北师大版数学中考专题复习与训练课件-第1篇 第3章 3二次函数的应用 69页

第一篇 过教材·考点透析 第三章　函数的图象与性质 3.5　二次函数的应用 § 考点一　二次函数与一元二次方程和不等式 的关系 § 1．二次函数与一元二次方程 § 通过分析一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的 情况，可以得出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象与x轴的交点情况； § 反过来，已知二次函数的图象与x轴的交点情 况，可以得出对应一元二次方程的根的情 况． § (1)当Δ＝b2－4ac①______0时，图象与x轴 交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2)两点，其中的x1、 x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两 根．x1、x2和的一半恰好是对称轴的横坐 标． 第 2 页 >　 § (2)当Δ②______0时，图象与x轴只有一个交 点． § (3)当Δ③______0时，图象与x轴没有交 点．分为以下两种情况： § 如果a>0，那么图象落在x轴的上方，即无论 x为何实数，都有y>0； § 如果a<0，那么图象落在x轴的下方，即无论 x为何实数，都有y<0. § 2．二次函数与一元二次不等式 § (1)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴 ④________的点的横坐标都满足ax2＋bx＋ c>0(a≠0)，所以图象在x轴上方的点的横坐标 x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋ c>0(a≠0)的解集． § (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴 ⑤________的点的横坐标都满足ax2＋bx＋ c<0(a≠0)，所以图象在x轴下方的点的横坐标 x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋ c<0(a≠0)的解集． 第 3 页 ＝　 <　 上方　 下方　 第 4 页 § 1．概述 § 在现实的生活、生产中存在着很多有关二次 函数的实际问题，我们要善于通过分析实际 问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二 次函数解决有关的实际问题． § 2．用二次函数解决实际问题的步骤 § (1)建立起实际问题中的二次函数关系(或根据 题意写出，或用待定系数法求出)； § (2)根据实际问题确定其自变量的取值范围； § (3)根据二次函数的图象和性质，研究解决实 际问题并给出答案． 第 5 页 第 6 页 § 在中考中，二次函数与几何图形综合问题常 在压轴题中出现(即最后一题)，常考查角、 线段间的数量关系或最值；图形面积之间的 数量关系；特殊三角形、特殊四边形的存在 性等问题．在本书P166中，我们将详细讲解 (练习)二次函数与几何图形综合的各种类 型． 第 7 页 第 8 页 A 　 第 9 页 § 命题点二　二次函数与几何图 形综合 § 3．(2019·凉山中考)如图，抛 物线y＝ax2＋bx＋c的图象过 点A(－1,0)、B(3,0)、 C(0,3)． § (1)求抛物线的解析式； § (2)在抛物线的对称轴上是否 存在一点P，使得△PAC的周 长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不 存在，请说明理由； § (3)在(2)的条件下，在x轴上方 的抛物线上是否存在点M(不 与C点重合)，使得S△PAM＝ S△PAC？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理 由． 第 10 页 第 11 页 图1 第 12 页 第 13 页 第 14 页 § 4．(2019·达州中考)如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(1,0)， B(－3,0)． § (1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标； § (2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO＋∠CDO)＝4时，求点D的坐标； § (3)如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点， 线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、 n，求m－n的最大值． 第 15 页 第 16 页 第 17 页 第 18 页 第 19 页 第 20 页 第 21 页 § 6．(2018·雅安中考) 如图1，抛物线y＝－x2 ＋2x＋3与x轴交于A、 B两点(点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C， 过点C作CD∥x轴，交 抛物线于另一点D，连 结AD． § (1)求点A、B、D的坐 标； § (2)若点P是直线AD上 方抛物线上一点，求 △PAD面积的最大值； 第 22 页 (3)如图2，过点A作AE与抛物线交于点E，且AB平分∠DAE，在x轴上是否存 在点M，使得△AEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由． § 解：(1)令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴点 A的坐标为(－1,0)，点B的坐标为(3,0)．又令x＝0，则y＝3，∴ 点C的坐标为(0,3)．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且点C、D关 于其对称，∴点D的坐标为(2,3)． 第 23 页 第 24 页 第 25 页 第 26 页 第 27 页 第 28 页 第 29 页 第 30 页 第 31 页 第 32 页 第 33 页 § 命题点三　二次函数的实际应用 § 9．(2018·绵阳中考)如图是抛物线型拱桥， 当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降 2 m，水面宽度增加____________m. 第 34 页 § 10．(2016·成都中考)某果园有100棵橘子树， 平均每棵树结600个橘子，现准备多种一些 橘子树以提高果园产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光 就会减少．根据经验估计，每多种一棵树， 平均每棵树就会少结5个橘子，假设果园多种 了x棵橘子树． § (1)直接写出平均每棵树结的橘子个数y(个)与 x之间的关系； § (2)果园多种多少棵橘子树时，可使橘子的总 产量最大？最大为多少个？ § 解：(1)y＝600－5x(0≤x＜120)． § (2)设果园多种x棵橘子树时，橘子的总产量 为w个，则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋ 100x＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500.∵a＝ －5＜0，∴当x＝10时，w的最大值是60 500. 故果园多种10棵橘子树时，可使橘子的总产 量最大，最大为60 500个． 第 35 页 第 36 页 第 37 页 第 38 页 第 39 页 § 13．(2019·南充中考)在“我为祖国点赞” 征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的 学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知 购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支 钢笔和5个笔记本共70元． § (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？ § (2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每 增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按 购买50支的单价售，笔记本一律按原价销 售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100 人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超 过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购 买奖品总金额最少，最少为多少元？ 第 40 页 第 41 页 § 14．(2018·凉山中考)结合西昌市创建文明 城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 80 m，宽60 m的矩形空地建成花园小广场， 设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块 绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活 动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 36 m，不大于44 m，预计活动区造价为60元 /m2，绿化区造价为50元/m2，设绿化区域较 长直角边为x m. § (1)用含x的代数式表示出口的宽度； 第 42 页 (2)求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写 出x的取值范围； (3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全 部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不 能，请说明理由； § (4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最 省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿 化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11 m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务， 问原计划每天绿化多少m2? § 解：(1)(80－2x)m. 第 43 页 第 44 页 § 15．(江苏连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高 度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说 法中正确的是(　　) § A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同　　 § B．点火后24 s火箭落于地面 § C．点火后10 s的升空高度为139 m　　 § D．火箭升空的最大高度为145 m 第 45 页 核心素养 D 　 § 16．(2019·湖北襄阳中考)如图，若被击打 的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单 位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小 球从飞出到落地所用的时间为______s. 第 46 页 4　　 § 突破点一　二次函数与不等式(组) § (湖北咸宁中考)如图，直线y＝mx＋n与 抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)、B(4， q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx ＋c的解集是____________________. 第 47 页 x＜－1或x＞4　 思路分析：观察函数图象可知，当x＜－1或x＞4时，直 线y＝mx＋n在抛物线y＝ax2＋bx＋c的上方，∴不等式mx＋n ＞ax2＋bx＋c的解集为x＜－1或x＞4. 解题技巧：根据两个函数图象的位置关系找出不等式的 解集是解题的关键． § 突破点二　二次函数图象与一元二次方程的 关系 § (2019·湖北武汉中考)抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过A(－3,0)、B(4,0)两点，则关于x的一 元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是 ________________________. § 思路分析：将关于x的一元二次方程a(x－1)2 ＋c＝b－bx变形为a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0， 把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单 位得到y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c.因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(4,0)，所 以抛物线y＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c与x轴的两 交点坐标为(－2,0)，(5,0)，所以一元二方程 a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解为x1＝－2，x2 ＝5. § 解题技巧：将方程与平移后的抛物线解析式 联系起来，根据平移方式确定平移后的抛物 线与x轴的交点，从而得出方程的解． 第 48 页 x1＝－2，x2＝5　 § 突破点三　二次函数的实际应用 § (安徽中考)小明大学毕业回家乡创业， 第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计， 盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均 每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加 1盆，平均每盆利润减少2元；每减少1盆， 平均每盆利润增加2元；②花卉的每盆利润始 终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共 100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第 二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1、 W2(单位：元)． § (1)用含x的代数式分别表示W1、W2； § (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉 售完后获得的总利润W最大，最大总利润是 多少？ 第 49 页 § 思路分析：(1)由于培植的盆景比第一期增加 x盆，则第二期盆景有(50＋x)盆，花卉有(50 －x)盆，根据“利润＝盆数×每盆的利润” 可得函数解析式；(2)将盆景的利润加上花卉 的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方 成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． § 自主解答： 解：(1)由于培植的盆景比第一期 增加x盆，则第二期盆景有(50＋x)盆，花卉 有(50－x)盆，所以W1＝(50＋x)·(160－2x) ＝－2x2＋60x＋8000，W2＝19(50－x)＝－ 19x＋950. 第 50 页 第 51 页 第 52 页 A 双基过关 B 　 § 2．(2019·山东临沂中考)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高 度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所 示．下列结论： § ①小球在空中经过的路程是40 m； § ②小球抛出3 s后，速度越来越快； § ③小球抛出3 s时速度为0； § ④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s. § 其中正确的是(　　) § A．①④　　 B．①②　 § C．②③④　　 D．②③ 第 53 页 D 　 § 3．(2018·北京中考)跳台滑雪是 冬季奥运会比赛项目之一．运动 员起跳后的飞行路线可以看作是 抛物线的一部分，运动员起跳后 的竖直高度y(单位：m)与水平距 离x(单位：m)近似满足函数关系 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录 了某运动员起跳后的x与y的三组 数据，根据上述函数模型和数据， 可推断出该运动员起跳后飞行到 最高点时，水平距离为(　　) § A．10 m　　 § B．15 m　 § C．20 m　　 § D．22.5 m 第 54 页 B 　 第 55 页 24　 150　 x1＝2，x2＝4　 § 7．(2018·四川达州中考)“绿水青山就是金 山银山”的理念已融入人们的日常生活中， 因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某 自行车店在销售某型号自行车时，以高出进 价的50%标价．已知按标价九折销售该型号 自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利 相同． § (1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少 元？ § (2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标 价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆 自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求 该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？ 最大利润是多少？ 第 56 页 第 57 页 第 58 页 第 59 页 § 9．(2019·四川宜宾中考)已知抛物线y＝x2－ 1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数) 相交于B，C两点，则下列结论不正确的是(　 　) § A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 § B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角 分别为30°和60° § C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形 § D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形第 60 页 B 满分过关 D 　 第 61 页 A 　 第 62 页 D 　 第 63 页 第 64 页 第 65 页 第 66 页 第 67 页 第 68 页 第 69 页