2009年广东省梅州市中考数学试题（含答案） 12页

‎2009年梅州市初中毕业生学业考试 数 学 试 卷 ‎ ‎ 说明：本试卷共 4 页，23 小题，满分 120 分．考试用时 90 分钟． ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑． ‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． ‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． ‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． ‎ ‎5．本试卷不用装订，考完后统一交县招生办（中招办）封存． ‎ 参考公式： 抛物线的对称轴是直线，‎ 顶点坐标是． ‎ 一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． ‎ ‎1．的倒数为（ ）‎ A． B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎2．下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3．数学老师布置10道填空题，测验后得到如下统计表： ‎ 答对题数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人 数 ‎4‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎8‎ 根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ）‎ A．8、8 B． 8、‎9 C．9、9 D．9、8‎ ‎4．下列函数：①；②；③；④．当时，y随x的增大而减小的函数有（ ）‎ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ‎ ‎5．一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、填空题：每小题 3分，共 24 分． ‎ ‎6．计算： ． ‎ ‎7．梅州是中国著名侨乡，祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人，360万用科学计数法表示为 ． ‎ ‎8．如图1，在中，，则_______度． ‎ 图2‎ O O C A B 图1‎ ‎9．如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．‎ ‎10．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图3所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ．‎ 图3‎ A E D C F B D1‎ C1‎ 图4‎ ‎11．已知一元二次方程的两根为，则___________．‎ ‎12．如图4，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则等于_______度．‎ ‎13． 如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．‎ ‎…‎ ‎…‎ 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 图5‎ 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ‎ C B D A 图6‎ Q ‎14．本题满分 7 分．‎ 如图 6，已知线段，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC．那么：‎ ‎（1）∠________度； ‎ ‎（2）当线段时， ______度，的面积等于_________（面积单位）． ‎ ‎15．本题满分 7 分．‎ y(千米)‎ t(分)‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎72‎ 图7‎ O 星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家 的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图7所示．‎ 根据图象回答下列问题： ‎ ‎（1）小明家离图书馆的距离是____________千米； ‎ ‎（2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； ‎ ‎（3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时． ‎ ‎16．本题满分 7 分．‎ 计算：．‎ ‎17．本题满分 7 分． ‎ 求不等式组的整数解．‎ ‎18．本题满分 8 分． ‎ 先化简，再求值：，其中．‎ ‎19．本题满分 8 分． ‎ 如图 8，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．‎ ‎（1）求证：； ‎ D C F E A B G 图8‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．‎ ‎20．本题满分 8 分． ‎ ‎“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题： ‎ ‎（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%； ‎ ‎（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______； ‎ ‎（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？‎ A B C 图9‎ 地点 车票(张)‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎21．本题满分 8 分． ‎ 如图10，已知抛物线与轴的两个交点为，与y轴交于点． ‎ ‎（1）求三点的坐标； ‎ ‎（2）求证：是直角三角形；‎ ‎（3）若坐标平面内的点，使得以点和三点为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程） ‎ O A B x y C 图10‎ ‎22．本题满分 10 分． ‎ 如图 11，矩形中，．点是上的动点，以为直径的与交于点，过点作于点． ‎ ‎（1）当是的中点时： ‎ ‎①的值为______________； ‎ ‎② 证明：是的切线； ‎ ‎（2）试探究：能否与相切?若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．‎ D E O C B G F A 图11‎ A B C y x 图10‎ O ‎23．本题满分 11 分． ‎ ‎（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） ‎ 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点． ‎ ‎（1）直接写出直线的解析式； ‎ ‎（2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值； ‎ ‎（3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．‎ L A O M P B x y L1‎ 图12‎ Q ‎2009年梅州市初中毕业生学业考试数学 参考答案及评分意见 ‎ ‎ 一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． ‎ ‎1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 二、填空题：每小题 3分，共 24 分． ‎ ‎6． 7． 8．40 9．4（1分），72（2分）‎ ‎10．小张 11． 12．50 13．7（1分），（2分）‎ 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ‎ ‎14．本题满分7分．‎ ‎（1）90 2分 ‎（2）30 4分 ‎ 7分 ‎15．本题满分 7 分．‎ ‎（1）3 2分 ‎（2）1 4分 ‎（3）15 7分 ‎16．本题满分 7 分．‎ 解：．‎ ‎ 4分 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎17．本题满分 7 分． ‎ 解：由得， 2分 ‎ 由，得． 4 分 所以不等式组的解为：， 6 分 所以不等式组的整数解为：1，2． 7 分 ‎18．本题满分 8 分． ‎ 解： 3分 ‎ ‎ ‎ 6分 当时，原式． 8分 ‎19．本题满分8 分． ‎ ‎（1）证明：∵梯形，， ‎ D C F E A B G ‎19题图 ‎∴， 2 分 ‎ ‎∴． 3分 ‎ ‎（2） 由（1），‎ 又是的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ 6分 又∵，， ‎ ‎∴，得． ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴． 8分 ‎20．本题满分 8 分． ‎ 解：（1）30；20． 2 分 ‎ ‎（2）． 4 分 ‎ ‎（3）可能出现的所有结果列表如下：‎ ‎　小李抛到 的数字 小张抛到 的数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，3）‎ ‎（1，4）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，4）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，4）‎ ‎4‎ ‎（4，1）‎ ‎（4，2）‎ ‎（4，3）‎ ‎（4，4）‎ 或画树状图如下：‎ ‎1 2 3 4‎ ‎1‎ ‎1 2 3 4‎ ‎2‎ ‎1 2 3 4‎ ‎3‎ ‎1 2 3 4‎ ‎4‎ 开始 小张 小李 共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： ‎ ‎（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ‎ ‎∴小张获得车票的概率为；则小李获得车票的概率为．‎ ‎∴这个规则对小张、小李双方不公平． 8 分 ‎ ‎21．本题满分 8 分． ‎ ‎（1）解：令，得，得点． 1分 令，得，解得，‎ ‎∴． 3分 ‎ O A B x y C ‎21题图 N M2‎ M1‎ M3‎ ‎（2）法一：证明：因为，‎ ‎， 4分 ‎∴， 5分 ‎∴是直角三角形． 6分 ‎ 法二：因为，‎ ‎∴， 4分 ‎∴，又，‎ ‎∴． 5分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴， 即是直角三角形． 6 分 ‎ ‎（3），，．（只写出一个给1分，写出2个，得1.5分） 8分 ‎22．本题满分 10 分． ‎ D E O C B G F A ‎22题图 ‎（1）① 2分 ‎ ‎②法一：在矩形中，，‎ ‎，又， ‎ ‎∴， 3分 ‎ 得， ‎ 连，则， ∴，‎ ‎， ∴， 4 分 ‎ ‎∵， ∴， ‎ ‎∴是的切线 6分 ‎ ‎（法二：提示：连，证四边形是平行四边形．参照法一给分．）‎ ‎（2）法一：若能与相切， ∵是的直径， ‎ ‎∴，则， ‎ 又， ∴， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，设，则，得，‎ 整理得． 8 分 ‎ ‎∵， ∴该方程无实数根． ‎ ‎∴点不存在，不能与相切． 10分 法二： 若能与相切，因是的直径，则， ‎ 设，则，由勾股定理得：， ‎ 即， 整理得， 8分 ‎ ‎∵， ∴该方程无实数根． ‎ ‎∴点不存在，不能与相切． 10分 ‎（法三：本题可以通过判断以为直径的圆与是否有交点来求解，参照前一解法给分） ‎ ‎23．本题满分 11 分． ‎ ‎（1） 2分 ‎（2）∵，∴点的横坐标为，‎ ‎①当，即时，，‎ ‎∴． 3分 ‎②当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴ 4分 当，即时，，‎ ‎∴当时，有最大值． 6分 ‎（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得． 7 分 L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 下证．连，则四边形是正方形． ‎ 法一：（i）当点在线段上，在线段上 ‎（与不重合）时，如图–1． ‎ 由对称性，得， ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴ ． 8分 ‎（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图–2，如图–3 ‎ ‎∵， ∴． 9分 ‎ ‎（iii）当点与点重合时，显然． ‎ 综合（i）（ii）（iii），． ‎ y L A O P B x L1‎ ‎23题图-3‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11 分 ‎ L A O P B x L1‎ ‎23题图-2‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ y 法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得． 7 分 ‎ 延长与交于点． ‎ ‎（i）如图–4，当点在线段上（与不重合）时，‎ ‎∵四边形是正方形， ‎ ‎∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形．‎ ‎∴． ‎ L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 又∵， ∴， ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴， ‎ 又∵，‎ ‎∴． ‎ ‎ ∴． 8分 ‎（ii）当点与点重合时，显然． 9分 ‎ ‎（iii）在线段的延长线上时，如图–5， ‎ ‎∵，∠1=∠2 ‎ ‎ ∴ ‎ 综合（i）（ii）（iii），． ‎ ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分 ‎23题图-4‎ L A O M P B x y L1‎ Q C N y L A O P B x L1‎ ‎23题图-5‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ 法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， ‎ ‎ 则，O两点关于直线对称，所以，得． 9分 连，∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴，∴． 10分 ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分