2010年湖北省荆州市中考数学试卷 17页

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•荆州）温度从﹣2℃上升3℃后是（　　）‎ ‎ A、1℃ B、﹣1℃‎ ‎ C、3℃ D、5℃‎ 考点：有理数的加法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：上升3℃即是比原来的温度高了3℃，所以把原来的温度加上3℃即可得出结论．‎ 解答：解：∵温度从﹣2℃上升3℃，‎ ‎∴﹣2+3=1℃．‎ 故选A．‎ 点评：此题要先判断正负号的意义：上升为正，下降为负；‎ 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则．‎ 在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．‎ ‎2、（2010•荆州）若分式：x‎2‎‎﹣1‎x﹣1‎的值为0，则（　　）‎ ‎ A、x=1 B、x=﹣1‎ ‎ C、x=±1 D、x≠1‎ 考点：分式的值为零的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．‎ 解答：解：由x2﹣1=0解得：x=±1，‎ 又∵x﹣1≠0即x≠1，‎ ‎∴x=﹣1，‎ 故选B．‎ 点评：要注意使分子的值为0时，同时要分母的值不能为0，否则就属于没有意义了．‎ ‎3、（2010•荆州）下面计算中正确的是（　　）‎ ‎ A、‎2‎‎+‎3‎=‎‎5‎ B、（﹣1）﹣1=1‎ ‎ C、（﹣5）2010=52010 D、x2•x3=x6‎ 考点：二次根式的加减法；有理数的乘方；同底数幂的乘法；负整数指数幂。‎ 分析：本题涉及到二次根式的加减运算、有理数的乘方、负整数指数幂等知识，要针对各知识点进行解答．‎ 解答：解：A、‎2‎和‎3‎不是同类二次根式，不能合并，故A错误；‎ B、（﹣1）﹣1=‎1‎‎﹣1‎=﹣1，故B错误；‎ C、由于互为相反数的偶次方相等，所以（﹣5）2010=52010，故C正确；‎ D、x2•x3=x2+3=x5；故D错误；‎ 故选C．‎ 点评：此题需注意的是：‎ ‎①在二次根式的加减运算中，不是同类二次根式的不能合并；‎ ‎②负整数指数幂：a﹣n=‎1‎an（a≠0，n为正整数）；‎ ‎③同底数幂的乘（除）法：底数不变，指数相加（减）．‎ ‎4、（2010•荆州）一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N．那么 ‎∠CME+∠BNF是（　　）‎ ‎ A、150° B、180°‎ ‎ C、135° D、不能确定 考点：角的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据∠CME与∠BNF是△AMN另外两个角，利用三角形的内角和定理即可求解．‎ 解答：解：根据图象，∠CME+∠BNF=∠AMN+∠ANM，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠CME+∠BNF=180°﹣∠A=150°．‎ 故选A．‎ 点评：本题的关键在于所求两角的对顶角和∠A是三角形的三个内角，从而可以运用三角形的内角和定理求解．‎ ‎5、（2010•荆州）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若AB的长为12cm，那么AC的长是（　　）‎ ‎ A、10cm B、9cm ‎ C、8cm D、6cm 考点：弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理。‎ 分析：根据弧长公式，可知弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，再根据弧AB的长即可求解．‎ 解答：解：∵∠C=90°，‎ ‎∴AB是直径．‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠B=60°．‎ ‎∴弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，即为2：1．‎ 又AB的长为12cm，‎ ‎∴AC的长是12×‎2‎‎3‎=8（cm）．‎ 故选C．‎ 点评：在同圆中，根据弧长公式，知两条弧的长度之比等于两条弧所对的圆心角的度数比．‎ ‎6、（2010•荆州）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（　　）‎ ‎ A、10﹣2cm B、10﹣1cm ‎ C、10﹣3cm D、10﹣4cm 考点：科学记数法—表示较小的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：解：5×10﹣5×2×103=10﹣1cm．故选B．‎ 点评：本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎7、（2010•荆州）函数y1=|x|，y‎2‎‎=‎1‎‎3‎x+‎‎4‎‎3‎．当y1＞y2时，x的范围是（　　）‎ ‎ A、x＜﹣1 B、﹣1＜x＜2‎ ‎ C、x＜﹣1或x＞2 D、x＞2‎ 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。‎ 分析：此题可根据两交点坐标直接取y2图象处于y1图象下方时x所满足的值即可．‎ 解答：解：由图象可知：在（﹣1，1）左边，（2，2）的左边，y1＞y2，‎ ‎∴x＜﹣1或x＞2．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了函数的图象．对于有相应的函数值来求自变量的取值范围，应该从交点入手思考．‎ ‎8、（2010•荆州）某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单几何体的三视图；截一个几何体。‎ 分析：俯视图应表现出几何体的长与宽，求得截面的长即为几何体的宽．‎ 解答：解：易得主视图中对角线的长为‎2‎，由于截面是一个正方形，那么可得这个长方体的宽也为‎2‎，俯视图应表现出几何体的长与宽为1，‎2‎，故选D．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；关键是求得长方体的宽．‎ ‎9、（2010•荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…则E（x，x2﹣2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到？（　　）‎ ‎ A、向上平移1个单位 B、向下平移1个单位 ‎ C、向左平移1个单位 D、向右平移1个单位 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 专题：新定义。‎ 分析：首先弄清E（x，x2﹣2x+1）和E（x，x2）所代表的函数，然后根据左加右减，上加下减的规律进行判断．‎ 解答：解：E（x，x2﹣2x+1）即为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2；E（x，x2）即为y=x2；‎ y=（x﹣1）2可由y=x2向右平移一个单位得出；‎ 故选D．‎ 点评：主要考查的是函数图象的平移，弄清新标记的含义是解答此题的关键．‎ ‎10、（2010•荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数y=‎kx的图象上．那么k的值是（　　）‎ ‎ A、3 B、6‎ ‎ C、12 D、‎‎15‎‎4‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：过点B作BM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，延长AC交y轴于点D，设点C的坐标为（1，y），根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值是个定值作为相等关系求得y值后再求算k值．‎ 解答：解：过点B作BM⊥y轴、于点M，过点N作AN⊥x轴于点N，延长AC交y轴于点D，设点C的坐标为（1，y），则 ‎∵AC=4，BC=3‎ ‎∴OM=3+y，ON=5‎ ‎∴5y=3+y 解得y=‎‎3‎‎4‎ ‎∴OM=3+‎3‎‎4‎=‎‎15‎‎4‎ ‎∴k=OM×1=‎15‎‎4‎．‎ 故选D．‎ 点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11、（2010•荆州）分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= ．‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：首先去括号、合并同类项，再运用完全平方公式分解因式．‎ 解答：解：x（x﹣1）﹣3x+4，‎ ‎=x2﹣x﹣3x+4，‎ ‎=x2﹣4x+4，‎ ‎=（x﹣2）2．‎ 点评：此题考查的是运用公式法进行因式分解，需注意本题应先对所求的代数式进行整理，然后再运用完全平方公式因式分解．‎ ‎12、（2010•荆州）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数是 度．‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 分析：利用平行四边形对角相等和邻角互补先求出∠BCD和∠D，再利用等边对等角的性质解答．‎ 解答：解：在平行四边形ABCD中，∠A=130°，‎ ‎∴∠BCD=∠A=130°，∠D=180°﹣130°=50°，‎ ‎∵DE=DC，‎ ‎∴∠ECD=‎1‎‎2‎（180°﹣50°）=65°，‎ ‎∴∠ECB=130°﹣65°=65°．‎ 故答案为65°．‎ 点评：本题主要考查平行四边形对角相等和邻角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎13、（2010•荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：本题可依次解出n=1，2，3，…，围棋子的枚数．再根据规律以此类推，可得出第n个图形需要围棋子的枚数．‎ 解答：解：∵n=1时，有5枚，即3×1+2枚；‎ n=2时，有8枚，即3×2+2枚；‎ n=3时，有11枚，即3×3+2枚；‎ ‎…；‎ ‎∴n=n时，有3n+2枚．‎ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎14、（2010•荆州）有如图的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的图案 （画出的两个图案不能全等）．‎ 考点：利用轴对称设计图案。‎ 专题：网格型。‎ 分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．设计如下．‎ 解答：解：‎ 点评：本题主要考查了轴对称图形的定义．‎ ‎15、（2010•荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=‎3‎‎5‎，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是 ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 分析：过A作BC的垂线，在构建的两个直角三角形中，通过解直角三角形求出BC的长以及BC边上的高，从而根据三角形的面积公式求出△ABC的面积表达式．‎ 解答：解：过A作AD⊥BC于D．‎ 在Rt△ACD中，AC=5a，cosC=‎3‎‎5‎，‎ ‎∴CD=AC•cosC=3a，AD=AC‎2‎‎﹣‎CD‎2‎=4a．‎ 在Rt△ABD中，AD=4a，∠B=45°，‎ ‎∴BD=AD=4a．‎ ‎∴BC=BD+CD=4a+3a=7a．‎ 故S△ABC=‎1‎‎2‎BC•AD=‎1‎‎2‎×7a×4a=14a2．‎ 点评：本题考查的是解直角三角形的应用，当两个直角三角形拥有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．‎ ‎16、（2010•荆州）屏幕上有四张卡片，卡片上分别有大写的英文字母“A，Z，E，X”，现已将字母隐藏．只要用手指触摸其中一张，上面的字母就会显现出来．某同学任意触摸其中2张，上面显现的英文字母都是中心对称图形的概率是 ．‎ 考点：列表法与树状图法；中心对称图形。‎ 专题：操作型。‎ 分析：用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．‎ 解答：解：根据题意，可得：‎ 分析可得，共6种情况，其中1种符合情况；‎ 故其概率为‎1‎‎6‎；‎ 故答案为‎1‎‎6‎．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎17、（2010•荆州）计算：‎‎8‎‎+（﹣1‎）‎‎2010‎﹣∣1﹣‎2‎∣‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及幂运算的性质、二次根式化简、绝对值的化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：‎‎8‎‎+（﹣1‎）‎‎2010‎﹣∣1﹣‎2‎∣‎ ‎=2‎2‎+1+1﹣‎‎2‎ ‎=‎2‎+2．‎ 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ 注意：﹣1的奇次幂是﹣1，﹣1的偶次幂是1．‎ ‎18、（2010•荆州）解方程：‎xx+1‎‎=‎2x‎3x+3‎+1‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．‎ 解答：解：方程两边都乘3（x+1），‎ 得：3x﹣2x=3（x+1），‎ 解得：x=﹣1.5，‎ 经检验x=﹣1.5是方程的根，‎ ‎∴原方程为x=﹣1.5．‎ 点评：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．‎ ‎19、（2010•荆州）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定。‎ 专题：探究型。‎ 分析：利用旋转的性质和正方形的性质得出△OBM≌△OFN，从而证明猜想正确．‎ 解答：解：猜想：BM=FN．（2分）‎ 证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心，‎ ‎∴BO=DO，∠BDA=∠DBA=45°，‎ ‎∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，‎ ‎∴FO=DO，∠F=∠BDA，‎ ‎∴OB=OF，∠OBM=∠OFN，（4分）‎ 在△OMB和△ONF中‎&∠OBM=∠OFN‎&OB=OF‎&∠BOM=∠FON，‎ ‎∴△OBM≌△OFN，（6分）‎ ‎∴BM=FN．（7分）‎ 点评：本题综合考查了旋转的性质和正方形的性质．‎ ‎20、（2010•荆州）2010年，世博会在我国的上海举行，在网上随机调取了5月份中的某10天持票入园参观的人数，绘成下面的统计图．根据图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）求出这10天持票入园人数的平均数、中位数和众数；‎ ‎（2）不考虑其它因素的影响，以这10天的数据作为样本，估计在世博会开馆的184天中，持票入园人数超过30万人的有多少天？‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）根据平均数，中位数，众数的概念计算；‎ ‎（2）由样本估计总体．‎ 解答：解：（1）平均数：（20+13+21+18+34+30+31+35+38+31）÷10=27.1（万人），‎ 这10天的人数从小到大的排列为：13，18，20，21，30，31，31，34，35，38，‎ ‎∴中位数=（30+31）÷2=30.5（万人），‎ 由于31万出现了两次，其它数均为1次，故众数是31（万人）；‎ ‎（2）估计世博会184天中，持票入园超过30万人的天数是：‎184×‎5‎‎10‎=92‎．‎ 点评：本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．‎ ‎21、（2010•荆州）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根x1，x2满足x12﹣x22=0，双曲线y=‎‎4kx（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S△OBC．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：计算题；综合题。‎ 分析：首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由x12﹣x22=0得出x1﹣x2=0‎ 或x1+x2=0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k的几何意义，可知S△OCA=‎1‎‎2‎|k|．如果过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=‎1‎‎2‎|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△OBA，最后由S△OBC=S△OBA﹣S△OCA，得出结果．‎ 解答：解：∵x2+（2k﹣1）x+k2=0有两根，‎ ‎∴△=（2k﹣1）2﹣4k2≥0，‎ 即k≤‎‎1‎‎4‎．‎ 由x12﹣x22=0得：（x1﹣x2）（x1+x2）=0．‎ 当x1+x2=0时，﹣（2k﹣1）=0，解得k=‎‎1‎‎2‎，不合题意，舍去；‎ 当x1﹣x2=0时，x1=x2，△=（2k﹣1）2﹣4k2=0，‎ 解得：k=‎‎1‎‎4‎符合题意．‎ ‎∴双曲线的解析式为：y=‎‎1‎x．‎ 过D作DE⊥OA于E，则S‎△ODE‎=S‎△OCA=‎1‎‎2‎×1=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎∵DE⊥OA，BA⊥OA，‎ ‎∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，‎ ‎∴S‎△OBAS‎△ODE‎=（OBOD‎）‎‎2‎=4‎，∴S‎△OBA‎=4×‎1‎‎2‎=2‎，‎ ‎∴S‎△OBC‎=S‎△OBA﹣S‎△OCA=2﹣‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎．‎ 点评：本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．‎ ‎22、（2010•荆州）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=‎3‎‎5‎，求EF的长．‎ 考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）连接OE，证OE⊥AB即可．通过证明△BOC≌△BOE得证；‎ ‎（2）根据垂径定理，EF=2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根据三角函数可求EG得解．‎ 解答：（1）证明：连接OE．‎ ‎∵ED∥OB，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠OED．‎ 又OE=OD，‎ ‎∴∠2=∠OED，‎ ‎∴∠1=∠3．‎ 又OB=OB，OE=OC，‎ ‎∴△BCO≌△BEO．（SAS）‎ ‎∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB．‎ ‎∴AB是⊙O切线．‎ ‎（2）解：∵∠F=∠4，CD=2•OC=10；‎ 由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：‎ ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=‎10×‎3‎‎5‎=6‎．‎ ‎∴CE=CD‎2‎﹣ED‎2‎=‎10‎‎2‎‎﹣‎‎6‎‎2‎=8‎．‎ 在Rt△CEG中，EGCE‎=sin∠4=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴EG=‎3‎‎5‎‎×8=‎‎24‎‎5‎．‎ 根据垂径定理得：EF=2EG=‎‎48‎‎5‎．‎ 点评：此题考查了切线的判定、垂径定理及解直角三角形等知识点，综合性很强，难度较大．‎ ‎23、（2010•荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．‎ ‎（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）求月产量x的范围；‎ ‎（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；‎ ‎（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围；‎ ‎（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量﹣生产总成本”列出函数关系式求得最大值．‎ 解答：解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，‎ ‎&30k+b=1400‎‎&40k+b=1700‎ 解得：‎‎&k=30‎‎&b=500‎ ‎∴函数关系式y2=30x+500‎ ‎（2）依题意得：‎‎&500+30x≤50x‎&170﹣2x≥90‎ 解得：25≤x≤40‎ ‎（3）∵W=x•y1﹣y2=x（170﹣2x）﹣（500+30x）=﹣2x2+140x﹣500‎ ‎∴W=﹣2（x﹣35）2+1950‎ ‎∵25＜35＜40，‎ ‎∴当x=35时，W最大=1950‎ 答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．‎ 点评：本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．‎ ‎24、（2010•荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=‎1‎‎4‎OA=‎2‎，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．‎ ‎（1）直接写出D点的坐标；‎ ‎（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；‎ ‎（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．‎ 考点：等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角梯形；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4‎2‎，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；‎ ‎（2）连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；‎ ‎（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：‎ ‎①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；‎ ‎②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；‎ ‎③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．‎ 解答：解：（1）过B作BM⊥x轴于M；‎ Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=‎3‎‎2‎‎2‎；‎ ‎∴BC=OA﹣AM=4‎2‎﹣‎3‎‎2‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎2‎，CD=BC﹣CD=‎3‎‎2‎‎2‎；‎ ‎∴D点的坐标是‎（‎3‎‎2‎‎2‎，‎3‎‎2‎‎2‎）‎；（2分）‎ ‎（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；‎ 又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3‎ 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°‎ ‎∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（4分）‎ ‎∴OEAF‎=‎ODAE，即：‎xy‎=‎‎3‎‎4‎2‎﹣x ‎11‎ ‎∴y与x的解析式为：y=﹣‎1‎‎3‎x‎2‎+‎4‎‎2‎‎3‎x（6分）‎ ‎（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；‎ ‎①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；‎ ‎∴△AEF为等腰直角三角形，D在A’E上（A’E⊥OA），‎ B在A’F上（A’F⊥EF）‎ ‎∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；‎ ‎∵‎AE=OA﹣OE=OA﹣CD=4‎2‎﹣‎3‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎‎2‎ ‎∴‎AF=AE•sin4‎5‎‎0‎=‎5‎‎2‎‎2‎×‎2‎‎2‎=‎5‎‎2‎S‎△AEF=‎1‎‎2‎EF•AF=‎1‎‎2‎×（‎5‎‎2‎‎）‎‎2‎=‎‎25‎‎8‎ ‎∴‎S梯形AEDB‎=‎1‎‎2‎（BD+AE）•DE=‎1‎‎2‎×（‎2‎+‎5‎‎2‎‎2‎）×‎3‎‎2‎‎2‎=‎‎21‎‎4‎ ‎∴S四边形BDEF‎=S梯形AEDB﹣S‎△AEF=‎21‎‎4‎﹣‎25‎‎8‎=‎‎17‎‎8‎；‎ ‎（也可用S阴影=S△A'EF﹣S△A'BD）（8分）‎ ‎②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积．‎ ‎∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA ‎∴四边形DEAB是平行四边形 ‎∴AE=DB=‎‎2‎ ‎∴S‎△A'EF‎=S‎△AEF=‎1‎‎2‎AE•EFS‎△A‎/‎EF=‎1‎‎2‎×（‎2‎‎）‎‎2‎=1‎（10分）‎ ‎③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内．‎ ‎∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积．‎ 由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3‎ ‎∴AE=AF=OA﹣OE=‎‎4‎2‎﹣3‎ 过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=（4‎2‎﹣3）×‎2‎‎2‎=4﹣‎‎3‎‎2‎‎2‎ ‎∴‎S‎△A'EF‎=S‎△AEF=‎1‎‎2‎AE•FH=‎1‎‎2‎×（4‎2‎﹣3）•（4﹣‎3‎‎2‎‎2‎）=‎‎41‎2‎﹣48‎‎4‎ 综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为‎17‎‎8‎或1或‎41‎2‎﹣48‎‎4‎．（12分）‎ 点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ yangjigang；lanchong；Linaliu；haoyujun；MMCH；张伟东；xinruozai；zhangCF；zhjh；137-hui；huangling；lanyuemeng；shenzigang；CJX；zxw；zhehe；zhangchao；lzhzkkxx；fuaisu；kuaile。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日