北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4相似三角形的性质 24页

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题． （难点） 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题1： ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？ A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. ΔABC∽ ΔA1B1C1 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 A C BD ∟ A1 C1 B1D1 ∟ 1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道 比值是多少吗？ 2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？ 3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？ A C BD A 1 C1 B1D1 想一想： 1 1 CD C D D1A 1 C1 B1 ∟A C BD ∟ ΔABC ∽ ΔA1B1C1， ,CD和C1D1分别是它们的高, 你 知道 等于多少吗？ 1 1 CD C D 1 1 1 2 CD C D  证明：∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． ∵ ∠AD′B =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD(两角对应相等的两个三 角形相似)，     ∴ A D A B k AD AB  (相似三角形的对应边成比例). 问题：如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别 作BC、B′C′上的高AD、A′D′． 求证： .'' k AD DA  一相似三角形对应高的比等于相似比概念 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也 等于相似比． 如图，AD是ΔABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC 边上，点S在AB边上，BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS 是正方形. （1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？ （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. S R QP E D CB A 例1 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由如下： ∵AD是ΔABC的高， ∴ ∠ADC=90 °. ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR ∥BC， ∴∠AER=∠ADC=90 °， ∴ AE是ΔASR的高. BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. S R QP E D CB A BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ 解： ΔASR与ΔABC相似 . 理由如下: ∵ SR∥BC， ∴ ΔASR∽ΔABC. S R QP E D CB A BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思 想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC， AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高， 设正方形PQRS的边长为x cm, 则SR=DE=x cm，AE=（40-x）cm. ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. AE SR AD BC ∴ . 40 , 40 60 x x  S R QP E D CB A 解：当SR=2SP，设SP=x cm，则SR=2xcm， 得到 所以x=2，2x=4， 2×4=8 cm2. S R QP E D CB A 如图，AD是ΔABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上， 点S在AB边上，BC=5 cm，AD=10 cm，若矩形PQRS的长 是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？ PQRSS 矩形 当SP=2SR，SR=x cm，则SP=2x cm， 得到 所以x=2.5，2x=5， 2.5×5=12.5 cm2 . PQRSS 矩形.  10 2x x 10 5 变式： 10 2 . 10 5 x x  问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的 比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的 中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间 有什么关系呢？ A B CD E A' B' D' C' E' 2 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比 都等于相似比 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又BE、B'E'分别为对应角的平分线， ∴ △ABE∽△A′B′E′， . ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A    ,ABE A'B'E'  . ' ' BE k B E   . ' ' BE k B E  A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想1： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着用同样的方法求 证三角形对应边上的角平分中线 的比等于相似比． 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ． 又AD、AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′， . ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A    .AD k A'D'  .AD k A'D'   ' ' ' ' AB BC A B B C  , ' ' ' ' AB BD A B B D  A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想2： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比． 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm， 如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角 平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为x cm， 则由相似性质有 解得x＝18. 较长的角平分线长为24 cm. 故这两条角平分线的长分别为18 cm，24 cm. 6 , 42 8 x x   例2 3．两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为 ______ . 2.相似三角形对应边的比为2∶ 3,那么对应角的角平分线 的比为______.2∶ 3 1．两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为 _________, 则对应中线的比为_________.1: 2 1: 2 1: 4 解：∵ △ABC∽△DEF， 　 解得EH＝3.2(cm). 即EH的长为3.2cm. A G B C D E F H （相似三角形对应角平 线的比等于相似比）， 4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF 的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长. BG BC EH EF   4.8 6 , 4EH   5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB 边上，SR⊥AD，垂足为点E.当 时，求DE的长.如果 呢？ 　 ∴△ASR∽△ABC， 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC， B A E R C 1 = 2 SR BC 1 = 3 SR BC D S∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C， AE SR AD BC   ， .AD DE SR AD BC    1 = 2 SR BC当 时，得 1 . 2 h DE AD   1 . 2 DE h解得 1 = 3 SR BC当 时，得 1 . 3 h DE AD   2 . 3 DE h解得 相似三角 形的性质 相似三角形对应高的比等 于相似比 相似三角形对应角平分线 的比等于相似比 相似三角形对应中线的比 等于相似比