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- 2021-11-10 发布
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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
(h ,k) (h ,k)
x=h x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大
当xh时，
y随着x的增大而减小
x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0) y轴 0
(0,-5) y轴 -5
(-2,0) 直线x=-2 0
(-2,-4) 直线x=-2 -4
(4,3) 直线x=4 3
? ? ?
? ? ?
探究归纳
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些
知识来讨论 的图象和性质？21 6 212y x x
问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？21 6 212y x x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1
21 6 212y x x 配方可得
2 2 21 ( 12 6 6 42)2 x x
21 ( 12 42)2 x x
2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]2 x x
21 [( 6) 6]2 x 想一想：配方的方法及
步骤是什么？
21 ( 6) 3.2 x
问题2： 二次函数 可以看作是由
怎样平移得到的？
21 ( 6) 32y x 21
2y x
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题3： 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21 ( 6) 32y x
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题4： 如何用描点法画二次函数 的图象？21 6 212y x x
…
…
…
…9876543x
解: 先利用图形的对称性列表
21( 6) 32y x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5
5 10 x
y
5
10然后描点画图，得到图象如右图.
O
问题5 ：结合二次函数 的图象，说出其性
质.
21 6 212y x x
5 10 x
y
5
10
x=6
解：当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？
O
想一想：
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0）
化成顶点式y=a(x-h)2+k？
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k2
y=ax²+bx+c ca
b
a
bxa
bxa
22
2
22
2 2
2
2 2
b b ba x x ca a a
ca
b
a
bxa
42
22
2 24 .2 4
b a c ba x a a
★二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2
2 2 4( ) .2 4
b ac by ax bx c a x a a
24( , ).2 4
b ac b
a a
2
bx a
，
★二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1) (2)
x
y
O x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的
增大而减小；当x> 时，
y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x
的增大而增大；当x> 时，
y随x的增大而减小.
2
bx a
2
bx a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的
增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小.由题设可知，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线
x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即
b≤1，故选择D .
2
2 ( 1)
bx b
D
例1
练一练
填表：
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,1) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6)1
3
直线x= 1
3
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－
2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二
象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a
＋c)2＜b2，故④正确．
解析:由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b
＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故
①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系1
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其
中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
例2
★二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系
①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；
②a、b同号对称轴在y轴的左侧；
a、b异号对称轴在y轴的右侧；
③c＝0⇔经过原点；
c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方；
c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方；
④当x＝1时，y的值为a＋b＋c；
当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，
若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得
出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小.
a
b
2
a
b
2
a
b
2
< 12
b
a
-
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
5
2
3
2
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
2
2
(1) 2 12 13;
(2) 5 80 319;
1(3) 2 2 ;2
(4) 1 2 .
y x x
y x x
y x x
y x x
直线x=3 3, 5
直线x=8 8, 1
直线x=1.25
5 9, 4 8
直线x= 0.5 1 9, 2 4
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，
有下列结论：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是
（ ）
2
3
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
x
y
O 2
x=-1
B
O
y
x
–1
–2
3
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
24( , )2 4
b ac b
a a
2
bx a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式) (顶点式)
2
2 4( )2 4
b ac by a x a a
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