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  • 2021-11-10 发布

2009年广东省梅州市中考数学试题(含答案)

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‎2009年梅州市初中毕业生学业考试 数 学 试 卷 ‎ ‎ 说明:本试卷共 4 页,23 小题,满分 120 分.考试用时 90 分钟. ‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号,再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑. ‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再重新选涂其他答案,答案不能答在试卷上. ‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. ‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. ‎ ‎5.本试卷不用装订,考完后统一交县招生办(中招办)封存. ‎ 参考公式: 抛物线的对称轴是直线,‎ 顶点坐标是. ‎ 一、选择题:每小题 3分,共 15 分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的. ‎ ‎1.的倒数为( )‎ A. B.‎2 ‎ C. D.‎ ‎2.下列图案是我国几家银行的标志,其中不是轴对称图形的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎3.数学老师布置10道填空题,测验后得到如下统计表: ‎ 答对题数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人 数 ‎4‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎8‎ 根据表中数据可知,全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是( )‎ A.8、8 B. 8、‎9 C.9、9 D.9、8‎ ‎4.下列函数:①;②;③;④.当时,y随x的增大而减小的函数有( )‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ‎ ‎5.一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题:每小题 3分,共 24 分. ‎ ‎6.计算: . ‎ ‎7.梅州是中国著名侨乡,祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人,360万用科学计数法表示为 . ‎ ‎8.如图1,在中,,则_______度. ‎ 图2‎ O O C A B 图1‎ ‎9.如图2 所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____________次旋转而得到, 每一次旋转_______度.‎ ‎10.小张和小李去练习射击,第一轮10发子弹打完后,两人的成绩如图3所示.根据图中的信息,小张和小李两人中成绩较稳定的是 .‎ 图3‎ A E D C F B D1‎ C1‎ 图4‎ ‎11.已知一元二次方程的两根为,则___________.‎ ‎12.如图4,把一个长方形纸片沿折叠后,点分别落在的位置.若,则等于_______度.‎ ‎13. 如图5,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有 个,第n幅图中共有 个.‎ ‎…‎ ‎…‎ 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 图5‎ 三、解答下列各题:本题有 10 小题,共 81 分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. ‎ C B D A 图6‎ Q ‎14.本题满分 7 分.‎ 如图 6,已知线段,分别以为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点C、Q,连结CQ与AB相交于点D,连结AC,BC.那么:‎ ‎(1)∠________度; ‎ ‎(2)当线段时, ______度,的面积等于_________(面积单位). ‎ ‎15.本题满分 7 分.‎ y(千米)‎ t(分)‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎72‎ 图7‎ O 星期天,小明从家里出发到图书馆去看书,再回到家.他离家 的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图7所示.‎ 根据图象回答下列问题: ‎ ‎(1)小明家离图书馆的距离是____________千米; ‎ ‎(2)小明在图书馆看书的时间为___________小时; ‎ ‎(3)小明去图书馆时的速度是______________千米/小时. ‎ ‎16.本题满分 7 分.‎ 计算:.‎ ‎17.本题满分 7 分. ‎ 求不等式组的整数解.‎ ‎18.本题满分 8 分. ‎ 先化简,再求值:,其中.‎ ‎19.本题满分 8 分. ‎ 如图 8,梯形ABCD中,,点在上,连与的延长线交于点G.‎ ‎(1)求证:; ‎ D C F E A B G 图8‎ ‎(2)当点F是BC的中点时,过F作交于点,若,求的长.‎ ‎20.本题满分 8 分. ‎ ‎“五·一”假期,梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图9.根据统计图回答下列问题: ‎ ‎(1)前往 A地的车票有_____张,前往C地的车票占全部车票的________%; ‎ ‎(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______; ‎ ‎(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:“每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.”试用“列表法或画树状图”的方法分析,这个规则对双方是否公平?‎ A B C 图9‎ 地点 车票(张)‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎21.本题满分 8 分. ‎ 如图10,已知抛物线与轴的两个交点为,与y轴交于点. ‎ ‎(1)求三点的坐标; ‎ ‎(2)求证:是直角三角形;‎ ‎(3)若坐标平面内的点,使得以点和三点为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标.(直接写出点的坐标,不必写求解过程) ‎ O A B x y C 图10‎ ‎22.本题满分 10 分. ‎ 如图 11,矩形中,.点是上的动点,以为直径的与交于点,过点作于点. ‎ ‎(1)当是的中点时: ‎ ‎①的值为______________; ‎ ‎② 证明:是的切线; ‎ ‎(2)试探究:能否与相切?若能,求出此时的长;若不能,请说明理由.‎ D E O C B G F A 图11‎ A B C y x 图10‎ O ‎23.本题满分 11 分. ‎ ‎(提示:为了方便答题和评卷,建议在答题卡上画出你认为必须的图形) ‎ 如图 12,已知直线过点和,是轴正半轴上的动点,的垂直平分线交于点,交轴于点. ‎ ‎(1)直接写出直线的解析式; ‎ ‎(2)设,的面积为,求关于t的函数关系式;并求出当时,的最大值; ‎ ‎(3)直线过点且与轴平行,问在上是否存在点, 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.‎ L A O M P B x y L1‎ 图12‎ Q ‎2009年梅州市初中毕业生学业考试数学 参考答案及评分意见 ‎ ‎ 一、选择题:每小题 3分,共 15 分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的. ‎ ‎1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 二、填空题:每小题 3分,共 24 分. ‎ ‎6. 7. 8.40 9.4(1分),72(2分)‎ ‎10.小张 11. 12.50 13.7(1分),(2分)‎ 三、解答下列各题:本题有 10 小题,共 81 分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. ‎ ‎14.本题满分7分.‎ ‎(1)90 2分 ‎(2)30 4分 ‎ 7分 ‎15.本题满分 7 分.‎ ‎(1)3 2分 ‎(2)1 4分 ‎(3)15 7分 ‎16.本题满分 7 分.‎ 解:.‎ ‎ 4分 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎17.本题满分 7 分. ‎ 解:由得, 2分 ‎ 由,得. 4 分 所以不等式组的解为:, 6 分 所以不等式组的整数解为:1,2. 7 分 ‎18.本题满分 8 分. ‎ 解: 3分 ‎ ‎ ‎ 6分 当时,原式. 8分 ‎19.本题满分8 分. ‎ ‎(1)证明:∵梯形,, ‎ D C F E A B G ‎19题图 ‎∴, 2 分 ‎ ‎∴. 3分 ‎ ‎(2) 由(1),‎ 又是的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∴ 6分 又∵,, ‎ ‎∴,得. ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴. 8分 ‎20.本题满分 8 分. ‎ 解:(1)30;20. 2 分 ‎ ‎(2). 4 分 ‎ ‎(3)可能出现的所有结果列表如下:‎ ‎ 小李抛到 的数字 小张抛到 的数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ 或画树状图如下:‎ ‎1 2 3 4‎ ‎1‎ ‎1 2 3 4‎ ‎2‎ ‎1 2 3 4‎ ‎3‎ ‎1 2 3 4‎ ‎4‎ 开始 小张 小李 共有 16 种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种: ‎ ‎(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3), ‎ ‎∴小张获得车票的概率为;则小李获得车票的概率为.‎ ‎∴这个规则对小张、小李双方不公平. 8 分 ‎ ‎21.本题满分 8 分. ‎ ‎(1)解:令,得,得点. 1分 令,得,解得,‎ ‎∴. 3分 ‎ O A B x y C ‎21题图 N M2‎ M1‎ M3‎ ‎(2)法一:证明:因为,‎ ‎, 4分 ‎∴, 5分 ‎∴是直角三角形. 6分 ‎ 法二:因为,‎ ‎∴, 4分 ‎∴,又,‎ ‎∴. 5分 ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴, 即是直角三角形. 6 分 ‎ ‎(3),,.(只写出一个给1分,写出2个,得1.5分) 8分 ‎22.本题满分 10 分. ‎ D E O C B G F A ‎22题图 ‎(1)① 2分 ‎ ‎②法一:在矩形中,,‎ ‎,又, ‎ ‎∴, 3分 ‎ 得, ‎ 连,则, ∴,‎ ‎, ∴, 4 分 ‎ ‎∵, ∴, ‎ ‎∴是的切线 6分 ‎ ‎(法二:提示:连,证四边形是平行四边形.参照法一给分.)‎ ‎(2)法一:若能与相切, ∵是的直径, ‎ ‎∴,则, ‎ 又, ∴, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴,设,则,得,‎ 整理得. 8 分 ‎ ‎∵, ∴该方程无实数根. ‎ ‎∴点不存在,不能与相切. 10分 法二: 若能与相切,因是的直径,则, ‎ 设,则,由勾股定理得:, ‎ 即, 整理得, 8分 ‎ ‎∵, ∴该方程无实数根. ‎ ‎∴点不存在,不能与相切. 10分 ‎(法三:本题可以通过判断以为直径的圆与是否有交点来求解,参照前一解法给分) ‎ ‎23.本题满分 11 分. ‎ ‎(1) 2分 ‎(2)∵,∴点的横坐标为,‎ ‎①当,即时,,‎ ‎∴. 3分 ‎②当时,,‎ ‎∴.‎ ‎∴ 4分 当,即时,,‎ ‎∴当时,有最大值. 6分 ‎(3)由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴,则,两点关于直线对称,所以,得. 7 分 L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 下证.连,则四边形是正方形. ‎ 法一:(i)当点在线段上,在线段上 ‎(与不重合)时,如图–1. ‎ 由对称性,得, ‎ ‎∴ , ‎ ‎∴ . 8分 ‎(ii)当点在线段的延长线上,在线段上时,如图–2,如图–3 ‎ ‎∵, ∴. 9分 ‎ ‎(iii)当点与点重合时,显然. ‎ 综合(i)(ii)(iii),. ‎ y L A O P B x L1‎ ‎23题图-3‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ ‎∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11 分 ‎ L A O P B x L1‎ ‎23题图-2‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ y 法二:由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴, 则,两点关于直线对称,所以,得. 7 分 ‎ 延长与交于点. ‎ ‎(i)如图–4,当点在线段上(与不重合)时,‎ ‎∵四边形是正方形, ‎ ‎∴四边形和四边形都是矩形,和都是等腰直角三角形.‎ ‎∴. ‎ L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 又∵, ∴, ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴, ‎ 又∵,‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴. 8分 ‎(ii)当点与点重合时,显然. 9分 ‎ ‎(iii)在线段的延长线上时,如图–5, ‎ ‎∵,∠1=∠2 ‎ ‎ ∴ ‎ 综合(i)(ii)(iii),. ‎ ‎∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11分 ‎23题图-4‎ L A O M P B x y L1‎ Q C N y L A O P B x L1‎ ‎23题图-5‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ 法三:由,所以是等腰直角三角形,若在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,所以,又轴, ‎ ‎ 则,O两点关于直线对称,所以,得. 9分 连,∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎∴,∴. 10分 ‎∴在上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形. 11分