中考卷-2020中考数学试卷（解析版） (108) 17页

第 1页（共 17页） 2020 年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）4 的倒数为（ ） A． B．2 C．1 D．﹣4 【分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互 换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答． 【解答】解：4 的倒数为 ． 故选：A． 2．（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 3．（3 分）如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．5° 【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE 的度数，本题得以解决． 【解答】解：作 CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， 第 2页（共 17页） ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 4．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6 C．a10÷a5＝a2 D．a2•a3＝a5 【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a2 与 a4 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（3 分）下列说法正确的是（ ） A．明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个 【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【解答】解：A、明天的降水概率为 80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是 ，故本选项错误； C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选：C． 6．（3 分）一个圆锥的底面半径 r＝10，高 h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．100 π B．200 π C．100 π D．200 π 【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【解答】解：这个圆锥的母线长＝ ＝10 ， 第 3页（共 17页） 这个圆锥的侧面积＝ ×2π×10×10 ＝100 π． 故选：C． 7．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为 x＝2，判断出结论②，先由 抛物线的开口方向判断出 a＜0，进而判断出 b＞0，再用抛物线与 y 轴的交点的位置判断出 c＞0，判断出结 论③，最后用 x＝﹣2 时，抛物线在 x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论． 【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， ∴方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为 x＝2， ∴﹣ ＝2， ∴4a+b＝0，故②正确， 由图象知，抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵4a+b＝0， ∴b＞0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故③正确， 由图象知，当 x＝﹣2 时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故④错误， 即正确的结论有 3 个， 故选：B． 8．（3 分）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋 2020 次．移 动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处，第二次移动 2 个顶点，跳棋 停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ） 第 4页（共 17页） A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F 【分析】设顶点 A，B，C，D，E，F，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动了 k 次后走过的 总格数是 1+2+3+…+k＝ k（k+1），然后根据题目中所给的第 k 次依次移动 k 个顶点的规则，可得到不等式 最后求得解． 【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到． 设顶点 A，B，C，D，E，F，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格， 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k＝ k（k+1），应停在第 k（k+1）﹣7p 格， 这时 P 是整数，且使 0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取 k＝1，2，3，4，5，6，7 时， k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第 2，4，5 格没有停棋， 若 7＜k≤2020， 设 k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1）， 由此可知，停棋的情形与 k＝t 时相同， 故第 2，4，5 格没有停棋，即顶点 C，E 和 F 棋子不可能停到． 故选：D． 二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ． 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）， 故答案为：x（y+2）（y﹣2） 10．（3 分）若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x＞3 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 2x﹣6＞0，再解即可． 【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0， 解得：x＞3， 故答案为：x＞3． 11．（3 分）计算： ﹣ + ＝ 3 ． 第 5页（共 17页） 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】解：原式＝ ﹣ +2 ＝3 ． 故答案为：3 ． 12．（3 分）如图，若反比例函数 y＝ （x＜0）的图象经过点 A，AB⊥x 轴于 B，且△AOB 的面积为 6，则 k＝ ﹣12 ． 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【解答】解：∵AB⊥OB， ∴S△AOB＝ ＝6， ∴k＝±12， ∵反比例函数的图象在二四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣12， 故答案为﹣12． 13．（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外 阅读的时间，统计如下： 阅读时间（x 小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人 ． 【分析】用总人数×每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【解答】解：1200× ＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人． 14．（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红出门买口罩时， 无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只， 出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是 x，买到口罩的次数是 y，根据买口罩的次数是 10 次和家里现有 口罩 35 只，可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组，求解即可． 第 6页（共 17页） 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是 x，买到口罩的次数是 y，由题意得： ， 整理得： ， 解得： ． 故答案为：4． 15．（3 分）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2， 此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点），若 GF＝4，EG＝6，则 DG 的长为 12 ． 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折及已知线段的长，可用含 x 的式子分别表示出 BE、BF 及 EF 的长；在 Rt△BEF 中，由勾股定理得关于 x 的方程，解得 x 的值，即为 DG 的长． 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折可得： DG＝DA＝DC＝x， ∵GF＝4，EG＝6， ∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4， ∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图 1 所示： 在 Rt△BEF 中，由勾股定理得： BE2+BF2＝EF2， ∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102， ∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100， ∴x2﹣10x﹣24＝0， ∴（x+2）（x﹣12）＝0， 第 7页（共 17页） ∴x1＝﹣2（舍），x2＝12． ∴DG＝12． 故答案为：12． 16．（3 分）阅读理解：对于 x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）． 理解运用：如果 x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有 x﹣n＝0 或 x2+nx﹣1＝0， 因此，方程 x﹣n＝0 和 x2+nx﹣1＝0 的所有解就是方程 x3﹣（n2+1）x+n＝0 的解． 解决问题：求方程 x3﹣5x+2＝0 的解为 x＝2 或 x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣ ． 【分析】将原方程左边变形为 x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到 两个关于 x 的方程求解可得． 【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0 或 x2+2x﹣1＝0， 解得 x＝2 或 x＝﹣1 ， 故答案为：x＝2 或 x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣ ． 三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）计算：20+（ ）﹣1• ﹣4tan45°． 【分析】先计算 20、 、（ ）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可． 【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1 ＝1+6﹣4 ＝3． 18．（5 分）解不等式组 ． 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集． 【解答】解： ， 由①得：x＜5， 第 8页（共 17页） 由②得：x≥﹣1， 不等式组的解集为：﹣1≤x＜5． 四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后 的式子即可解答本题． 【解答】解：（x+1﹣ ）÷ ＝ ＝ ＝ ＝ ， 当 x＝2 时，原式＝ ＝﹣ ． 20．（6 分）第 5 代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 【分析】首先设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，根据题意可得等量 关系：4G 下载 600 兆所用时间﹣5G 下载 600 兆所用时间＝140 秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再 解即可． 【解答】解：设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆， 由题意得： ﹣ ＝140， 解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60， 答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆． 五、（本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21．（7 分）已知一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过 A（3，18）和 B（﹣2，8）两点． （1）求一次函数的解析式； 第 9页（共 17页） （2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝ （m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数 y＝kx+b 中可得关于 k、b 的方程组，再解方程组可 得 k、b 的值，进而求出一次函数的解析式； （2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数 y＝kx+b（k≠0），得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为 y＝2x+12； （2）∵一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y＝ （m≠0）的图象只有一个交点， ∴ 只有一组解， 即 2x2+12x﹣m＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0， ∴m＝﹣18． 把 m＝﹣18 代入求得该方程的解为：x＝﹣3， 把 x＝﹣3 代入 y＝2x+12 得：y＝6， 即所求的交点坐标为（﹣3，6）． 22．（7 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的 支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方，AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°，卸货时，车厢与水 平线 AD 成 60°，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45°，若 AC＝2 米，求 BC 的长度．（结果保留一位小数） （参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41） 【分析】直接过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，利用锐角三角函数关系得出 CF 的长，进而得出 BC 的长． 【解答】方法一：解：如图 1，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F， 在 Rt△ACF 中， 第 10页（共 17页） ∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝ ， ∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82， 在 Rt△BCF 中， ∵∠ABC＝45°， ∴CF＝BF， ∴BC＝ CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米． 方法二：解：如图 2，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 在 Rt△ACE 中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°， ∴cosC＝cos70°＝ ， 即 CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68， sinC＝sin70°＝ ， 即 AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88， 又∵在 Rt△AEB 中，∠ABC＝45°， ∴AE＝BE， ∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米． 六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）今年 2﹣4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图 2 是这三类患者的人均治疗费用统 第 11页（共 17页） 计图．请回答下列问题． （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A、B、C、D、E 五位患者任选两位 转 入 另 一 病 房 ， 请 用 树 状 图 法 或 列 表 法 求 出 恰 好 选 中 B 、 D 两 位 患 者 的 概 率 ． 【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数； （2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数； （3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可； （4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中 B、D 两位同学的情况，再利 用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）； （2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）； （3）所有患者的平均治疗费用＝ ＝2.15（万元）； （4）列表得： A B C D E A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） 由列表格，可知：共有 20 种等可能的结果，恰好选中 B、D 两位同学的有 2 种情况， ∴P（恰好选中 B、D）＝ ＝ ． 第 12页（共 17页） 24．（8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DE⊥AB 于 D，DE 交 BC 于 F，且 EF＝EC． （1）求证：EC 是⊙O 的切线； （2）若 BD＝4，BC＝8，圆的半径 OB＝5，求切线 EC 的长． 【分析】（1）连接 OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证 EC 是⊙O 的切线； （2）由勾股定理可求 AC＝6，由锐角三角函数可求 BF＝5，可求 CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得 ，可求解． 【解答】解：（1）连接 OC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DE⊥AB， ∴∠OBC+∠DFB＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EC 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OB＝5， ∴AB＝10， 第 13页（共 17页） ∴AC＝ ＝ ＝6， ∵cos∠ABC＝ ， ∴ ， ∴BF＝5， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠A， ∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∴△OAC∽△ECF， ∴ ， ∴EC＝ ＝ ＝ ． 七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）如图，已知抛物线 y＝ax2 过点 A（﹣3， ）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A，M（ ，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四 边形，求所有符合条件的 P 点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点 B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图 2 中，设 P（t， t2），根据 PD＝CD 构建方程求出 t 即可解决问题． 【解答】解：（1）把点 A（﹣3， ）代入 y＝ax2， 第 14页（共 17页） 得到 ＝9a， ∴a＝ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2． （2）设直线 l 的解析式为 y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴直线 l 的解析式为 y＝﹣ x+ ， 令 x＝0，得到 y＝ ， ∴C（0， ）， 由 ，解得 或 ， ∴B（1， ）， 如图 1 中，过点 A 作 AA1⊥x 轴于 A1，过 B 作 BB1⊥x 轴于 B1，则 BB1∥OC∥AA1， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 即 MC2＝MA•MB． 第 15页（共 17页） （3）如图 2 中，设 P（t， t2） ∵OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D（t，﹣ t+ ）， ∴| t2﹣（﹣ t+ ）|＝ ， 整理得：t2+2t﹣6＝0 或 t2+2t＝0， 解得 t＝﹣1﹣ 或﹣1＝ 或﹣2 或 0（舍弃）， ∴P（﹣1﹣ ，2+ ）或（﹣1+ ，2﹣ ）或（﹣2，1）． 26．（10 分）已知 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点 D 作 Rt△DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE＝30°，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EP＝CE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N． （1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°； （2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°． 【分析】（1）①证明△CBP 是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； ②根据同位角相等可得 BC∥EF，由平行线的性质得 BP⊥EF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线，根据等腰 三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°； （2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQ＝DE，连接 CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则 PQ＝DC 第 16页（共 17页） ＝DB，由 QE＝DE，∠DEF＝90°，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由 EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论． 【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 同理∠EDF＝60°， ∴∠A＝∠EDF＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠DMB＝∠ACB＝90°， ∵D 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，AC∥DM， ∴ ， 即 M 是 BC 的中点， ∵EP＝CE，即 E 是 PC 的中点， ∴ED∥BP， ∴∠CBP＝∠DMB＝90°， ∴△CBP 是直角三角形， ∴BE＝ PC＝EP； ②∵∠ABC＝∠DFE＝30°， ∴BC∥EF， 由①知：∠CBP＝90°， ∴BP⊥EF， ∵EB＝EP， ∴EF 是线段 BP 的垂直平分线， ∴PF＝BF， ∴∠PFE＝∠BFE＝30°； （2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQ＝DE，连接 CD，PQ，FQ， 第 17页（共 17页） ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP， ∴△QEP≌△DEC（SAS）， 则 PQ＝DC＝DB， ∵QE＝DE，∠DEF＝90° ∴EF 是 DQ 的垂直平分线， ∴QF＝DF， ∵CD＝AD， ∴∠CDA＝∠A＝60°， ∴∠CDB＝120°， ∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP， ∴△FQP≌△FDB（SAS）， ∴∠QFP＝∠BFD， ∵EF 是 DQ 的垂直平分线， ∴∠QFE＝∠EFD＝30°， ∴∠QFP+∠EFP＝30°， ∴∠BFD+∠EFP＝30°．