ,或 0a (舍去),
3 5
5 5BE a ,
2 2 2 25 301 ( )5 5AE AB BE ;
综上所述,折痕的长为 2 或 30
5
;
故答案为: 2 或 30
5
.
20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 1y x 与 x 轴交于点 M ,与 y 轴交于点 A ,以 OA
为边作正方形 ABCO ,点 B 坐标为 (1,1) .过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ,交 x 轴于点 1O ,
过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ,以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ,点 1B 的坐标为 (5,3) .过
点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ,交 x 轴于点 2O ,过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A .以
2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C . .则点 2020B 的坐标 20202 3 1 , 20203 .
【解答】解:点 B 坐标为 (1,1) ,
1 1OA AB BC CO CO ,
1(2,3)A ,
1 1 1 1 1 1 1 2 3AO A B B C C O ,
1(5,3)B ,
2 (8,9)A ,
2 2 2 2 2 2 2 3 9A O A B B C C O ,
2 (17,9)B ,
同理可得 4 (53,27)B ,
5 (161,81)B ,
由上可知, (2 3 1,3 )Bn n n ,
当 2020n 时, (2 32020 1,32020)Bn .
故答案为: 2020(2 3 1 , 20203 ) .
三、解答题(满分 60 分)
21.(5 分)先化简,再求值:
2
2
1 6 9(2 )1 1
x x x
x x
,其中 3tan30 3x .
【解答】解:原式
22 2 1 ( 3)( )1 1 ( 1)( 1)
x x x
x x x x
2
3 ( 1)( 1)
1 ( 3)
x x x
x x
1
3
x
x
,
当 33tan30 3 3 3 3 33x 时,
原式 3 3 1
3 3 3
3 4
3
4 31 3
.
22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐
标系中, ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上.
(1)将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ,并写出点 1A 的坐标;
(2)画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ,并写出点 2A 的坐标;
(3)在(2)的条件下,求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 ) .
【解答】解:(1)如图所示,△ 1 1 1A B C 即为所求,点 1A 的坐标为 (0,2) ;
(2)如图所示,△ 2 2 1A B C 即为所求,点 2A 的坐标为 ( 3, 3) ;
(3)如图,
2 24 4 4 2BC ,
△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积为:
290 (4 2) 1 3 4 8 6360 2
.
23.(6 分)如图,已知二次函数 2y x bx c 的图象经过点 ( 1,0)A , B (3,0) ,与 y 轴
交于点 C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点 P ,使 PAB ABC ,若存在请直接写出点 P 的坐标.若不存
在,请说明理由.
【解答】解:(1)根据题意得 1 0
9 3 0
b c
b c
,
解得 2
3
b
c
.
故抛物线的解析式为 2 2 3y x x ;
(2)二次函数 2 2 3y x x 的对称轴是 ( 1 3) 2 1x ,
当 0x 时, 3y ,
则 (0,3)C ,
点 C 关于对称轴的对应点 1(2,3)P ,
设直线 BC 的解析式为 3y kx ,
则 3 3 0k ,
解得 1k .
则直线 BC 的解析式为 3y x ,
设与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 y x m ,
则1 0m ,
解得 1m .
则与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 1y x ,
联立抛物线解析式得 2
1
2 3
y x
y x x
,
解得 1
1
4
5
x
y
, 2
2
1
0
x
y
(舍去).
2 (4, 5)P .
综上所述, 1(2,3)P , 2 (4, 5)P .
24.(7 分)为了提高学生体质,战胜疫情,某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛,全
校跳绳平均成绩是每分钟 99 次,某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩,列出的频
数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点).
求:(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少,是否超过全校的平均次数;
(2)该班的一个学生说:“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范
围;
(3)从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少.
【 解 答 】 解 :( 1 ) 该 班 一 分 钟 跳 绳 的 平 均 次 数 至 少 是 :
60 4 80 13 100 19 120 7 140 5 160 2 100.850
,
100.8 100 ,
超过全校的平均次数;
(2)这个学生的跳绳成绩在该班是中位数,因为 4 13 19 36 ,所以中位数一定在
100 ~120 范围内;
(3)该班 60 秒跳绳成绩大于或等于 100 次的有:19 7 5 2 33 (人 ) ,
故从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是 33
50
.
25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武
汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y (单位:千米)与快
递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉后用
2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时.
(1)求 ME 的函数解析式;
(2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间.
(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案)
【解答】解:(1)设 ME 的函数解析式为 ( 0)y kx b k ,由 ME 经过 (0,50) , (3,200) 可
得:
50
3 200
b
k b
,解得 50
50
k
b
,
ME 的解析式为 50 50y x ;
(2)设 BC 的函数解析式为 y mx n ,由 BC 经过 (4,0) , (6,200) 可得:
4 0
6 200
m n
m n
,解得 100
400
m
n
,
BC 的函数解析式为 100 400y x ;
设 FG 的函数解析式为 y px q ,由 FG 经过 (5,200) , (9,0) 可得:
5 200
9 0
p q
p q
,解得 50
450
p
q
,
FG 的函数解析式为 50 450y x ,
解方程组 100 400
50 450
y x
y x
得
17
3
500
3
x
y
,
同理可得 7x h ,
答:货车返回时与快递车图中相遇的时间 17
3 h , 7h ;
(3) (9 7) 50 100( )km ,
答:两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km .
26.(8 分)如图①,在 Rt ABC 中, 90ACB , AC BC ,点 D 、 E 分别在 AC 、 BC
边上, DC EC ,连接 DE 、 AE 、 BD ,点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点,
连接 PM 、 PN 、 MN .
(1) BE 与 MN 的数量关系是 2BE NM .
(2)将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置,判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
【解答】解:(1)如图①中,
AM ME , AP PB ,
/ /PM BE , 1
2PM BE ,
BN DN , AP PB ,
/ /PN AD , 1
2PN AD ,
AC BC , CD CE ,
AD BE ,
PM PN ,
90ACB ,
AC BC ,
/ /PM BC , / /PN AC ,
PM PN ,
PMN 的等腰直角三角形,
2MN PM ,
12 2MN BE ,
2BE MN ,
故答案为 2BE MN .
(2)如图②中,结论仍然成立.
理由:连接 AD ,延长 BE 交 AD 于点 H .
ABC 和 CDE 是等腰直角三角形,
CD CE , CA CB , 90ACB DCE ,
ACB ACE DCE ACE ,
ACD ECB ,
( )ECB DCA AAS ,
BE AD , DAC EBC ,
180 ( )AHB HAB ABH
180 (45 )HAC ABH
180 (45 )HBC ABH
180 90
90 ,
BH AD ,
M 、 N 、 P 分别为 AE 、 BD 、 AB 的中点,
/ /PM BE , 1
2PM BE , / /PN AD , 1
2PN AD ,
PM PN , 90MPN ,
22 2 22BE PM MN MN .
27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、
乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种蔬
菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元.
(1)该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元;购进甲种蔬菜 10 千克和
乙种蔬菜 8 千克需要 212 元,求 m , n的值.
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不多于
1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数),求有哪几种购买方案.
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20% ,求
a 的最大值.
【解答】解:(1)依题意,得: 15 20 430
10 8 212
m n
m n
,
解得: 10
14
m
n
.
答: m 的值为 10, n 的值为 14.
(2)依题意,得: 10 14(100 ) 1160
10 14(100 ) 1168
x x
x x
,
解得: 58 60x .
又 x 为正整数,
x 可以为 58,59,60,
共有 3 种购买方案,方案 1:购进 58 千克甲种蔬菜,42 千克乙种蔬菜;方案 2:购进 59
千克甲种蔬菜,41 千克乙种蔬菜;方案 3:购进 60 千克甲种蔬菜,40 千克乙种蔬菜.
(3)购买方案 1 的总利润为 (16 10) 58 (18 14) 42 516 (元 ) ;
购买方案 2 的总利润为 (16 10) 59 (18 14) 41 518 (元 ) ;
购买方案 3 的总利润为 (16 10) 60 (18 14) 40 520 (元 ) .
516 518 520 ,
利润最大值为 520 元,即售出甲种蔬菜 60 千克,乙种蔬菜 40 千克.
依题意,得: (16 10 2 ) 60 (18 14 ) 40 (10 60 14 40) 20%a a
,
解得: 9
5a .
答: a 的最大值为 9
5
.
28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x 的根,
连接 BD , 30DBC ,并过点 C 作 CN BD ,垂足为 N ,动点 P 从 B 点以每秒 2 个单
位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速
度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒 ( 0)t .
(1)线段 CN 3 3 ;
(2)连接 PM 和 MN ,求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式;
(3)在整个运动过程中,当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标.
【解答】解:(1) AB 长是 2 3 18 0x x 的根,
6AB ,
四边形 ABCD 是矩形,
AD BC , 6AB CD , 90BCD ,
30DBC ,
2 12BD CD , 3 6 3BC CD ,
30DBC , CN BD ,
1 3 32CN BC ,
故答案为: 3 3 .
(2)如图,过点 M 作 MH BD 于 H ,
/ /AD BC ,
30ADB DBC ,
1 3
2 2MH MD t ,
30DBC , CN BD ,
3 9BN CN ,
当 90 2t 时, PMN 的面积 21 3 3 9 3(9 2 )2 2 2 4s t t t t ;
当 9
2t 时,点 P 与点 N 重合, 0s ,
当 9 62 t 时, PMN 的面积 21 3 3 9 3(2 9)2 2 2 4s t t t t ;
(3)如图,过点 P 作 PE BC 于 E ,
当 9 2PN PM t 时,
2 2 2PM MH PH ,
2 2 23 3(9 2 ) ( ) (12 2 )2 2t t t t ,
3t 或 7
3t ,
6BP 或 14
3
,
当 6BP 时,
30DBC , PE BC ,
1 32PE BP , 3 3 3BE PE ,
点 (3 3P , 3) ,
当 14
3BP 时,
同理可求点 7 3( 3P , 7)3
,
当 9 2PN NM t 时,
2 2 2NM MH NH ,
2 2 23 3(9 2 ) ( ) ( 3)2 2t t t ,
3t 或 24(不合题意舍去),
6BP ,
点 (3 3P , 3) ,
综上所述:点 P 坐标为 (3 3 , 3) 或 7 3( 3
, 7)3
.
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