华师版数学九年级下册课件-第27章 圆-27圆的认识 44页

HS九(下) 教学课件 27.1 圆的认识 第27章 圆 3. 圆周角 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点） 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、 C两点. C A E D B 思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的 难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度 大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点 的位置射门更有利？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 圆周角的定义1 · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （3）顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交√ √√ 如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点 （除点A、B外），那么，∠ABC 就是直径AB所对的圆 周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ ·OA C B 解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、 △BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 圆周角和直径的关系 u圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°. 求∠ABC的大小. O CA B解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.） ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 例1 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系. 1 2BAC BOC   圆周角定理及其推论2 圆心O 在∠BAC 的内部 圆心O在∠BAC 的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 推导与论证 n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2BAC BOC   O A B D O A C D O A B C D n圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D BAD BOD1 2    DAC DOC1 2   BAC BAD DAC BOD DOC BOC1 1( )2 2              DAC DOC1 2 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D n圆心O在∠BAC的外部 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上 任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由. D Q BAC BOC1 ,2    1 ,2BDC BOC   ∴∠BAC=∠BDC 相等，理由如下： 圆周角定理的推论3 D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ » ¼，CD EF » ¼Q ，CD EF 相等 .COD EOF   Q ， ，A COD B EOF1 1 2 2       .A B   想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ » ¼CD EF (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ u圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧也相等. 圆周角定理 A1 A2 A3 推论1：90°的圆周角所对的 弦是直径. 试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、 C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD 为四边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ((( ( ( ( ( ( 23 4 5 6 7 8 如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. A D B E C (2)连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 例2 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O 于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 2 2 2 210 6 8;DC AC AD     例3 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. 2 2 10 5 2(cm).2 2AB BC AC      B 提示:解答圆周角有关问题时，若题中出现“直 径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 如图，BD是⊙ O的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙ O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径 所对的圆周角，构造直角三角形解题． 如图,AB是⊙ O的直径,弦CD交AB于点P, ∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数. . OA D C P B 解:连结BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋ 70°＝100°. 例4 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个 圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的 内接多边形. 圆内接四边形4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ⊙O为四边形ABCD的外接圆. u探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 推论：圆的内接四边形的对角互补. 证明猜想 归纳总结 C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 推论：圆的内接四边形的任何一个外 角都等于它的内对角. C O D B A E 归纳总结 1．四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶ ∠B∶ ∠C= 1∶ 2∶ 3 ，则∠D= . 70º 100º 90º 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O 于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据． 例5 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°， 那么∠BCD是 (　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝ 180°－60°＝120°，故选A. A 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度 数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A + ∠C=∠B+∠D=180°. ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°， ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°- 67.5°=112.5°. 例6 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． BA C O 166° 3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于 点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 （ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问 题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再 灵活运用圆周角定理. AB C D O 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如 果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是 （ ） A. 115° B.130° C.65° D. 50° 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， P是AB上的一点，则∠APB= . A B C P C 120° 6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 130° 50° 7.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°， AB＝2，则⊙O的半径是 . 解析：连结OA、OB， ∵∠C=30° ，∴∠AOB=60°. 又∵OA=OB ， ∴△AOB是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 C A B O A O B C ∴∠ACB=2∠BAC 证明： 8. 如图，OA，OB，OC都是⊙ O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. Q ACB AOB1 ,2    1 ,2BAC BOC   ∠AOB=2∠BOC， 9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到 暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两 点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危 险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区 域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船 位于暗礁区域外（即⊙O外） ， 与两个灯塔的夹角∠α小于“危 险角”. 如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D, 交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： .» »BD DE A B CD E A B CD E ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等） 解:BD=CD.理由是:连结AD, » » BD DE 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理 的推论 在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的 弧相等. 1.90°的圆周角所 对的弦是直径； 2.圆内接四边形的 对角互补. 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备） 圆周角与直 线的关系 半圆或直径所 对的圆周角都 相等，都等于 90°（直角）.