中考数学模拟分类汇编-命题与证明 12页

命题与证明 一、选择题 1、（北京四中模拟 7）有下面命题：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)钝角三角形的两个内角互补；(3) 正方形的两条对角线相等；(4)菱形的两条对角线互相垂直。其中，正确的命题有（） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案： C 2.（年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷）已知下列命题：①同位角相等；②若 a>b>0，则 1 1 a b  ； ③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线 y=x2-2x 与坐标轴有 3 个不同交点；⑤边 长相等的多边形内角都相等.从中任选一个命题是真命题的概率为（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 答案：A 3．（年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）有下列表述:① a 一定不是负数；②无理数是无限小 数；③平方根等于它本身的数是 0 或 1；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；⑤圆心到直线上 一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线；⑥一个圆锥的侧面积是一个面积为 4  平方厘米 的扇形,那么这个圆锥的母线长 L 和底面半径 R 之间的函数关系是正比例函数。其中说法正确的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：A 4. （年北京四中中考全真模拟 16）下列命题中正确的是( ) A、因为 2 的平方是 4，所以 4 的平方根是 2; B、因为-4 的平方是 16，所以 16 的负的平方根是-4; C、因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数. D、任何数的算术平方根都是正数. 答案：B 5. （年江苏盐城）下列命题中，错误的是 () A. 三角形两边之差小于第三边 B. 四边形的外角和是 360 C. 正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形 答案 C. 6.(浙江杭州模拟 14)下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 答案：C 7.(浙江杭州模拟 16)下列命题正确的有 ( )个 ①400 角为内角的两个等腰三角形必相似 ②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 750 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④一个等腰直角三角形的三边是 a、b、c，（a>b=c），那么 a2∶b2∶c2=2∶1∶1 ⑤若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 答案：A 8．（ 年杭州三月月考）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 a b ，则 2 2a b ；③直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。④菱形的对角线互相垂直．其中原命题与逆命题均为真命题的个 数是（ ） (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 答案：D 9.（浙江杭州义蓬一中一模）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 2 2a b ，则 a b ； ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A.①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案：C 10．（年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 2 2a b ，则 a b ； ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案：C 二、填空题 三、解答题 1．（年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）已知：如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，E 是 BC 的中点， BEA DEA   ，联结 AE 、 BD 相交于点 F ， BD CD . （1）求证： AE CD ； （2）求证：四边形 ABED 是菱形. 答案：（1）∵BD⊥CD，∴ 90BDC   ， ∵ E 是 BC 的中点，∴ BE DE EC  ， ∵ BEA DEA   ，∴EF⊥BD，即 90BFE   ，∴ EA ∥ CD ， ∵ AD ∥ BC ，∴四边形 AECD 是平行四边形， ∴ AE CD . （2）∵四边形 AECD 是平行四边形，∴ AD EC ， ∴ AD = BE ，又 AD ∥ BE ，∴四边形 ABED 是平行四边形， ∵ BE DE ，∴四边形 ABED 是菱形. 2.（浙江杭州育才初中模拟）请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给 出证明.（原创） 答案： 3.（浙江慈吉 模拟）已知命题：“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且 AD=BE, AC∥DF, 则⊿ABC≌⊿ DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条 件, 使它成为真命题, 并加以证明. 答案： 说明：本题除了上述添加方法外还可在以下情况 (第 1 题图) A B C D E F F E D C B A 任选一种： 1 C=∠F ②∠CBA=∠E ③BC∥EF 4. （杭州上城区一模）已知四边形 ABCD，E 是 CD 上的一点，连接 AE、BE. （1）给出四个条件: ①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC, ③AE⊥EB,④AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明； （2）请你判断命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是否正确,并说明理由. 答案： （1）如: ①②④  AD∥BC …… 1 分 证明：在 AB 上取点 M,使 AM＝AD，连结 EM,…… 1 分 ∵AE 平分∠BAD∴∠MAE＝∠DAE 又∵AM＝AD AE＝AE， ∴△AEM≌△AED ∴∠D=∠AME…… 1 分 又∵AB=AD+BC ∴MB=BC，∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME…… 1 分 故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴AD∥BC…… 2 分 （2）不正确 …… 1 分 作等边三角形 ABM AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABM 且 AE、BE 交于 E，连结 EM,则 EM⊥AB，过 E 作 ED∥AB 交 AM 于 D,交 BM 与 C，则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M ∴ 命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是不正确的. …… 3 分 5．（年深圳二模）已知⊙O 的直径 AB、CD 互相垂直，弦 AE 交 CD 于 F，若⊙O 的半径为 R 求证：AE·AF＝2 R 2 证明：连接 BE…………………1 分 ∵AB 为⊙O 的直径 A B C D E (第 4 题（1）) D C M E B A D C M E B A ∴∠AEB＝90°…………………2 分 ∵AB⊥CD ∴∠AOF＝90° ∴∠AOF＝∠AEB＝90° 又∠A＝∠A ∴△AOF∽△AEB…………………5 分 AE AO AB AF  ∴AE·AF＝AO·AB ∵AO＝RAB＝2R AE·AF＝2R 2 ………………8 分 6．（年深圳二模） 如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，使 CE＝AC，连结 AE，点 F 是 AE 的中 点，连结 BF、DF，求证：BF⊥DF 证明：延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD……………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴MD∥BC ∴∠AMF＝∠EBF ∠E＝∠MAF 又 FA＝FE ∴△AFM≌△EFB……………5 分 AM＝BE FB＝FM 矩形 ABCD 中，AC＝BD，AD＝BC ∴BC＋BE＝AD＋AM 即 CE＝MD ∵CE＝AC ∴DB＝DM ∵FB＝FM ∴BF⊥DF……………12 分 第 6 题图 第 5 题图 7．（年深圳二模）在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E 是直线 AB 上两点．∠DCE＝45° （１）当 CE⊥AB 时，点 D 与点 A 重合，显然 DE 2 ＝AD 2 ＋BE 2 （不必证明） （２）如图，当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE 2 ＝AD 2 ＋BE 2 （３）当点 D 在 BA 的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由． 解：（２）证明： 过点 A 作 AF ⊥AB ，使 AF＝AB，连接 DF ∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC＝AB ∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠FAC＝45° ∴△CAF≌△CBE……………………3 分 ∴CF＝CE ∠ACF＝∠BCE ∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45° ∴∠ACD＋∠BCE＝45° ∴∠ACD＋∠ACF＝45° 即∠DCF＝45° ∴∠DCF＝∠DCE 又 CD＝CD ∴△CDF≌△CDE ∴DF＝DE ∵AD 2 ＋AF 2 ＝DF 2 ∴AD 2 ＋BE 2 ＝DE 2 …………………………………………7 分 （３）结论仍然成立 如图证法同（２）…………………………………………12 分 8.（深圳市三模）（本小题满分 10 分） 如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF∽△BEC（5 分） A E F B C 第 7 题图 第 7 题图 （2）设△ABC 的面积为 S，求证：AF·BE=2S（3） 证明：(1) ∵ AC=BC， ∴∠A = ∠B ∵∠ACB=90º， ∴∠A = ∠B = 45 0， ∵∠ECF= 45º， ∴∠ECF = ∠B = 45º， ∴∠ECF＋∠1 = ∠B＋∠1 ∵∠BCE = ∠ECF＋∠1，∠2 = ∠B＋∠1； ∴∠BCE = ∠2， ∵∠A = ∠B ，AC=BC， ∴△ACF∽△BEC。 (2)∵△ACF∽△BEC ∴ AC = BE，BC = AF， ∴△ABC 的面积：S = 2 1 AC·BC = 2 1 BE·AF ∴AF·BE=2S. 9.（深圳市模四）（2）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于 B，AC 交⊙O 于 D. ①求证：AB2=AD·AC. ②当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时，△ABC 为等腰直角三角形，为什么？ 证明：①连接 BD，则∠ADB=90°. ∵BC 与⊙O 相切，∴∠ABC=90°，∴∠ABC=∠ADB. 又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，∴ AC AB AB AD  ,∴ ACADAB 2 . ②点 D 运动到半圆 AB 的中点时，△ABC 为等腰直角三角形. BD 既是 AC 上的高线又是中线，所以△ABC 为等腰直角三角形. B 组 一、选择题 1．（ 年杭州三月月考）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 a b ，则 2 2a b ；③直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。④菱形的对角线互相垂直． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 答案：D 2.（浙江杭州义蓬一中一模）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 2 2a b ，则 a b ； ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分； A E F B C A B C DO· 第 9（2）题图 第 8 题图 ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A.①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案：C 3．（年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 2 2a b ，则 a b ；③ 角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案：C 二、填空题 三、解答题 1．（浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分 6 分）请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆 命题的真假性，并给出证明。（原创） 答案： 2 （浙江慈吉 模拟）已知命题：“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且 AD=BE, AC∥DF, 则⊿ABC≌⊿ DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条 件, 使它成为真命题, 并加以证明. 答案： 说明：本题除了上述添加方法外还可在以下情况 任选一种： 2 C=∠F ②∠CBA=∠E ③BC∥EF 3. （杭州上城区一模）已知四边形 ABCD，E 是 CD 上的一点，连接 AE、BE. （1）给出四个条件: ①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC, ③AE⊥EB,④AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明； （2）请你判断命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是否正确,并说明理由. F E D C B A A B C D E (第 23 题（1）) 答案： （1）如: ①②④  AD∥BC …… 1 分 证明：在 AB 上取点 M,使 AM＝AD，连结 EM,…… 1 分 ∵AE 平分∠BAD∴∠MAE＝∠DAE 又∵AM＝AD AE＝AE， ∴△AEM≌△AED ∴∠D=∠AME…… 1 分 又∵AB=AD+BC ∴MB=BC，∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME…… 1 分 故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴AD∥BC…… 2 分 （2）不正确 …… 1 分 作等边三角形 ABM AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABM 且 AE、BE 交于 E，连结 EM,则 EM⊥AB，过 E 作 ED∥AB 交 AM 于 D,交 BM 与 C，则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M ∴ 命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是不正确的. 4．（年深圳二模）已知⊙O 的直径 AB、CD 互相垂直，弦 AE 交 CD 于 F，若⊙O 的半径为 R。求证：AE·AF ＝2 R 2 证明：连接 BE…………………1 分 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠AEB＝90°…………………2 分 ∵AB⊥CD ∴∠AOF＝90° ∴∠AOF＝∠AEB＝90° 又∠A＝∠A ∴△AOF∽△AEB…………………5 分 AE AO AB AF  ∴AE·AF＝AO·AB ∵AO＝RAB＝2R AE·AF＝2R 2 ………………8 分 5．（年深圳二模） 如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，使 CE＝AC，连结 AE，点 F 是 AE 的中 D C M E B A D C M E B A 第 4 题图 点，连结 BF、DF，求证：BF⊥DF 证明：延长 BF，交 DA 的延长线于点 M，连接 BD……………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴MD∥BC ∴∠AMF＝∠EBF ∠E＝∠MAF 又 FA＝FE ∴△AFM≌△EFB……………5 分 AM＝BE FB＝FM 矩形 ABCD 中，AC＝BD，AD＝BC ∴BC＋BE＝AD＋AM 即 CE＝MD ∵CE＝AC ∴DB＝DM ∵FB＝FM ∴BF⊥DF……………12 分 6．（年深圳二模）在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E 是直线 AB 上两点．∠DCE＝45° （１）当 CE⊥AB 时，点 D 与点 A 重合，显然 DE 2 ＝AD 2 ＋BE 2 （不必证明） （２）如图，当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE 2 ＝AD 2 ＋BE 2 （３）当点 D 在 BA 的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由． 解：（２）证明： 过点 A 作 AF ⊥AB ，使 AF＝AB，连接 DF ∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC＝AB ∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠FAC＝45° 第 6 题图 第 2 题图 ∴△CAF≌△CBE ∴CF＝CE ∠ACF＝∠BCE ∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45° ∴∠ACD＋∠BCE＝45° ∴∠ACD＋∠ACF＝45° 即∠DCF＝45° ∴∠DCF＝∠DCE 又 CD＝CD ∴△CDF≌△CDE ∴DF＝DE ∵AD 2 ＋AF 2 ＝DF 2 ∴AD 2 ＋BE 2 ＝DE 2 （３）结论仍然成立 如图证法同（２） 7.（深圳市三模） 如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF∽△BEC（5 分） （2）设△ABC 的面积为 S，求证：AF·BE=2S（3） 证明：(1) ∵ AC=BC， ∴∠A = ∠B ∵∠ACB=90º， ∴∠A = ∠B = 45 0， ∵∠ECF= 45º， ∴∠ECF = ∠B = 45º， ∴∠ECF＋∠1 = ∠B＋∠1 ∵∠BCE = ∠ECF＋∠1，∠2 = ∠B＋∠1； ∴∠BCE = ∠2， ∵∠A = ∠B ，AC=BC， ∴△ACF∽△BEC。 (2)∵△ACF∽△BEC ∴ AC = BE，BC = AF， ∴△ABC 的面积：S = 2 1 AC·BC = 2 1 BE·AF ∴AF·BE=2S. A E F B C A E F B C 第 4 题图 8.（深圳市模四）（2）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于 B，AC 交⊙O 于 D. ①求证：AB2=AD·AC. ②当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时，△ABC 为等腰直角三角形，为什么？ 证明：①连接 BD，则∠ADB=90°. ∵BC 与⊙O 相切，∴∠ABC=90°，∴∠ABC=∠ADB。 又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，∴ AC AB AB AD  ,∴ ACADAB 2 . ②点 D 运动到半圆 AB 的中点时，△ABC 为等腰直角三角形。 BD 既是 AC 上的高线又是中线，所以△ABC 为等腰直角三角形。 A B C DO· 第 5（2）题图