2014年江苏省南通市中考数学试题（含答案） 21页

江苏省南通市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•南通）﹣4的相反数（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎﹣4‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数．‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．[来源:学|科|网]‎ 解答：‎ 解：﹣4的相反数4．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•南通）如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎160°‎ B．‎ ‎140°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎50°‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据邻补角的定义计算出∠2=180°﹣∠1=140°，然后根据平行线的性质得∠B=∠2=140°．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ ‎∵∠1=40°，‎ ‎∴∠2=180°﹣40°=140°，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴∠B=∠2=140°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•南通）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 圆柱 B．‎ 圆锥 C．‎ 球 D．‎ 棱柱 考点：‎ 由三视图判断几何体 分析：‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．‎ 解答：‎ 解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥‎ B．‎ x≥﹣‎ C．‎ x＞‎ D．‎ x≠‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：由题意得，2x﹣1＞0，‎ 解得x＞．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•南通）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣2，5）‎ B．‎ ‎（2，5）‎ C．‎ ‎（﹣2，﹣5）‎ D．‎ ‎（2，﹣5）‎ 考点：‎ 关于x轴、y轴对称的点的坐标．‎ 分析：‎ 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，‎ ‎∴对称点的坐标为：（2，5）．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•南通）化简的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x+1‎ B．‎ x﹣1‎ C．‎ ‎﹣x D．‎ x 考点：‎ 分式的加减法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．‎ 解答：‎ 解：=﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=x，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•南通）已知一次函数y=kx﹣1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一、二、三象限 B．‎ 第一、二、四象限 C．‎ 第一、三、四象限 D．‎ 第二、三、四象限 考点：‎ 一次函数图象与系数的关系．‎ 分析：‎ 根据“一次函数y=kx﹣3且y随x的增大而增大”得到k＜0，再由k的符号确定该函数图象所经过的象限．‎ 解答：‎ 解：∵一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大，‎ ‎∴k＜0，该直线与y轴交于y轴负半轴，‎ ‎∴该直线经过第一、三、四象限．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象与系数的关系．‎ 函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；‎ 一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，‎ 一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，‎ 一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•南通）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a≥1‎ B．‎ a＞1‎ C．‎ a≤﹣1‎ D．‎ a＜﹣1‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．‎ 分析：‎ 将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：解得，‎ ‎，‎ ‎∵无解，‎ ‎∴a≥1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎12﹣6‎ D．‎ ‎6﹣6‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质 分析：‎ 首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，‎ ‎∵AB=AC，AD=AG，‎ ‎∴AD：AB=AG：AB，‎ ‎∵∠BAC=∠DAG，‎ ‎∴△ADG∽△ABC，[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎∴∠ADG=∠B，‎ ‎∴DG∥BC，‎ ‎∵四边形DEFG是正方形，‎ ‎∴FG⊥DG，‎ ‎∴FH⊥BC，AN⊥DG，‎ ‎∵AB=AC=18，BC=12，‎ ‎∴BM=BC=6，‎ ‎∴AM==12，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AN=6，‎ ‎∴MN=AM﹣AN=6，‎ ‎∴FH=MN﹣GF=6﹣6．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•南通）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ πr2‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；等边三角形的性质；切线的性质．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO1，则在Rt△ADO1中，可求得．四边形ADO1E的面积等于三角形ADO1的面积的2倍，还可求出扇形O1DE的面积，所求面积等于四边形ADO1E的面积减去扇形O1DE的面积的三倍．‎ 解答：‎ 解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，‎ 过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，‎ 连AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD=30°，O1D=r，．‎ ‎∴．由．‎ ‎∵由题意，∠DO1E=120°，得，‎ ‎∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为=．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2014•南通）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为　6.75×104　吨．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．‎ 故答案为：6.75×104．‎ 点评：[来源:学科网ZXXK]‎ 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•南通）因式分解a3b﹣ab=　ab（a+1）（a﹣1）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差继续分解．‎ 解答：‎ 解：a3b﹣ab ‎=ab（a2﹣1）‎ ‎=ab（a+1）（a﹣1）．‎ 故答案是：ab（a+1）（a﹣1）．‎ 点评：‎ 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2014•南通）如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=　9　．‎ 考点：‎ 根的判别式．‎ 分析：‎ 因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=0，‎ 即（﹣6）2﹣4×1×m=0，‎ 解得m=9‎ 点评：‎ 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　x=﹣1　．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点．‎ 分析：‎ 因为点A和B的纵坐标都为0，所以可判定A，B是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），‎ ‎∴两交点关于抛物线的对称轴对称，‎ 则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．‎ 故答案是：x=﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=　8　cm．‎ 考点：[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 勾股定理；直角梯形．‎ 分析：‎ 首先过点D作DE⊥AB于点E，易得四边形BCDE是矩形，则可由勾股定理求得AE的长，易得△ACD是等腰三角形，则可求得CD与BE的长，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎∵在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴四边形BCDE是矩形，‎ ‎∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，‎ ‎∴AE==3（cm），‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠DCA=∠BAC，‎ ‎∵∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∴CD=AD=5cm，‎ ‎∴BE=5cm，‎ ‎∴AB=AE+BE=8（cm）．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•南通）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在　A　区域的可能性最大（填A或B或C）．‎ 考点：‎ 几何概率．‎ 分析：‎ 根据哪个区域的面积大落在那个区域的可能性就大解答即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得：SA＞SB＞SC，‎ 故落在A区域的可能性大，‎ 故答案为：A．‎ 点评：‎ 本题考查了几何概率，解题的关键是了解那个区域的面积大落在那个区域的可能性就大．‎ ‎　17．（3分）（2014•南通）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=　60　°．‎ 考点：‎ 圆周角定理；平行四边形的性质．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．‎ 解答：‎ 解：连接DO并延长，‎ ‎∵四边形OABC为平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠AOC，‎ ‎∵∠AOC=2∠ADC，‎ ‎∴∠B=2∠ADC，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠B+∠ADC=180°，‎ ‎∴3∠ADC=180°，‎ ‎∴∠ADC=60°，‎ ‎∴∠B=∠AOC=120°，‎ ‎∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，‎ ‎∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．‎ 故答案为：60°．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　﹣12　．‎ 考点：‎ 配方法的应用；非负数的性质：偶次方．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．‎ 解答：‎ 解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1，‎ ‎∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12≥﹣12，‎ 则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于﹣12，‎ 故答案为：﹣12．‎ 点评：‎ 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共96分）‎ ‎19．（10分）（2014•南通）计算：‎ ‎（1）（﹣2）2+（）0﹣﹣（）﹣1；‎ ‎（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y．‎ 考点：‎ 整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 分析：‎ ‎（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；‎ ‎（2）先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=4+1﹣2﹣2‎ ‎=1；‎ ‎（2）原式=[x2y（xy﹣1）﹣x2y（1﹣xy）]÷x2y ‎=[x2y（2xy﹣2）]÷x2y ‎=2xy﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，有理数的混合运算，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算和化简能力．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•南通）如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；‎ ‎（2）结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）先把A（m，2）代入y=﹣2x可计算出m，得到A点坐标为（﹣1，2），再把A点坐标代入y=可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；利用点A与点B关于原点对称确定B点坐标；‎ ‎（2）观察函数图象得到当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（m，2）代入y=﹣2x得﹣2m=2，解得m=﹣1，‎ 所以A点坐标为（﹣1，2），‎ 把A（﹣1，2）代入y=得k=﹣1×2=﹣2，‎ 所以反比例函数解析式为y=﹣，‎ 点A与点B关于原点对称，‎ 所以B点坐标为（1，﹣2）；‎ ‎（2）当x＜﹣1或0＜x＜1时，﹣2x＞．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2014•南通）如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析：‎ 易证△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，求得PD的长，与6海里比较大小即可．‎ 解答：‎ 解：过P作PD⊥AB．‎ AB=18×=12海里．‎ ‎∵∠PAB=30°，∠PBD=60°‎ ‎∴∠PAB=∠APB ‎∴AB=BP=12海里．‎ 在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12×=6海里．‎ ‎∵6＞8‎ ‎∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．‎ 点评：‎ 本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2014•南通）九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：‎ A.0.5≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.2≤x＜2.5 E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整的统计图（如图）：‎ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是　C　；‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）可根据中位数的概念求值；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；‎ ‎（3）根据中位数的意义判断．‎ 解答：‎ 解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人），‎ B组的人数是：50﹣3﹣20﹣9﹣1=7（人），‎ 把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组；‎ 故答案为：C；‎ ‎（2）根据（1）得出的数据补图如下：‎ ‎（3）符合实际．‎ 设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，‎ ‎∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，‎ ‎∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2014•南通）盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为．‎ ‎（1）填空：x=　2　，y=　3　；‎ ‎（2）小王和小林利用x个黑球和y个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意得：，解此方程即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：‎ ‎，‎ 解得：；‎ 故答案为：2，3；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况，‎ ‎∴P（小王胜）==，P（小林胜）==．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．‎ ‎（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；‎ ‎（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．‎ 分析：‎ ‎（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；‎ ‎（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；‎ 解答：‎ 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，‎ ‎∴CE=DE=8，‎ 设OB=x，又∵BE=4，‎ ‎∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，‎ ‎∴⊙O的直径是20．‎ ‎（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，‎ ‎∴∠D=∠BOD，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴∠D=30°．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；‎ ‎　‎ ‎25．（9分）（2014•南通）如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示．‎ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）圆柱形容器的高为　14　cm，匀速注水的水流速度为　5　cm3/s；‎ ‎（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s=6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s=18s，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；‎ ‎（2）根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）=18•5，解得a=6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）=5•（24﹣18），再解方程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42s﹣24s=18s，‎ 设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x=30•3，解得x=5，‎ 即匀速注水的水流速度为5cm3/s；‎ 故答案为14，5；‎ ‎（2）“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）=18•5，解得a=6，‎ 所以“几何体”上方圆柱的高为11cm﹣6cm=5cm，‎ 设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）=5•（24﹣18），解得S=24，‎ 即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．‎ ‎（1）求证：EB=GD；‎ ‎（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．‎ 考点：‎ 相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；‎ ‎（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BPAB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，‎ ‎∴∠EAG=∠BAD，‎ ‎∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，‎ ‎∴∠EAB=∠GAD，‎ ‎∵AE=AG，AB=AD，‎ ‎∴△AEB≌△AGD，‎ ‎∴EB=GD；‎ ‎（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，‎ ‎∵∠DAB=60°，‎ ‎∴∠PAB=30°，‎ ‎∴BPAB=1，‎ AP==，AE=AG=，‎ ‎∴EP=2，‎ ‎∴EB===，‎ ‎∴GD=．‎ 点评：‎ 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎27．（13分）（2014•南通）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．‎ ‎（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；‎ ‎（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM．‎ ‎（3）作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠MDF=90°，‎ ‎∵M为边AD中点，‎ ‎∴MA=MD 在△MAE和△MDF中，‎ ‎∴△MAE≌△MDF（ASA），‎ ‎∴EM=FM，‎ 又∵MG⊥EM，‎ ‎∴EG=FG，‎ ‎∴△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）解：如图1，‎ ‎∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ‎∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，‎ ‎∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，‎ ‎∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，‎ ‎∵CM2=EC2﹣EM2，‎ ‎∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，‎ ‎∴CM=．‎ ‎（3）解：如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，‎ ‎∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a ‎∴EM==，MD=AD﹣AM=4﹣a，‎ ‎∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，‎ ‎∴△MAE∽△MDF ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴FM=，‎ ‎∴EF=EM+FM=+=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠MGN=∠DMG，‎ ‎∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，‎ ‎∴∠AME=∠DMG，‎ ‎∴∠MGN=∠AME，‎ ‎∵∠MNG=∠MAE=90°，‎ ‎∴△MNG∽△MAE ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MG=，‎ ‎∴S=EF•MG=××=+6，‎ 即S=+6，‎ 当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．‎ 点评：‎ 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度．‎ ‎　‎ ‎28．（14分）（2014•南通）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．‎ ‎（1）求线段DE的长；‎ ‎（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得．‎ ‎（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E（1，2）的坐标即可表示出直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2﹣bx+b﹣3=0，所以x1+x2=b，x1 x2=b﹣3；根据完全平方公式即可求得∵|x1﹣x2|====，所以当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2，因为b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，所以直线MN∥x轴．‎ ‎（3）由D（1，4），则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO•AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），‎ 令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）；‎ ‎∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；‎ ‎∴DF=4‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；‎ ‎，解得，‎ ‎∴解析式为；y=﹣x+3，‎ 当x=1时，y=﹣1+3=2，‎ ‎∴E（1，2），‎ ‎∴EF=2，‎ ‎∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．‎ ‎（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵E（1，2），‎ ‎∴2=k+b，‎ ‎∴k=2﹣b，‎ ‎∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，‎ ‎∵点M、N的坐标是的解，‎ 整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，‎ ‎∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；‎ ‎∵|x1﹣x2|====，‎ ‎∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2，‎ ‎∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，‎ ‎∴直线MN∥x轴．‎ ‎（3）如图2，∵D（1，4），‎ ‎∴tan∠DOF=4，‎ 又∵tan∠α=4，‎ ‎∴∠DOF=∠α，‎ ‎∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，‎ ‎∵∠DAO+∠DPO=∠α，‎ ‎∴∠DPO=∠ADO，‎ ‎∴△ADP∽△AOD，‎ ‎∴AD2=AO•AP，‎ ‎∵AF=2，DF=4，‎ ‎∴AD2=AF2+DF2=20，‎ ‎∴OP=19，‎ ‎∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的交点、顶点坐标、对称轴，以及相似三角形的判定及性质，求得三角形相似是本题的关键．‎ ‎　‎