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  • 2021-11-10 发布

中考数学模拟分类汇编-命题与证明

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命题与证明 一、选择题 1、(北京四中模拟 7)有下面命题:(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)钝角三角形的两个内角互补;(3) 正方形的两条对角线相等;(4)菱形的两条对角线互相垂直。其中,正确的命题有() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案: C 2.(年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷)已知下列命题:①同位角相等;②若 a>b>0,则 1 1 a b  ; ③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④抛物线 y=x2-2x 与坐标轴有 3 个不同交点;⑤边 长相等的多边形内角都相等.从中任选一个命题是真命题的概率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 答案:A 3.(年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题)有下列表述:① a 一定不是负数;②无理数是无限小 数;③平方根等于它本身的数是 0 或 1;④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;⑤圆心到直线上 一点的距离恰好等于圆的半径,则该直线是圆的切线;⑥一个圆锥的侧面积是一个面积为 4  平方厘米 的扇形,那么这个圆锥的母线长 L 和底面半径 R 之间的函数关系是正比例函数。其中说法正确的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案:A 4. (年北京四中中考全真模拟 16)下列命题中正确的是( ) A、因为 2 的平方是 4,所以 4 的平方根是 2; B、因为-4 的平方是 16,所以 16 的负的平方根是-4; C、因为任何数的平方都是正数,所以任何数的平方根都是正数. D、任何数的算术平方根都是正数. 答案:B 5. (年江苏盐城)下列命题中,错误的是 () A. 三角形两边之差小于第三边 B. 四边形的外角和是 360 C. 正五边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 D. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形 答案 C. 6.(浙江杭州模拟 14)下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 答案:C 7.(浙江杭州模拟 16)下列命题正确的有 ( )个 ①400 角为内角的两个等腰三角形必相似 ②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为 750 ③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④一个等腰直角三角形的三边是 a、b、c,(a>b=c),那么 a2∶b2∶c2=2∶1∶1 ⑤若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则此△为等腰直角三角形。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 答案:A 8.( 年杭州三月月考)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 a b ,则 2 2a b ;③直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。④菱形的对角线互相垂直.其中原命题与逆命题均为真命题的个 数是( ) (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 答案:D 9.(浙江杭州义蓬一中一模)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 2 2a b ,则 a b ; ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等;④平行四边形的对角线互相平分;⑤直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A.①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案:C 10.(年杭州市上城区一模)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 2 2a b ,则 a b ; ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等;④平行四边形的对角线互相平分;⑤直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A. ①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案:C 二、填空题 三、解答题 1.(年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题)已知:如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,E 是 BC 的中点, BEA DEA   ,联结 AE 、 BD 相交于点 F , BD CD . (1)求证: AE CD ; (2)求证:四边形 ABED 是菱形. 答案:(1)∵BD⊥CD,∴ 90BDC   , ∵ E 是 BC 的中点,∴ BE DE EC  , ∵ BEA DEA   ,∴EF⊥BD,即 90BFE   ,∴ EA ∥ CD , ∵ AD ∥ BC ,∴四边形 AECD 是平行四边形, ∴ AE CD . (2)∵四边形 AECD 是平行四边形,∴ AD EC , ∴ AD = BE ,又 AD ∥ BE ,∴四边形 ABED 是平行四边形, ∵ BE DE ,∴四边形 ABED 是菱形. 2.(浙江杭州育才初中模拟)请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题,判断此逆命题的真假性,并给 出证明.(原创) 答案: 3.(浙江慈吉 模拟)已知命题:“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且 AD=BE, AC∥DF, 则⊿ABC≌⊿ DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条 件, 使它成为真命题, 并加以证明. 答案: 说明:本题除了上述添加方法外还可在以下情况 (第 1 题图) A B C D E F F E D C B A 任选一种: 1 C=∠F ②∠CBA=∠E ③BC∥EF 4. (杭州上城区一模)已知四边形 ABCD,E 是 CD 上的一点,连接 AE、BE. (1)给出四个条件: ①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC, ③AE⊥EB,④AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明; (2)请你判断命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是否正确,并说明理由. 答案: (1)如: ①②④  AD∥BC …… 1 分 证明:在 AB 上取点 M,使 AM=AD,连结 EM,…… 1 分 ∵AE 平分∠BAD∴∠MAE=∠DAE 又∵AM=AD AE=AE, ∴△AEM≌△AED ∴∠D=∠AME…… 1 分 又∵AB=AD+BC ∴MB=BC,∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME…… 1 分 故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴AD∥BC…… 2 分 (2)不正确 …… 1 分 作等边三角形 ABM AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABM 且 AE、BE 交于 E,连结 EM,则 EM⊥AB,过 E 作 ED∥AB 交 AM 于 D,交 BM 与 C,则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M ∴ 命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是不正确的. …… 3 分 5.(年深圳二模)已知⊙O 的直径 AB、CD 互相垂直,弦 AE 交 CD 于 F,若⊙O 的半径为 R 求证:AE·AF=2 R 2 证明:连接 BE…………………1 分 ∵AB 为⊙O 的直径 A B C D E (第 4 题(1)) D C M E B A D C M E B A ∴∠AEB=90°…………………2 分 ∵AB⊥CD ∴∠AOF=90° ∴∠AOF=∠AEB=90° 又∠A=∠A ∴△AOF∽△AEB…………………5 分 AE AO AB AF  ∴AE·AF=AO·AB ∵AO=RAB=2R AE·AF=2R 2 ………………8 分 6.(年深圳二模) 如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连结 AE,点 F 是 AE 的中 点,连结 BF、DF,求证:BF⊥DF 证明:延长 BF,交 DA 的延长线于点 M,连接 BD……………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴MD∥BC ∴∠AMF=∠EBF ∠E=∠MAF 又 FA=FE ∴△AFM≌△EFB……………5 分 AM=BE FB=FM 矩形 ABCD 中,AC=BD,AD=BC ∴BC+BE=AD+AM 即 CE=MD ∵CE=AC ∴DB=DM ∵FB=FM ∴BF⊥DF……………12 分 第 6 题图 第 5 题图 7.(年深圳二模)在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E 是直线 AB 上两点.∠DCE=45° (1)当 CE⊥AB 时,点 D 与点 A 重合,显然 DE 2 =AD 2 +BE 2 (不必证明) (2)如图,当点 D 不与点 A 重合时,求证:DE 2 =AD 2 +BE 2 (3)当点 D 在 BA 的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由. 解:(2)证明: 过点 A 作 AF ⊥AB ,使 AF=AB,连接 DF ∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC=AB ∠CAB=∠B=45°, ∴∠FAC=45° ∴△CAF≌△CBE……………………3 分 ∴CF=CE ∠ACF=∠BCE ∵∠ACB=90°,∠DCE=45° ∴∠ACD+∠BCE=45° ∴∠ACD+∠ACF=45° 即∠DCF=45° ∴∠DCF=∠DCE 又 CD=CD ∴△CDF≌△CDE ∴DF=DE ∵AD 2 +AF 2 =DF 2 ∴AD 2 +BE 2 =DE 2 …………………………………………7 分 (3)结论仍然成立 如图证法同(2)…………………………………………12 分 8.(深圳市三模)(本小题满分 10 分) 如图,已知△ABC,∠ACB=90º,AC=BC,点 E、F 在 AB 上,∠ECF=45º, (1)求证:△ACF∽△BEC(5 分) A E F B C 第 7 题图 第 7 题图 (2)设△ABC 的面积为 S,求证:AF·BE=2S(3) 证明:(1) ∵ AC=BC, ∴∠A = ∠B ∵∠ACB=90º, ∴∠A = ∠B = 45 0, ∵∠ECF= 45º, ∴∠ECF = ∠B = 45º, ∴∠ECF+∠1 = ∠B+∠1 ∵∠BCE = ∠ECF+∠1,∠2 = ∠B+∠1; ∴∠BCE = ∠2, ∵∠A = ∠B ,AC=BC, ∴△ACF∽△BEC。 (2)∵△ACF∽△BEC ∴ AC = BE,BC = AF, ∴△ABC 的面积:S = 2 1 AC·BC = 2 1 BE·AF ∴AF·BE=2S. 9.(深圳市模四)(2)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于 B,AC 交⊙O 于 D. ①求证:AB2=AD·AC. ②当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时,△ABC 为等腰直角三角形,为什么? 证明:①连接 BD,则∠ADB=90°. ∵BC 与⊙O 相切,∴∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ADB. 又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,∴ AC AB AB AD  ,∴ ACADAB 2 . ②点 D 运动到半圆 AB 的中点时,△ABC 为等腰直角三角形. BD 既是 AC 上的高线又是中线,所以△ABC 为等腰直角三角形. B 组 一、选择题 1.( 年杭州三月月考)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 a b ,则 2 2a b ;③直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。④菱形的对角线互相垂直. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 答案:D 2.(浙江杭州义蓬一中一模)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 2 2a b ,则 a b ; ③角平分线上的点到这个角的两边距离相等;④平行四边形的对角线互相平分; A E F B C A B C DO· 第 9(2)题图 第 8 题图 ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A.①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案:C 3.(年杭州市上城区一模)已知下列命题:①若 0 0a b , ,则 0a b  ;②若 2 2a b ,则 a b ;③ 角平分线上的点到这个角的两边距离相等;④平行四边形的对角线互相平分;⑤直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A. ①③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案:C 二、填空题 三、解答题 1.(浙江杭州育才初中模拟)(本小题满分 6 分)请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题,判断此逆 命题的真假性,并给出证明。(原创) 答案: 2 (浙江慈吉 模拟)已知命题:“如图, 点 A、D、B、E 在同一条直线上, 且 AD=BE, AC∥DF, 则⊿ABC≌⊿ DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条 件, 使它成为真命题, 并加以证明. 答案: 说明:本题除了上述添加方法外还可在以下情况 任选一种: 2 C=∠F ②∠CBA=∠E ③BC∥EF 3. (杭州上城区一模)已知四边形 ABCD,E 是 CD 上的一点,连接 AE、BE. (1)给出四个条件: ①AE 平分∠BAD,②BE 平分∠ABC, ③AE⊥EB,④AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出 AD∥BC 的正确命题,并加以证明; (2)请你判断命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是否正确,并说明理由. F E D C B A A B C D E (第 23 题(1)) 答案: (1)如: ①②④  AD∥BC …… 1 分 证明:在 AB 上取点 M,使 AM=AD,连结 EM,…… 1 分 ∵AE 平分∠BAD∴∠MAE=∠DAE 又∵AM=AD AE=AE, ∴△AEM≌△AED ∴∠D=∠AME…… 1 分 又∵AB=AD+BC ∴MB=BC,∴△BEM≌△BCE ∠C=∠BME…… 1 分 故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴AD∥BC…… 2 分 (2)不正确 …… 1 分 作等边三角形 ABM AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABM 且 AE、BE 交于 E,连结 EM,则 EM⊥AB,过 E 作 ED∥AB 交 AM 于 D,交 BM 与 C,则 E 是 CD 的中点而 AD 和 BC 相交于点 M ∴ 命题“AE 平分∠BAD,BE 平分∠ABC,E 是 CD 的中点,则 AD∥BC”是不正确的. 4.(年深圳二模)已知⊙O 的直径 AB、CD 互相垂直,弦 AE 交 CD 于 F,若⊙O 的半径为 R。求证:AE·AF =2 R 2 证明:连接 BE…………………1 分 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠AEB=90°…………………2 分 ∵AB⊥CD ∴∠AOF=90° ∴∠AOF=∠AEB=90° 又∠A=∠A ∴△AOF∽△AEB…………………5 分 AE AO AB AF  ∴AE·AF=AO·AB ∵AO=RAB=2R AE·AF=2R 2 ………………8 分 5.(年深圳二模) 如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连结 AE,点 F 是 AE 的中 D C M E B A D C M E B A 第 4 题图 点,连结 BF、DF,求证:BF⊥DF 证明:延长 BF,交 DA 的延长线于点 M,连接 BD……………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴MD∥BC ∴∠AMF=∠EBF ∠E=∠MAF 又 FA=FE ∴△AFM≌△EFB……………5 分 AM=BE FB=FM 矩形 ABCD 中,AC=BD,AD=BC ∴BC+BE=AD+AM 即 CE=MD ∵CE=AC ∴DB=DM ∵FB=FM ∴BF⊥DF……………12 分 6.(年深圳二模)在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E 是直线 AB 上两点.∠DCE=45° (1)当 CE⊥AB 时,点 D 与点 A 重合,显然 DE 2 =AD 2 +BE 2 (不必证明) (2)如图,当点 D 不与点 A 重合时,求证:DE 2 =AD 2 +BE 2 (3)当点 D 在 BA 的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由. 解:(2)证明: 过点 A 作 AF ⊥AB ,使 AF=AB,连接 DF ∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC=AB ∠CAB=∠B=45°, ∴∠FAC=45° 第 6 题图 第 2 题图 ∴△CAF≌△CBE ∴CF=CE ∠ACF=∠BCE ∵∠ACB=90°,∠DCE=45° ∴∠ACD+∠BCE=45° ∴∠ACD+∠ACF=45° 即∠DCF=45° ∴∠DCF=∠DCE 又 CD=CD ∴△CDF≌△CDE ∴DF=DE ∵AD 2 +AF 2 =DF 2 ∴AD 2 +BE 2 =DE 2 (3)结论仍然成立 如图证法同(2) 7.(深圳市三模) 如图,已知△ABC,∠ACB=90º,AC=BC,点 E、F 在 AB 上,∠ECF=45º, (1)求证:△ACF∽△BEC(5 分) (2)设△ABC 的面积为 S,求证:AF·BE=2S(3) 证明:(1) ∵ AC=BC, ∴∠A = ∠B ∵∠ACB=90º, ∴∠A = ∠B = 45 0, ∵∠ECF= 45º, ∴∠ECF = ∠B = 45º, ∴∠ECF+∠1 = ∠B+∠1 ∵∠BCE = ∠ECF+∠1,∠2 = ∠B+∠1; ∴∠BCE = ∠2, ∵∠A = ∠B ,AC=BC, ∴△ACF∽△BEC。 (2)∵△ACF∽△BEC ∴ AC = BE,BC = AF, ∴△ABC 的面积:S = 2 1 AC·BC = 2 1 BE·AF ∴AF·BE=2S. A E F B C A E F B C 第 4 题图 8.(深圳市模四)(2)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于 B,AC 交⊙O 于 D. ①求证:AB2=AD·AC. ②当点 D 运动到半圆 AB 什么位置时,△ABC 为等腰直角三角形,为什么? 证明:①连接 BD,则∠ADB=90°. ∵BC 与⊙O 相切,∴∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ADB。 又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,∴ AC AB AB AD  ,∴ ACADAB 2 . ②点 D 运动到半圆 AB 的中点时,△ABC 为等腰直角三角形。 BD 既是 AC 上的高线又是中线,所以△ABC 为等腰直角三角形。 A B C DO· 第 5(2)题图