【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试27： 《命题与证明》（培优提高）（教师版）（2） 16页

专题： 《命题与证明》（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在指定位置上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（每题 4 分，共 48 分） 1．下列命题中，真命题是（ ） A．负数没有立方根 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．带根号的数一定是无理数 D．垂线段最短 2．用反证法证明命题“若 ＝a，则 a≥0”时，第一步应假设（ ） A． B．a≤0 C．a＜0 D．a＞0 3．下列命题是假命题的是（ ） A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．n边形（n≥3）的内角和是 180°n﹣360° D．旋转不改变图形的形状和大小 4．下列命题是真命题的个数是（ ） ①两点确定一条直线 ②两点之间，线段最短 ③对顶角相等 ④内错角相等 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列命题中，正确的是（ ） A．若 ac2＜bc2，则 a＜b B．若 ab＜c，则 a＜ C．若 a﹣b＞a，则 b＞0 D ．若 ab＞0，则 a＞0，b＞0 6．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于 60°时，应假设（ ） A．三角形的二个内角小于 60° B．三角形的三个内角都小于 60° C．三角形的二个内角大于 60° D．三角形的三个内角都大于 60° 7．已知下列命题： ①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形； ②四个角相等的四边形是矩形； ③若边长为 2的正方形的对角线长为 a，则 a是 8的算术平方根； ④二次函数 y＝x2﹣6x+10的图象过点（x1，y0）和（ x2，y0+1），若 x1＞0，x2＞0，则 x1 ＜x2． 其中真命题的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知某函数的图象 C与函数 y＝ 的图象关于直线 y＝2对称．下列命题：①图象 C与函 数 y＝ 的图象交于点（ ，2）；②点（ ，﹣2）在图象 C上；③图象 C上的点的纵坐 标都小于 4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象 C上任意两点，若 x1＞x2，则 y1＞y2．其 中真命题是（ ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为 AB的中点，F为 EC上一动点，P为 DF 中点，连接 PB，则 PB的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 10．红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是（ ） 游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人 出剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜若两人出相 同的手势，则两人平局 A．.红红胜或娜娜胜的概率相等 B．.红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为 C．.两人出相同手势的概率为 D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样 11．如图，已知平行四边形 ABCD的对角线交于点 O．BD＝2cm，将△AOB绕其对称中心 O 旋转 180°．则点 B所转过的路径长为（ ）km． A．4π B．3π C．2π D．π 12．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示： 科目 小制作 足球 英语口语 计划人数 100 90 60 科目 小制作 英语口语 中国象棋 报名人数 280 250 200 若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数 就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（ ） A．足球 B．小制作 C．英语口语 D．中国象棋 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） 13．如图，⊙O的半径为 1，弦 AB＝ ，BC＝ ，AB，BC在圆心 O的两侧，求 上有 一动点 D，AE⊥BD 于点 E，当点 D 从点 C 运动到点 A 时，则点 E 所经过的路径长 为 ． 14．如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷 ABCD，它的边 AB＝1，AD＝ ，以 B点 为中心，将矩形 ABCD按顺时针方向转动到 A′B′C′D′的位置（A′点在对角线 BD上），则 与线段 A′D及线段 A′D′所围成的图形的面积为 （结果保留π）． 15．下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④三角形的一个外角等于它的两 个内角的和．其中真命题有 （填序号）． 16．下列关于函数 y＝x2﹣4x+6的四个命题： ①当 x＝0时，y有最小值 6； ②m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于 x＝2+m时的函数值； ③若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1），其中 a＞0，b＞2，则 a＜b； ④若 m＞2，且 m是整数，当 m≤x≤m+1时，y的整 数值有（2m﹣2）个． 其中真命题有 个． 17．如图，AB为⊙O的直径，且 AB＝4，点 C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点 O，P为半圆 上任意一点，过 P点作 PE⊥OC于点 E，设△OPE的内心为 M，连接 OM、PM．当点 P 在半圆上从点 B运动到点 A时，内心 M所经过的路径长为 ． 三．解答题（每题 8 分，共 32 分） 18．如图，直线 AB，CD被直线 AE所截，直线 AM，EN被 MN所截．请你从以下三个条件： ①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论， 得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 19．如图 1，在矩形 ABCD中，AD＝4，AB＝2 ，将矩形 ABCD绕点 A逆时针旋转α（0 ＜α＜90°）得到矩形 AEFG．延长 CB与 EF交于点 H． （1）求证：BH＝EH； （2）如图 2，当点 G落在线段 BC上时，求点 B经过的路径长． 20．对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？ （1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”． ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两底角的角平分线相等 ③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 （2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形， 写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例． 21．小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”， 她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的锐角等于 30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图 形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，直角边 BC 的长等于斜边 AB长的一半时，BC所对的锐角∠A的度数等于 30°”．请你根据小敏的图 形和理解，补全已知和求证，并完成证明． 已知：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ． 求证： ． 小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下 两种想法： 想法一：取 AB中点 D，连结 CD，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决； 想法二：沿 AC翻折△ABC，得△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 参考答案 一．选择题 1．解：A、负数有立方根，故错误，是假命题； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，是假命题； C、带根号的数不一定是无理数，故错误，是假命题； D、垂线段最短，正确，是真命题， 故选：D． 2．解：用反证法证明命题“若 ＝a，则 a≥0”时，第一步应假设 a＜0． 故选：C． 3．解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C、n边形（n≥3）的内角和是 180°n﹣360°，正确，是真命题； D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选：B． 4．解：①两点确定一条 直线，正确，是真命题； ②两点之间，线段最短，正确，是真命题； ③对顶角相等，正确，是真命题； ④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题， 真命题有 3个， 故选：C． 5．解：A、若 ac2＜bc2，则 a＜b，正确； B、若 ab＜c，则 a＜ ，错误； C、若 a﹣b＞a，则 b＜0，故错误； D、若 ab＞0，则 a＞0，b＞0或 a＜0，b＜0，故错误， 故选：A． 6．解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于 或等于 60°”时， 第一步应先假设三角形的三个内角都小于 60°， 故选：B． 7．解：①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角 三角形，正确，是真命题； ②四个角相等的四边形是矩形，正确，是真命题； ③若边长为 2的正方形的对角线长为 a，则 a是 8的算术平方根，正确，是真命题； ④二次函数 y＝x2﹣6x+10对称轴为 x＝3，开口向上，当 x＞3时 y随着 x的增大而增大， 其图象过点（x1，y0）和（x2，y0+1），若 x1＞0，x2＞0，则 x1＜x2，错误，是假命题， 真命题有 3个， 故选：B． 8．解：∵函数 y＝ 的图象在第一、三象限， 则关于直线 y＝2对称，点（ ，2）是图象 C与函数 y＝ 的图象交于点； ∴①正确； 点（ ，﹣2）关于 y＝2对称的点为点（ ，6）， ∵（ ，6）在函数 y＝ 上， ∴点（ ，﹣2）在图象 C上； ∴②正确； ∵y＝ 中 y≠0，x≠0， 取 y＝ 上任意一点为（x，y）， 则点（x，y）与 y＝2对称点的纵坐标为 4﹣ ； ∴③错误； A（x1，y1），B（x2，y2）关于 y＝2对称点为（x1，4﹣y1），B（x2，4﹣y2）在函数 y＝ 上， ∴4﹣y1＝ ，4﹣y2＝ ， ∵x1＞0＞x2， ∴y1＞y2； ∴④不正确； 故选：A． 9．解：如图： 当点 F与点 C重合时，点 P在 P1处，CP1＝DP1， 当点 F与点 E重合时，点 P在 P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且 P1P2＝ CE 当点 F在 EC上除点 C、E的位置处时，有 DP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥CE且 P1P＝ CF ∴点 P的运动轨迹是线段 P1P2， ∴当 BP⊥P1P2时，PB取得最小值 ∵矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为 AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90° ∴∠DP2P1＝90° ∴∠DP1P2＝45° ∴∠P2P1B＝90°，即 BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1＝BC＝2 ∴BP1＝2 ∴PB的最小值是 2 故选：D． 10．解：画树状图得： ∵所有可能的有效结果为：（布、剪）、（剪、锤）、（锤、布）、（剪、布）、（锤、剪）、（布、 锤）， ∴获胜的概率为： ， 故 A选项中红红胜或娜娜胜的概率相等，是真命题； B选项红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为 ，是假命题； C选项人出相同手势的概率为 ，是真 命题； D、选项娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样，是真命题； 故选：B． 11．解：将▱ ABCD绕其对称中心 O旋 转 180°，点 B所转过的路径为以 BD为直径的半圆， ∴点 B所转过的路径长度为 ×2π×1＝π． 故选：D． 12．解：由表知，小制作： ； 英语口语： ； 足球：计划招生 9 0人，报名数不在前三名，即少于 200人，所以比值大于 ，即大 于 0.45； 中国象棋：报名 200人，计划数不在前三名，即少于 60人，所以比值小于 ，即小于 0.3； ∴足球科目的满足指数最高（即比值最大）； 故选：A． 二．填空题（共 5小题） 13．解：如图，连接 OA，OB，作 OH⊥BC于 H，AQ⊥BC于 Q，取 AB的中点 K，连接 KQ． ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH＝ ， ∴cos∠OBH＝ ， ∴∠OBH＝30°， ∵AB＝ ，OA＝OB＝1， ∴AB2＝OA2+OB2， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB＝45°， ∴∠ABC＝75°， ∵∠AQB＝90°，AK＝KB， ∴KB＝KO， ∴∠KBQ＝∠KQB＝75°， ∴∠AKQ＝∠KBQ+∠KQB＝150°， ∵点 E的运动轨迹是图中的红线， ∴点 E所经过的路径长＝ ＝ ． 故答案为 ． 14．解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝1，AD＝ ， ∴BD＝ ＝2， ∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°， ∵将矩形 ABCD按顺时针方向转动到 A′B′C′D′的位置， ∴∠A′B′D′＝∠ABD＝60°，A′B′＝AB＝2，A′D′＝AD＝ ， ∴ 与线段 A′D及线段 A′D′所围成的图形的面积＝S 扇形 DBD′﹣S△A′B′D′＝ ﹣ ×1× ＝ π﹣ ， 故答案为： π﹣ ． 15．解：①对顶角相等，正确，是真命题； ②如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故错误，是假命题； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等或互为相反数，故错误，是假命题； ④三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角的和，故错误，是假命题， 故答案为：①． 16．解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2， ∴当 x＝2时，y有最小值 2，故①错误； 当 x＝2+m时，y＝（2+m）2﹣4（2+m）+6， 当 x＝2﹣m时，y＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6， ∵（2+m）2﹣4（2+m）+6﹣[（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6]＝0， ∴m为任意实数，x＝2+m时的函数值等于 x＝2﹣m时的函数值，故②错误； ∵抛物线 y＝x2﹣4x+6的对称轴为 x＝2＞0， ∴当 x＞2时，y随 x的增大而增大，x＜2时，y随 x的增大而减小， ∵a＞0，b＞2， ∴a＜b；故③正确； ∵抛物线 y＝x2﹣4x+6的对称轴为 x＝2，a＝1＞0， ∴当 x＞2时，y随 x的增大而增大， 当 x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣4（m+1）+6， 当 x＝m时，y＝m2﹣4m+6， （m+1）2﹣4（m+1）+6﹣[m2﹣4m+6]＝2m﹣3， ∵m是整数， ∴2m﹣2是整数， ∴y的整数值有（2m﹣2）个；故④正确． 故答案为：2． 17．解：∵△OPE的内心为 M， ∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE， ∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣ （∠EOP+∠OPE）， ∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°， ∴∠PMO＝180°﹣ （∠EOP+∠OPE）＝180°﹣ （180°﹣90°）＝135°， 如图，∵OP＝OC，OM＝OM， 而∠MOP＝∠MOC， ∴△OPM≌△OCM（SAS）， ∴∠CMO＝∠PMO＝135°， 所以点 M在以 OC为弦，并且所对的圆周角为 135°的两段劣弧上（ 和 ）； 点 M在扇形 BOC内时， 过 C、M、O三点作⊙O′，连 O′C，O′O， 在优弧 CO取点 D，连 DA，DO， ∵∠CMO＝135°， ∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°， ∴∠CO′O＝90°，而 OA＝2cm， ∴O′O＝ OC＝ ×2＝ ， ∴弧 OMC的长＝ ＝ π（cm）， 同理：点 M在扇形 AOC内时 ，同①的方法得，弧 ONC的长为 πcm， 所以内心 M所经过的路径长为 2× π＝ πcm． 故答案为： πcm． 三．解答题（共 4小题） 18．解：（1）命题 1：∵AB∥CD，AM∥EN； ∴∠BAM＝∠CEN； 命题 2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN； ∴AM∥EN； 命题 3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN； ∴AB∥CD； （2）证明命题 1： ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CEA， ∵AM∥EN， ∴∠3＝∠4， ∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4， 即∠BAM＝∠CEN． 故答案为 AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN． 19．（1）证明：如图 1中，连接 AH，由旋转可得 AB ＝AE，∠ABH＝∠AEH＝90°， 又∵AH＝AH， ∴Rt△ABH≌Rt△AEH， ∴BH＝EH． （2）解：由旋转可得 AG＝AD＝4，AE＝AB，∠EAG＝∠BAC＝90° 在 Rt△ABG中，AG＝4，AB＝2 ， ∴cos∠BAG＝ ＝ ， ∴∠BAG＝30°， ∴∠EAB＝60° ∴弧 BE的长为 ＝ π， 即 B点经过的路径长为 π． 20．解：（1）①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题； ②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题； ③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题； 故答案为：真；真；真； （2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形； 已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是 AC，BC边上的中线，且 BD＝CE， 求证：△ABC是等腰三角形； 证明：连接 DE，过点 D作 DF∥EC，交 BC的延长线于点 F， ∵BD，CE分别是 AC，BC边上的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵DF∥EC， ∴四边形 DECF是平行四边形， ∴EC＝DF， ∵BD＝CE， ∴DF＝BD， ∴∠DBF＝∠DFB， ∵DF∥EC， ∴∠F＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC与△ECB中 ， ∴△DBC≌△ECB， ∴EB＝DC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 21．解：故答案为：BC＝ AB；∠A＝30°． 想法一证明：取 AB中点 D，连结 CD． ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝ AB． ∵ BC＝ AB， ∴CD＝BD＝BC． ∴∠B＝60°． ∴∠A＝30°． 想法二证明：沿 AC翻折△ABC，得△ADC ∴△ABC≌△ADC． ∴BC＝CD，AB＝AD，∠ACD＝∠ACB＝90° ∴∠ACB+∠ACD＝180°． ∴D，C，B三点在同一条直线上． ∵BC＝ AB， ∴BD＝AB＝AD ∴∠B＝60°． ∴∠BAC＝30°．