2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题（学生版） 12页

专题 37 二次函数问题 1.二次函数的概念： 一般地，自变量 x 和 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c 为常数)，则称 y 为 x 的二次函 数。抛物线 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 叫做二次函数的一般式。 2.二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质 (1)对称轴： 2 bx a   (2)顶点坐标： 24( , )2 4 b ac b a a  (3)与 y 轴交点坐标(0，c) (4)增减性： 当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大； 当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小。 3.二次函数的解析式三种形式 (1)一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. y xO (2)顶点式 2( )y a x h k   2 2 4( )2 4 b ac by a x a a    . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 (3)交点式 1 2( )( )y a x x x x   .已知图像与 x 轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式。 4．根据图像判断 a,b,c 的符号 (1)a 确定开口方向 ：当 a>0 时，抛物线的开口向上；当 a<0 时，抛物线的开口向下。 (2)b ——对称轴与 a 左同右异。 (3)抛物线与 y 轴交点坐标(0，c) 5．二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴交点的横坐标 x1, x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。 抛物线 y=ax2 +bx+c，当 y=0 时，抛物线便转化为一元二次方程 ax2 +bx+c=0 2 4b ac >0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； 2 4b ac =0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4b ac <0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 x 轴没有交点。 6．函数平移规律：左加右减、上加下减. 【例题 1】(2020 贵州黔西南)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于 另一点 B，交 x 轴于 C，D 两点(点 C 在点 D 右边)，对称轴为直线 x＝ 5 2 ，连接 AC，AD，BC．若点 B 关于直 线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是( ) A. 点 B 坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ 1 6  D. OC•OD＝16 【对点练习】(2020 湖北天门模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为(﹣ 1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【例题 2】(2020•无锡)二次函数 y＝ax2﹣3ax+3 的图象过点 A(6，0)，且与 y 轴交于点 B，点 M 在该抛物线 的对称轴上，若△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为 ． 【对点练习】已知抛物线 y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2，4)，则 4a+c﹣1= ． 【例题 3】(2020•河南)如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝ OB，点 G 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标； (2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， 点 Q 为抛物线上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围． 【对点练习】如图，抛物线 y=x2﹣bx+c 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B，对称轴 是 x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使 △ PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由． 一、选择题 1．(2020•鄂州)如图，抛物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(﹣1，0)和 B，与 y 轴交于点 C．下列结论： ① abc＜0， ② 2a+b＜0， ③ 4a﹣2b+c＞0， ④ 3a+c＞0，其中正确的结论个数为( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．(2020•株洲)二次函数 y＝ax2+bx+c，若 ab＜0，a﹣b2＞0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数的图象上， 其中 x1＜x2，x1+x2＝0，则( ) A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2 的大小无法确定 3．(2020•襄阳)二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ① ac＜0； ② 3a+c＝0； ③ 4ac﹣b2＜0； ④ 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确的有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 4．(2020•广东)把函数 y＝(x﹣1)2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为( ) A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3 5．(2020•菏泽)一次函数 y＝acx+b 与二次函数 y＝ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A． B． C． D． 6．(2020•天津)已知抛物线 y＝ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0，c＞1)经过点(2，0)，其对称轴是直线 x ．有 下列结论： ① abc＞0； ② 关于 x 的方程 ax2+bx+c＝a 有两个不等的实数根； ③ a＜ ． 其中，正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．(2020•陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿 y 轴向下平移 3 个单位．则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8.(2019 哈尔滨)将抛物线 22xy  向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A． 3)2(2 2  xy B． 3)2(2 2  xy C． 3)2(2 2  xy D． 3)2(2 2  xy 9.(2019 年陕西省)已知抛物线 2 ( 1)y x m x m    ，当 1x  时， 0y  ，且当 2x   时， y 的值随 x 值 的增大而减小，则 m 的取值范围是( )． A． 1m   B． 3m  C． 1 3m   D．3 4m  10.(2019 广西梧州)已知 0m  ，关于 x 的一元二次方程 ( 1)( 2) 0x x m    的解为 1x ， 2 1 2( )x x x ，则下列 结论正确的是 ( ) A． 1 21 2x x    B． 1 21 2x x    C． 1 21 2x x    D． 1 21 2x x    二、填空题 11．(2020•南京)下列关于二次函数 y＝﹣(x﹣m)2+m2+1(m 为常数)的结论： ① 该函数的图象与函数 y＝﹣x2 的图象形状相同； ② 该函数的图象一定经过点(0，1)； ③ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； ④ 该函数的图 象的顶点在函数 y＝x2+1 的图象上．其中所有正确结论的序号是 ． 12．(2020•连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x(单位：min)满足函数表达式 y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min． 13．(2020•泰安)已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)的 y 与 x 的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣4 6 下列结论： ① a＞0； ② 当 x＝﹣2 时，函数最小值为﹣6； ③ 若点(﹣8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则 y1＜y2； ④ 方程 ax2+bx+c＝﹣5 有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．(把所有正确结论的序号都填上) 14．(2020•哈尔滨)抛物线 y＝3(x﹣1)2+8 的顶点坐标为 ． 15．(2020•无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴： ． 16．(2020•上海)如果将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 17．(2020•黔东南州)抛物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为(﹣3，0)， 对称轴为 x＝﹣1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是 ． 18．(2020•灌南县一模)二次函数 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象的顶点坐标为 ． 19.(2019 黑龙江哈尔滨)二次函数 8)6( 2  xy 的最大值是 ． 20.(2019 江苏镇江)已知抛物线 y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点 A(m，3)，B(n，3)两点，若线段 AB 的长不大 于 4，则代数式 a2＋a＋1 的最小值是 ． 21.(2019 内蒙古赤峰)二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： ① b＞0； ② a﹣b+c＝0； ③一元二次方程 ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； ④ 当 x＜﹣1 或 x＞3 时，y＞0．上述结论中正 确的是 ．(填上所有正确结论的序号) 三、解答题 22．(2020•陕西)如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点(3，12)和(﹣2，﹣3)，与两坐标轴的交点分别为 A，B，C， 它的对称轴为直线 l． (1)求该抛物线的表达式； (2)P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使以 P、D、E 为顶点的三角形 与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 23．(2020•凉山州)如图，二次函数 y＝ax2+bx+x 的图象过 O(0，0)、A(1，0)、B( ， )三点． (1)求二次函数的解析式； (2)若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交于点 D，求直线 CD 的解析式； (3)在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 PQ⊥x 轴，交直线 CD 于 Q，当线段 PQ 的 长最大时，求点 P 的坐标． 24．(2020•黑龙江)如图，已知二次函数 y＝﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C，已知△BAC 的面积是 6． (1)求 a 的值； (2)在抛物线上是否存在一点 P，使 S△ABP＝S△ABC．若存在请求出 P 坐标，若不存在请说明理由． 25．(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 y＝x2+px+q 的图象过点(﹣1，0)，(2，0)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当﹣2≤x≤1 时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y＝(2﹣m)x+2﹣m 的图象与二次函数 y＝x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a＜3＜ b，求 m 的取值范围． 26．(2020•甘孜州)某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之 间的关系可以近似看作一次函数 y＝kx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/ 件时，每周销售 10 件． (1)求 k，b 的值； (2)求销售该商品每周的利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最 大利润． 27．(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线 y＝x+m 经过点 A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点． (1)判断点 B 是否在直线 y＝x+m 上，并说明理由； (2)求 a，b 的值； (3)平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m 上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大 值． 28．(2020•上海)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B(如图)．抛物线 y ＝ax2+bx(a≠0)经过点 A． (1)求线段 AB 的长； (2)如果抛物线 y＝ax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC ，求这条抛物线的表达式； (3)如果抛物线 y＝ax2+bx 的顶点 D 位于△AOB 内，求 a 的取值范围． 29．(2020•苏州)如图，二次函数 y＝x2+bx 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于 x 轴的直线 l 与该抛物线 交于 B、C 两点(点 B 位于点 C 左侧)，与抛物线对称轴交于点 D(2，﹣3)． (1)求 b 的值； (2)设 P、Q 是 x 轴上的点(点 P 位于点 Q 左侧)，四边形 PBCQ 为平行四边形．过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线， 与抛物线交于点 P'(x1，y1)、Q'(x2，y2)．若|y1﹣y2|＝2，求 x1、x2 的值． 30．(2020•台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图 1)． 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为 h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm) 与 h 的关系式为 s2＝4h(H﹣h)． 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满 水，在离水面竖直距离 hcm 处开一个小孔． (1)写出 s2 与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？ (2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求 a，b 之间的关系式； (3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离． 31．(2020•滨州)某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，则一个月可售出 500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1 元，则月销售量就减少 10 千克． (1)当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？ (2)当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？ (3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 32．(2019 贵州贵阳)如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直 线 x＝1 对称，点 A 的坐标为(﹣1，0)． (1)求二次函数的表达式； (2)连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15°，求线段 CP 的长度； (3)当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值．