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- 2021-11-10 发布
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HS九(下)
教学课件
27.1 圆的认识
第27章 圆
3. 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.(重点、难点)
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
(难点)
问题1 什么叫圆心角?指出图中的圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图,∠BAC的顶点和边有哪些特点?
A
∠BAC的顶点在☉O上,角的两边分别交☉O于B、
C两点.
C
A E
D
B
思考: 图中过球门A、C两点画圆,球员射中球门的
难易程度与他所处的位置B、D、E有关(张开的角度
大小)、仅从数学的角度考虑,球员应选择从哪一点
的位置射门更有利?
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(两个条件必须同时具备,缺一不可)
圆周角的定义1
·
C O
AB
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
(2) (3)顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交√
√√
如图,线段AB是☉O的直径,点C是 ☉O上的任意一点
(除点A、B外),那么,∠ABC 就是直径AB所对的圆
周角,想一想,∠ACB会是怎样的角?
·OA
C
B
解:∵OA=OB=OC,∴△AOC、
△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系
u圆周角和直径的关系:
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°.
如图,AB是☉O的直径,∠A=80°.
求∠ABC的大小.
O
CA
B解:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角等于90°.)
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
例1
如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与
∠BOC存在怎样的数量关系.
1
2BAC BOC
圆周角定理及其推论2
圆心O 在∠BAC
的内部
圆心O在∠BAC
的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
n圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形)
OA=OC ∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
1
2BAC BOC
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B C
D
n圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
BAD BOD1
2
DAC DOC1
2
BAC
BAD DAC
BOD DOC BOC1 1( )2 2
DAC DOC1
2
O
A
B
D C
O
A
D C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
n圆心O在∠BAC的外部
问题1 如图,OB,OC都是⊙O的半径,点A ,D 是上
任意两点,连接AB,AC,BD,CD.∠BAC与∠BDC
相等吗?请说明理由.
D
Q BAC BOC1 ,2
1 ,2BDC BOC
∴∠BAC=∠BDC
相等,理由如下:
圆周角定理的推论3
D
A B
O
C
E
F
问题2 如图,若 ∠A与∠B相等吗? » ¼,CD EF
» ¼Q ,CD EF
相等
.COD EOF
Q , ,A COD B EOF1 1
2 2
.A B
想一想:(1)反过来,若∠A=∠B,那么
成立吗?
» ¼CD EF
(2)若CD是直径,你能求出∠A的度数吗?
u圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半;
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理
A1
A2
A3
推论1:90°的圆周角所对的
弦是直径.
试一试:
1.如图,点A、B、C、D在☉O上,点A与点D在点B、
C所在直线的同侧,∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º,理由
是 ;
(2)∠BDC= º,理由是 .
70
35 同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空:
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,AC、BD
为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O1 (((
(
(
(
(
(
23 4 5
6
7 8
如图,分别求出图中∠x的大小.
60° x
30°
20°
x
解:(1)∵同弧所对圆周角相等,∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF,
F
∵同弧所对圆周角相等,
∴∠ABF=∠D=20°,∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例2
如图,⊙O的直径AC为10cm,弦AD为6cm.
(1)求DC的长;
(2)若∠ADC的平分线交⊙O
于B, 求AB、BC的长.
B
解:(1)∵AC是直径,
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,
2 2 2 210 6 8;DC AC AD
例3
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
2 2 10 5 2(cm).2 2AB BC AC
B
提示:解答圆周角有关问题时,若题中出现“直
径”这个条件,则考虑构造直角三角形来求解.
如图,BD是⊙ O的直径,∠CBD=30°,则∠A
的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:∵BD是⊙ O的直径,
∴∠BCD=90°.
∵∠CBD=30°,
∴∠D=60°,∴∠A=∠D=60°.故选C.
方法总结:在圆中,如果有直径,一般要找直径
所对的圆周角,构造直角三角形解题.
如图,AB是⊙ O的直径,弦CD交AB于点P,
∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
. OA
D
C
P B
解:连结BC,则∠ACB=90°,
∠DCB=∠ACB-∠ACD=
90°-60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+
70°=100°.
例4
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个
圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的
内接多边形.
圆内接四边形4
如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
⊙O为四边形ABCD的外接圆.
u探究性质
猜想:∠A与∠C, ∠B与∠D之间
的关系为: ∠A+ ∠C=180º,
∠B+ ∠D=180º
想一想:
如何证明你的猜想呢?
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
同理∠B+∠D=180°,
推论:圆的内接四边形的对角互补.
证明猜想
归纳总结
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
同理∠B+∠D=180°,
E
延长BC到点E,有
∠BCD+∠DCE=180°.
∴∠A=∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
推论:圆的内接四边形的任何一个外
角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
归纳总结
1.四边形ABCD是⊙ O的内接四边形,且∠A=110°,
∠B=80°,则∠C= ,∠D= .
2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶ ∠B∶ ∠C=
1∶ 2∶ 3 ,则∠D= .
70º 100º
90º
如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O
于D,AF交⊙O于G. 求证:∠FGD=∠ADC.
证明:∵四边形ACDG内接于⊙O,
∴∠FGD=∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,
∴AB垂直平分CD,
∴AC=AD,
∴∠ADC=∠ACD,
∴∠FGD=∠ADC.
方法总结:圆内接四边形的性质是沟通角相等关
系的重要依据.
例5
如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,
那么∠BCD是 ( )
A.120° B.100°
C.80° D.60°
解析:∵∠BOD=120°,∴∠A=60°,∴∠C=
180°-60°=120°,故选A.
A
解:设∠A,∠B,∠C的度数分别对于2x,3x,6x,
在圆内接四边形ABCD中, ∠A,∠B,∠C的度
数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠A + ∠C=∠B+∠D=180°.
∵2x+6x=180°,
∴ x=22.5°,
∴ ∠A=45°, ∠B=67.5°, ∠C =135°,
∠D=180°- 67.5°=112.5°.
例6
1.判断
(1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( )
(2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( )
(3)同弦所对的圆周角相等 ( )
√
×
×
2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= .
BA
C
O
166°
3.如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于
点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问
题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再
灵活运用圆周角定理.
AB
C
D
O
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
( )
A. 115° B.130°
C.65° D. 50°
5.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,
P是AB上的一点,则∠APB= .
A B
C
P
C
120°
6.如图,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB= ,∠ADB= .
D
A
O
C
B
130° 50°
7.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30°,
AB=2,则⊙O的半径是 .
解析:连结OA、OB,
∵∠C=30° ,∴∠AOB=60°.
又∵OA=OB ,
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=2,即半径为2.
2
C
A
B
O
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明:
8. 如图,OA,OB,OC都是⊙ O的半径,∠AOB=
2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.
Q ACB AOB1 ,2
1 ,2BAC BOC
∠AOB=2∠BOC,
9.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁,如图,A、B表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两
点的一个圆形区域内,优弧AB上任一点C都是有触礁危
险的临界点,∠ACB就是“危险角”,当船位于安全区
域时,∠α与“危险角”有怎样的大小关系?
解:当船位于安全区域时,即船
位于暗礁区域外(即⊙O外) ,
与两个灯塔的夹角∠α小于“危
险角”.
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,
交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证: .» »BD DE
A
B CD
E
A
B CD
E
∵AB是圆的直径,点D在圆上,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,
∵AB=AC, ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
(同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等)
解:BD=CD.理由是:连结AD,
» » BD DE
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理
的推论
在同圆或等圆中,同
弧或等弧所对的圆周
角相等,都等于该弧
所对的圆心角的一半;
相等的圆周角所对的
弧相等.
1.90°的圆周角所
对的弦是直径;
2.圆内接四边形的
对角互补.
1.顶点在圆上,
2.两边都与圆
相交的角(二
者必须同时具
备)
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所
对的圆周角都
相等,都等于
90°(直角).