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- 2021-11-10 发布
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24.2 与圆有关的位置关系(第四课时)
24.2.2 直线与圆的位置关系(3)
◆随堂检测
1.如图,⊙O 内切 Rt△ABC,切点分别是 D、E、F,则四边形 OECF 是_______.
2.如图,PA、PB 分别切⊙O 于 A、B,并与⊙O 的切线分别相交于 C、D,已知 PA=7cm,则△PCD 的周长等
于_________.
3.一个钢管放在 V 形架内,右图是其截面图,O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为 25cm,∠MPN=60,则
OP=( )
A.50cm B.25 3 cm C.
3
350 cm D.50 3 cm
4.如图,已知 AB 为 O⊙ 的直径, PA PC, 是 O⊙ 的切线, A C, 为切点, 30BAC °.
(1)求 P 的大小;(2)若 2AB ,求 PA 的长(结果保留根号).
◆典例分析
如图, O⊙ 的直径 2 AB AM , 和 BN 是它的两条切线, DE 切 O⊙ 于 E,交 AM 于 D,交 BN 于 C.设
AD x BC y , .
( 1 ) 求 证 : AM BN∥ ;(2)求 y 关于 x 的关系式.
B
A
C
E
D
O
F
B
A
C
D
P
O
分析:这是一道来源于教材并进行了适当改编的题目.它反映了切线长定理的最常规用法,并且与函数知识
相结合,是一道较好的小综合题.
解:(1)证明:∵AB 是直径,AM、BN 是切线,
∴ AM AB BN AB⊥ , ⊥ ,∴ AM BN∥ .
(2)解:过点 D 作 DF BC⊥ 于 F,则 AB DF∥ .
由(1) AM BN∥ ,∴四边形 ABFD 为矩形.
∴ 2DF AB , BF AD x .
∵DE、DA,CE、CB 都是切线,
∴根据切线长定理,得 DE DA x ,CE CB y .
在 Rt DFC△ 中, 2DF DC DE CE x y CF BC BF y x , , ,
∴ 2 2 2( ) 2 ( )x y y x ,化简,得 1 ( 0)y xx
.
◆课下作业
●拓展提高
1.如图,PA、PB 分别切⊙O 于点 A 、B ,点 E 是⊙O 上一点,且 60AEB ,则 P _______度.
2.如图,边长为 a 的正三角形的内切圆半径是_________.
B
A
C
3.如图,AB 是 0 的的直径,BC AB 于点 B,连接 OC 交 0 于点 E,弦 AD//OC,弦 DF AB 于点 G.
(1)求证:点 E 是 BD 的中点;(2)求证:CD 是 0 的切线;
4.已知:如图,在 Rt △ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 上的点 O 为圆心,OB 的长为半径的圆与 AB 交于点 E,
与 AC 切于点 D.
(1)求证:BC=CD;(2)求证:∠ADE=∠ABD;
5.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点 P 由点 C 出发以每秒 2cm 的速度沿 CA 向点 A 运动
(不运动至 A 点),⊙O 的圆心在 BP 上,且⊙O 分别与 AB、AC 相切,当点 P 运动 2 秒钟时,求⊙O 的半径.
●体验中考
1.(2009 年,广西钦州)如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、
F,切点 C 在 AB 上,若 PA 长为 2,则△PEF 的周长是_________.
2.(2009 年,甘肃庆阳)如图 10,两个等圆⊙O 与⊙O′外切,过点 O 作⊙O′的两条切线 OA、OB,A、B 是
切点,则∠AOB=_________.
参考答案:
◆随堂检测
1.正方形.
2.14cm.
3.A.
4.解:(1)∵ PA 是 O⊙ 的切线, AB 为 O⊙ 的直径,
∴ PA AB⊥ .
∴ 90BAP °.
∵ 30BAC °,∴ 90 60CAP BAC ° °.
又∵ PA 、 PC 切 O⊙ 于点 A C, .∴ PA PC .
∴ PAC△ 为等边三角形.∴ 60P °.
(2)如图,连接 BC ,则 90ACB °.
在 Rt ACB△ 中, 2 30AB BAC , °, 3AC .
∵ PAC△ 为等边三角形,∴ PA AC .∴ 3PA .
◆课下作业
●拓展提高
1.60°.
2. 3
6 a .
3.(1)证明:∵ AD OC∥ ,∴ A COB .
∴ 2DB BE ,∴ DE BE .
(2)连接OD .由(1)知 DOE BOE ,
在 COD△ 和 COB△ 中,CO CO ,OD OB .
∴ COD COB△ ≌△ .∴ CDO B .
又∵ BC AB⊥ ,∴ 90CDO B °,
即CD 是 O⊙ 的切线.
4.解:(1)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC.
∵OB 是⊙O 的半径,∴CB 为⊙O 的切线.
又∵CD 切⊙O 于点 D,∴BC=CD.
(2)∵BE 是⊙O 的直径,∴∠BDE=90°.∴∠ADE+∠CDB=90°.
又∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBD=90°.
由(1)得 BC=CD,∴∠CDB=∠CBD.∴∠ADE=∠ABD.
5.解:当点 P 运动 2 秒钟时,PC=2×2=4cm.
设⊙O 与 AC、AB 分别切于 D、E,连 OD、OE.过 O 作 OF⊥BC 于 F,连 OA、OC.
设⊙O 的半径为 r,则 OD=OE=r.显然 OF∥AC.
∴ OF BF
CP BC
,即 6
4 6
OF r .∴ 12 2
3
rOF .
∵因为⊙O 与 AC、AB 分别切于 D、E,∴OD⊥AC.
∵因为 S△OAB+S△OBC+S△OAC=S△ABCAB= 2 2AC BC = 2 28 6 =10cm,
∴ 1 1 12 2 1 110 6 8 8 62 2 3 2 2
rr r ,解得 r=12
7
cm.
●体验中考
1.4. 利用切线长定理.
2.60°.