北师版九年级数学下册-单元清-第二章检测试卷 6页

检测内容：第二章 得分________卷后分________评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数中，属于二次函数的是(C) A．y＝－2xB．y＝x2＋ 1 x2C．y＝(x＋3)2－9D．y＝ 1 x2 ＋1 2．抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的顶点坐标是(A) A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 3．将抛物线 y＝x2－4 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后得到的抛 物线的表达式为(B) A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x＋2)2－2 4．若函数 y＝mx2＋(m＋2)x＋1 2m＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为(D) A．0B．0 或 2C．2 或－2D．0 或 2 或－2 5．抛物线 y＝ax2＋2ax＋a2＋2 的一部分如图所示，那么该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴的 交点的坐标是(D) A．(1 2 ，0) B．(3，0) C．(2，0) D．(1，0) 第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 6．已知一元二次方程 x2＋bx－3＝0 的一根为－3，若在二次函数 y＝x2＋bx－3 的图象 上有三点(－4 5 ，y1)，(－5 4 ，y2)，(1 6 ，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是(A) A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛的项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物 线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满足函数关 系 y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模 型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B) A．10mB．15mC．20mD．22.5m 8．(娄底中考)若二次函数 y＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n，且 m＜n，下列结论正确的是(C) A．m＜a＜n＜bB．a＜m＜b＜nC．m＜a＜b＜nD．a＜m＜n＜b 9．如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 若 AC⊥BC，则 a 的值为(A) A．－1 2B．－1 4C．－1D．－2 10．如图，在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，点 P 从点 B 出发，沿着 B→A→C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发，沿着 A→C→D 的路径以相同的速度运动，当点 P 到 达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，y＝PQ2，下列图象中能大致反映 出 y 与 x 之间的函数关系的是( B ) 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．若二次函数 y＝－x2＋4x＋k 的最大值为 3，则 k 的值为__－1__． 12．已知一抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的函数表达式为 __y＝1 9x2＋1__． 13．如图，直线 y＝mx＋n 的图象与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交于 A(－1，p)，B(4，q)两点， 则关于 x 的不等式 mx＋n＞ax2＋bx＋c 的解集是 x＜－1 或 x＞4． 第 13 题图 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图 14．某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人 800 元．旅行社对超过 30 人的团给 予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低 10 元．当一个旅行团的人数是 __55__人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 15．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16m，跨度是 40m，在线段 AB 上离中 心 M 处 5m 的地方，桥的高度是__15__m. 16．如图，直线 y＝n 与二次函数 y＝1 2(x－2)2－1 的图象交于点 B，C，二次函数图象的 顶点为 A，当△ABC 是等腰直角三角形时，则 n＝__1__． 17．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴 交于点 C，对称轴为直线 x＝2，且 OA＝OC，则下列结论：①abc>0；②9a＋3b＋c<0；③c> －1；④关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－1 a ．其中正确的结论有__3__个． 18．如图，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2－4x＋5 交于 A，B 两点，点 P 是 y 轴上的一个 动点，当△PAB 的周长最小时，S△PAB＝__12 5 __． 三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)已知抛物线 y＝a(x－h)2－4 经过点(1，－3)，且与抛物线 y＝x2 的开口方向相 同，形状也相同． (1)求 a，h 的值； (2)求这个抛物线与 x 轴的交点，并画出它的草图； (3)若点 A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小． 解：(1)a＝1，h＝2 或 0 (2)当 h＝2 时，抛物线为 y＝x2－4x，它与 x 轴的交点的坐标为(0，0)和(4，0)，图象略； 当 h＝0 时，抛物线为 y＝x2－4，它与 x 轴的交点的坐标为(2，0)和(－2，0)，图象略 (3)y1＞y2 20．(8 分)如图，已知抛物线 y＝x2－(m＋3)x＋9 的顶点 C 在 x 轴正半轴上，一次函数 y ＝x＋3 与抛物线交于 A，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D，E 两点． (1)求 m 的值； (2)求 A，B 两点的坐标． 解：(1)∵抛物线 y＝x2－(m＋3)x＋9 的顶点 C 在 x 轴正半轴上，∴抛物线与 x 轴只有 一个交点，∴(m＋3)2－4×9＝0，解得 m＝3 或 m＝－9.又∵－－（m＋3） 2 ＞0，∴m＞－3， ∴m＝3 (2)由(1)可得 m＝3，∴抛物线的表达式为 y＝x2－6x＋9.联立方程组 y＝x2－6x＋9， y＝x＋3， 解 得 x＝1， y＝4 或 x＝6， y＝9. 根据图象可知 A 点的横坐标小于 B 点的横坐标，∴A 点的坐标是(1，4)， B 点的坐标是(6，9) 21．(8 分)如图，有长为 24m 的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m)围成 中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边 AB 的长为 xm，面积为 Sm2. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)若要围成面积为 45m2 的花圃，AB 的长应为多少米？ (3)当 AB 的长为多少米时，围成的花圃的面积最大？ 解：(1)根据题意，得 S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x，又∵0＜24－3x≤10，∴14 3 ≤x＜8 (2)根据题意，得－3x2＋24x＝45，整理，得 x2－8x＋15＝0，解得 x1＝3(舍去)，x2＝5， ∴AB 的长应为 5m (3)∵S＝24x－3x2＝－3(x－4)2＋48，又∵14 3 ≤x<8，∴当 x＝14 3 时，花圃的面积最大， 最大面积为 24×14 3 －3×(14 3 )2＝140 3 (m2) 22．(10 分)如图，矩形 ABCD 的长 AB＝18cm，宽 AD＝4cm，点 P，Q 分别从 A，B 两 点同时出发，P 在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在边 BC 上沿 BC 方向 以每秒 1cm 的速度匀速运动．设运动时间为 xs，△PBQ 的面积为 ycm2. (1)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值． 解：(1)∵S△PBQ＝1 2PB·BQ，PB＝AB－AP＝(18－2x) cm，BQ＝xcm，∴y＝1 2(18－2x)x， 即 y＝－x2＋9x(0＜x≤4) (2)由(1)知 y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－9 2)2＋81 4 ，∴当 x＝4 时，y 最大值＝20，即△PBQ 的 最大面积是 20cm2 23．(10 分)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图， 甲在 O 点正上方 1m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函 数关系式 y＝a(x－4)2＋h，已知点 O 与球网的水平距离为 5m，球网的高度为 1.55m． (1)当 a＝－ 1 24 时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7m，离地面的高度为 12 5 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值． 解：(1)①当 a＝－ 1 24时，y＝－ 1 24(x－4)2＋h，将点 P(0，1)代入，得－ 1 24 ×16＋h＝1， 解得 h＝5 3 ②把 x＝5 代入 y＝－ 1 24(x－4)2＋5 3 ，得 y＝－ 1 24 ×(5－4)2＋5 3＝1.625.∵1.625＞1.55，∴ 此球能过网 (2)把(0，1)，(7，12 5 )代入 y＝a(x－4)2＋h，得 16a＋h＝1， 9a＋h＝12 5 ，解得 a＝－1 5 ， h＝21 5 ， ∴a＝－1 5 24．(10 分)为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供 10 万元的无息 创业贷款．小王利用这笔贷款注册了一家淘宝网店销售一种火爆的电子产品，招收了 5 名员 工，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件 4 元， 员工每人每月的工资为 4 千元，该网店还需每月支付其他费用 1 万元．该产品每月的销售量 y(万件)与销售单价 x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求该网店每月的利润 w(万元)与销售单价 x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款？ 解：(1)易得直线 AB 的表达式为 y＝－x＋8，直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋5.∵工资及 其他费用为 0.4×5＋1＝3(万元)，∴当 4≤x≤6 时，ω＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x2＋12x－35； 当 6＜x≤8 时，ω＝(x－4)·(－1 2x＋5)－3＝－1 2x2＋7x－23.∴ω＝ －x2＋12x－35（4≤x≤6）， －1 2x2＋7x－23（6＜x≤8） (2)当 4≤x≤6 时，ω＝－x2＋12x－35＝－(x－6)2＋1，∴当 x＝6 时，ω取最大值 1；当 6＜x≤8 时，ω＝－1 2x2＋7x－23＝－1 2(x－7)2＋3 2 ，∴当 x＝7 时，ω取最大值 1.5.∵10 1.5 ＝20 3 ＝ 62 3 ，∴最快在第 7 个月可还清 10 万元的无息贷款 25．(12 分)(遂宁中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)， C(0，6)三点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点 M 与对称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称，直线 AN 交抛物线于点 D，直 线 BE 交 AD 于点 E，若直线 BE 将△ABD 的面积分为 1∶2 的两部分，求点 E 的坐标； (3)P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点 P，使以 A， D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)，∴可设抛物线的表 达式为 y＝a(x－1)(x－3).又∵抛物线 y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)的图象经过点 C(0，6)，∴6＝a(0 －1)(0－3)，∴a＝2，∴抛物线的表达式为 y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6 (2)∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，∴点 M(2，－2)，∴点 N(2，2)，∴直线 AN 表达式 为 y＝2x－2.联立方程组 y＝2x－2， y＝2x2－8x＋6， 解得 x1＝1， y1＝0， x2＝4， y2＝6， ∴点 D(4，6)，∴S△ABD＝ 1 2 ×2×6＝6，设点 E(m，2m－2)，且 1＜m＜4，∵直线 BE 将△ABD 的面积分为 1∶2 的两 部分，∴S△ABE＝1 3S△ABD＝2 或 S△ABE＝2 3S△ABD＝4，∴1 2·2(2m－2)＝2 或1 2·2(2m－2)＝4，∴m＝ 2 或 3，∴点 E(2，2)或(3，4) (3)存在，理由如下：若 AD 为平行四边形的边，则 AD＝PQ，∴xD－xA＝xP－xQ 或 xD－ xA＝xQ－xP，∴xP＝4－1＋2＝5 或 xP＝2－4＋1＝－1，∴此时点 P 的坐标为(5，16)或(－1， 16)；若 AD 为平行四边形的对角线，则 AD 与 PQ 互相平分，∴xA＋xD 2 ＝xP＋xQ 2 ，∴xP＝3， ∴此时点 P 的坐标为(3，0).综上所述，存在点 P(5，16)或(－1，16)或(3，0)，使以 A，D， P，Q 为顶点的四边形为平行四边形