九年级下册数学教案30-4 第3课时 将二次函数问题转化为一元二次方程问题 冀教版 2页

第3课时 将二次函数问题转化为一元二次方程问题 ‎1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．‎ ‎2．能将二次函数问题转化为一元二次方程问题解决运动轨迹及落点问题.‎ 一、情境导入[来源:Z,xx,k.Com]‎ 跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，设拿绳的手此时距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？‎ 要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？‎ 二、合作探究 探究点：二次函数在体育活动中的应用 ‎【类型一】 运动轨迹问题[来源:学_科_网]‎ ‎ 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．‎ ‎(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？‎ 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．‎ 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上 ‎，所以此球一定能投中．[来源:学科网]‎ ‎(2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．‎ ‎【类型二】 落点问题 ‎ 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．‎ ‎(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；‎ ‎(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)?[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)?‎ 解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．‎ 解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.所以函数表达式为y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；‎ ‎(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．所以足球第一次落地距守门员约13米；‎ ‎(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)．‎ 所以2＝－(x－6)2＋4，解得x1＝6－2，x2＝6＋2，‎ 所以CD＝|x1－x2|＝4≈10.‎ 所以BD＝13－6＋10＝17(米)．‎ 方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答．‎ 三、板书设计 将二次函数问题转化为一元二次方程问题：（1）运动轨迹问题；（2）落点问题.‎ 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．‎