新人教数学九年级下册：达标训练（28-1锐角三角函数） 5页

达标训练 基础•巩固 1.在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值( ) A.都没有变化 B.都扩大 2 倍 C.都缩小 2 倍 D.不能确定 思路解析：当 Rt△ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大小不变. 答案：A 2.已知α是锐角，且 cosα= 5 4 ，则 sinα=( ) A. 25 9 B. 5 4 C. 5 3 D. 25 16 思路解析：由 cosα= 5 4 ，可以设α的邻边为 4k，斜边为 5k，根据勾股定理，α的对边为 3k，则 sinα= 5 3 . 答案：C 3.Rt△ABC 中，∠C=90°，AC∶BC=1∶ 3 ，则 cosA=_______，tanA=_________. 思路解析：画出图形，设 AC=x，则 BC= x3 ，由勾股定理求出 AB=2x，再根据三角函数的定义计算. 答案： 2 1 ， 3 4.设α、β为锐角，若 sinα= 2 3 ，则α=________；若 tanβ= 3 3 ，则β=_________. 思路解析：要熟记特殊角的三角函数值 答案：60°,30° 5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 0 6.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB= 3 4 ，求 AD、AC、BC. 思 路 解 析 ： 由 条 件 可 知 △ABC 、 △ABD 、 △ADC 是 相 似 的 直 角 三 角 形 ， ∠B=∠CAD ， 于 是 有 tan∠CAD=tanB= 3 4 ，所以可以在△ABD、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解. 解：根据题意，设 AD=4k，BD=3k，则 AB=5k. 在 Rt△ABC 中，∵tanB= 3 4 ，∴AC= 3 4 AB= 3 20 k.∵BD=9,∴k=3. 所以 AD=4×3=12，AC= 3 20 ×3=20. 根据勾股定理 251520 22 BC . 综合•应用 7.已知α是锐角，且 sinα= 5 4 ，则 cos(90°-α)=( ) A. 5 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 5 1 思路解析：方法 1.运用三角 函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之 比为 4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为 4∶5，cos(90°-α)= 5 4 . 方法 2.利用三角函数中互余角关系“ sinα=cos(90°-α)”. 答案：A 8.若α为锐角，tana=3，求   sincos sincos   的值. 思路解析：方法 1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比 为 3∶1∶ 10 ，sinα= 10 3 ，cosα= 10 1 ，分别代入所求式子中. 方法 2.利用 tanα=   cos sin 计算，因为 cosα≠0，分子、分母同除以 cosα，化简计算. 答案：原式= 2 1 31 31 tan1 tan1 cos sin cos cos cos sin cos cos                . 9.已知方程 x2-5x·sinα+1=0 的一个根为 32  ，且α为锐角，求 tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是 32  ，进而可求出 sinα= 5 4 ，然后利用前面介 绍过的方法求 tanα. 解：设方程的另一个根为 x2，则( 32  )x2=1 ∴x2= 32  ∴5sinα=( 32  )+( 32  )，解得 sinα= 5 4 . 设锐角α所在的直角三角形的对边为 4k，则斜边为 5k，邻边为 3k， ∴tanα= 3 4 3 4  k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图 28.1-13 是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC=2 m， 滑梯着地点 B 与梯架之间的距离 BC=4 m. 图 28.1-13 (1)求滑梯 AB 的长(精确到 0.1 m)； (2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过 45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？ 思路解析：用勾股定理可以计算出 AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在 45°范 围内. 解：(1)在 Rt△ABC 中， 22 42 AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为 4.5 m. (2)∵tanB= 5.0 BC AC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°. 所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图 28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你 能求出∠α的值吗？ 图 28.1-14 思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道 h= b2 1 ，再在高所在的直角 三角形中由三角函数求出α的度数. 解：设原矩形边长分别为 a，b，则面积为 ab， 由题意得，平行四边形的面积 S= 2 1 ab. 又因为 S=ah=a(bsinα)，所以 2 1 ab=absinα，即 sinα= 2 1 .所以α=30°. 回顾•展望 12.(2010 海南模拟)三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.3-15 所示，则 sinα的值是( ) 图 28.1-15 A. 4 3 B. 3 4 C. 5 3 D. 5 4 思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C 13.(2010 陕西模拟)如图 28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD，若⊙O 的半径 2 3r ， AC=2，则 cosB 的值是( ) 图 28.1-17 A. 2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 3 2 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D 14.(浙江模拟)在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 3 1 ，则 BC=( ) A.45B.5C. 5 1 D. 45 1 思路解析：根据定义 sinA= AB BC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟)如图 28.3-16，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cos∠BCD=( ) 图 28.1-16 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到 Rt△ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所 对 的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B 16.(浙江舟山模拟)课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1-18，在锐角α的终边 OB 上，任意取 两点 P 和 P1，分别过点 P 和 P1 做始边 OA 的垂线 PM 和 P1M1，M 和 M1 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两 个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无 关，所以，这些比值都是自变量α的函数. 图 28.1-18 思路解析：正弦、余弦函数的定义. 答案： 1 1 1 11 ,,, OP OM OP OM OP MP OP PM OP OM OP PM  ，锐角α 17.(2010 重庆模拟)计算：2-1-tan60°+( 5 -1)0+ |3| ； 思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+( 5 -1)0+| 3 |= 2 1 - 3 +1+ 3 = 2 3 . 18.(2010 北京模拟)已知：如图 28.1-19，△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= 2 1 ，∠CAD=30°. 图 28.1-19 (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若 OD⊥AB，BC=5，求 AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接 OA，证∠OAD=90°. 由 sinB= 2 1 可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此 ∠OAD=90°. AD 是 Rt△OAD 的边，有三角函数可以求出其长度. (1)证明：如图，连接 OA. ∵sinB= 2 1 ，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°. ∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解：∵OD⊥AB ∴ OC 垂直平分 AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在 Rt△OAD 中，由正切定义，有 tan∠AOD= OA AD . ∴ AD= 35 .