人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-利用平移思想构造辅助线 30页

‎7.利用平移思想构造辅助线 ‎1.已知：如图，中，，点分别在边上，，交于，，是的中点，交于，求证：．‎ 答案：见解析 解析：连接 ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 延长至，使，连接，则四边形是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎2.已知：如图，在中，，分别以为边，向外作正方形和正方形，连接，延长交于．‎ ‎（1）若 ，，求的长；‎ ‎（2）求证：．‎ 解析：（1）解：∵‎ ‎∴设，则 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去负值）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）证明：过作，交延长线于，连接 ‎∵，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎3.已知点是内一点，满足，以为邻边作平行四边形，求证：．‎ 答案：见解析 解析：以为邻边作平行四边形，连接交于，连接 则，，‎ ‎∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎4.在中，，分别为延长线上的点，与的交点为．‎ ‎（1）若，在图1中画出符合题意的图形，直接写出的度数；‎ ‎（2）若，，求的度数（利用图2作答）．‎ 解析：‎ ‎（1）如图1，‎ 说明：‎ 将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形 又 在中，‎ 又 ‎（2）解法一：如图2，将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴在中， ‎ ‎∴‎ 解法二：如图3，将平移到，连接，，，则四边形是平行四边形 ‎∵，‎ ‎∴四边形是矩形 ‎∴，‎ ‎∵在中， ‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ 又∵ ，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎5.（1）在一个矩形纸片上按照图1的方式剪下，其中，将沿着直线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和（如图2），已知，长为．现以、和为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于，求可能的最大整数值；‎ ‎（2）如图3，已知，，请利用 图形变换探究与 的大小关系．‎ 解析：（1）分别取的中点，连接、、、、、‎ ‎∵中，，由平移变换的性质知、和都是等腰三角形 ‎∴，，‎ 在中，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴新三角形三边长为、、‎ ‎∵，‎ ‎∴新三角形为直角三角形，其面积为 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎（或通过转换得新三角形三边就是，即求的面积，或利用与相似，求的面积也可）‎ ‎∴的最大整数值为 ‎（2）将沿方向平移个单位，得到，将沿方向平移个单位，得到，‎ ‎∵ ‎ 又，‎ ‎∴是等边三角形 ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴三点共线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎6.如图，已知 ‎（1）请你在边上分别取两点、（的中点除外），连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；‎ ‎（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明.‎ 答案：见解析 解析：‎ 解：（1）如图,；和，和；‎ ‎（2）证法一：如图，分别过点作的平行线，两线相交于点，于交于点；‎ 所以，‎ 在和中，又，‎ 可证，‎ 所以，，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以,,‎ 所以,‎ 即，‎ 所以.‎ 证法二：如图，分别过作的平行线，两线相交于点，于交于点，连结，‎ 则四边形是平行四边形。‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以 所以四边形是平行四边形。‎ 所以 在中，；在中，，‎ 可推得：‎ 所以.‎ 证法三：如图4，取的中点，连结并延长到点，使得，连结、，延长交于点，‎ 在和中，又，，‎ 可证：‎ 所以 因为，，‎ 所以，‎ 同理可证 所以 在中，，‎ 在中，，‎ 可推得，‎ 即,‎ 所以 ‎ ‎7.现场学习：我们知道，若锐角的三角函数值为，则可通过计算器得到角的大小，这时我们用来表示，记作：；若，则记；若，则记．‎ 解决问题：如图，已知正方形，点是边上一动点，点在边或其延长线上，点在边上．连结，交点为．‎ ‎（1）如图1，若，请直接写出 °；‎ ‎（2）如图2，若，，设．请判断当点在上运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出．‎ 解析：（1）‎ 连接 ‎∵正方形 又 ‎∴三角形为直角三角形，且 又 ‎（2）答：不会变化.‎ 证明：如图2，过点作交于,连接.‎ ‎∵ 正方形中，,‎ ‎∴ 四边形为平行四边形.‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，，.‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在中, ．‎ ‎∴‎ ‎8.已知矩形和点，当点在上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：‎ ‎（1）当点分别在图（2）中的位置时，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．‎ ‎（2）当点分别在图（3）中的位置时，和又有怎样的数量关系？‎ 请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（3）证明你的结论．‎ ‎（3）请问在图（3），与三者之间的关系，并证明．‎ 解析：‎ ‎（1）结论是 方法一：‎ 如图2过点作于点，交于点，‎ 因为，，所以 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 所以 因为，所以四边形是矩形 所以，同理，‎ 所以 即 方法二：提示：过点作，，连接、，则四边形对角线互相垂直，下面证明略 ‎（2）结论是 证明：如图所示，过点作，过点作，过点作于点，连接。‎ 则四边形和四边形是平行四边形 ‎∴‎ 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）结论：‎ 过点分别作于点，于点 ‎∴；‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎9.在中，点为的中点．‎ ‎（1）如图1，求证：；‎ ‎（2）延长到，使得，延长到，使得，连接．‎ ‎①如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；‎ ‎②请在图3中证明：．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎（1）证明：如图1，延长至，使得，连接 ‎∵，‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ 在中，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）①‎ 证明：如图2，过作交于，连接，则 ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴是等边三角形 ‎∴，‎ ‎∴是等边三角形 ‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∵点为的中点，‎ ‎∴三点在一条直线上，且 在和中，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎②分两种情况：‎ ⅰ）如图3，当时 则，∴‎ ⅱ）如图4，当时 以为一组邻边作平行四边形 则，，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴，即 综上所述：‎ ‎10.在中，，，点分别在边上，且，点为的中点，连接，点为的中点，连接．‎ ‎（1）如图1，求证：；‎ ‎（2）如图2，延长交于点，过点作交于点，若，，求的长．‎ 解析：‎ ‎（1）延长到，使，连接 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）取中点，连接并延长到，使，连接，则四边形是平行四边形 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，，‎ ‎∴‎ 由（1）知，又是公共角，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 设交于点 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎