中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义21 平行四边形（教师版） 57页

专题 21 平行四边形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形 ABCD” 平行四边形的性质： 1、 平行四边形对边平行且相等； 几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC 2、平行四边形对角相等、邻角互补； 几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？） 3、平行四边形对角线互相平分； 几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC= AC,BO=OD= BD 4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。 平行线的性质： 1、平行线间的距离都相等； 2、两条平行线间的任何平行线段都相等； 3、等底等高的平行四边形面积相等。 平行四边形的判定定理（基础）： 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行四边形的面积公式：面积=底×高 【考查题型汇总】 考查题型一 利用平行四边形的性质解题 1．（2019·海南中考真题）如图，在 ABCD 中，将 ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的 点 E 处．若 =60B  ， =3AB ，则 ADE 的周长为（ ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【详解】 由折叠可得， 90ACD ACE     ， 90BAC   ， 又 60B   ， 30ACB   ， 2 6BC AB   ， 6AD  ， 由折叠可得， 60E D B       ， 60DAE   ， ADE 是等边三角形， ADE 的周长为 6 3 18  ， 故选：C． 2．（2018·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原 来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 【答案】D 【详解】 只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选 D． 3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26，对角线 AC 与 BD 交于 O，AC⊥AB， E 是 BC 的中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3，则 AE 的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【详解】 解：∵ABCD 的周长为 26cm， ∴AB+AD=13cm，OB=OD， ∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3cm， ∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm， ∴AB=5cm，AD=8cm. ∴BC=AD=8cm. ∵AC⊥AB，E 是 BC 中点， ∴AE= 1 2 BC=4cm； 故选：B. 4．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB=5，△OCD 的周长为 23，则 平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是 A．18 B．28 C．36 D．46 【答案】C 【详解】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5. ∵△OCD 的周长为 23，∴OD+OC=23﹣5=18. ∵BD=2DO，AC=2OC， ∴平行四边形 ABCD 的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36. 故选 C. 5．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若 ABD 48   ， CFD 40   ，则 E 为 ( ) A．102 B．112 C．122 D．92 【答案】B 【详解】 AD / /BC ， ADB DBC   ， 由折叠可得 ADB BDF  ， DBC BDF   ， 又 DFC 40   ， DBC BDF ADB 20       ， 又 ABD 48   ， ABD 中， A 180 20 48 112        ， E A 112     ， 故选 B． 考查题型二 平行四边形的判定 1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F，连接 AC，DF． （1）求证：四边形 ACDF 是平行四边形； （2）当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析. 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE=DE， 又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形 ACDF 是平行四边形； （2）BC=2CD． 证明：∵CF 平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°， ∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD． 2．（2019·甘肃中考模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 3 ． 【解析】 1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE 和△DOF 中， OBE ODF OB OD BOE DOF         ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2， 解得：x= 13 3 ， ∵BD= 2 2AD AB =2 13 ， ∴OB= 1 2 BD= 13 ， ∵BD⊥EF， ∴EO= 2 2BE OB = 2 13 3 ， ∴EF=2EO= 4 13 3 ． 3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 CD 边上，点 F 在 DC 延长线上， AE＝BF． （1）求证：四边形 ABFE 是平行四边形 （2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求 EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5. 【解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°． ∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°． ∴∠D=∠BCF．在 Rt△ADE 和 Rt△BCF 中， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF． ∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形 ABFE 是平行四边形． （2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°． ∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°． 在 Rt△ABE 中，AE=3，BE=4，AB= ． ∵四边形 ABFE 是平行四边形，∴EF=AB=5． 考查题型三 平行四边形性质与判定的综合 1．（2019·洞口县第九中学中考模拟）如图，在 ABC 中，过点 C 作 CD / /AB ，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF．  1 求证：四边形 AFCD 是平行四边形．  2 若 GB 3 ， BC 6 ， 3BF 2  ，求 AB 的长． 【答案】  1 证明见解析；  2 AB 6 ． 【详解】  1 E 是 AC 的中点， AE CE  ， AB/ /CD ， AFE CDE   ， 在 AEF 和 CED 中， AFE CDE AEF CED AE CE          ， AEF ≌  CED AAS ， AF CD  ， 又 AB/ /CD ，即 AF/ /CD ， 四边形 AFCD 是平行四边形；  2 AB/ /CD ， GBF ∽ GCD ， GB BF GC CD   ，即 3 3 2 3 6 CD  ， 解得： 9CD 2  ， 四边形 AFCD 是平行四边形， 9AF CD 2    ， 9 3AB AF BF 62 2       ． 2．（2018·黑龙江中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 CD， 过 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于 F． （1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形； （2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm， 【详解】（1）∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点， ∴ED 是 Rt△ABC 的中位线， ∴ED∥FC．BC=2DE， 又 EF∥DC， ∴四边形 CDEF 是平行四边形； （2）∵四边形 CDEF 是平行四边形； ∴DC=EF， ∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴AB=2DC， ∴四边形 DCFE 的周长=AB+BC， ∵四边形 DCFE 的周长为 25cm，AC 的长 5cm， ∴BC=25﹣AB， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=（25﹣AB）2+52， 解得，AB=13cm. 3．（2018·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别是边 BC， AB 上的中点，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=2DF，连接 CE、AF． （1）证明：AF=CE； （2）当∠B=30°时，试判断四边形 ACEF 的形状并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 ACEF 是菱形，理由见解析. 【详解】 试题解析：（1）∵点 D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE， ∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形 ACEF 是平行四边形，∴AF=CE； （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形；理由如下： ∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC= AB=AE，∴△AEC 是等边三角形，∴AC=CE， 又∵四边形 ACEF 是平行四边形，∴四边形 ACEF 是菱形． 考查题型四 平行四边形与全等三角形综合问题 1．（2019·广西中考模拟）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接 AF、BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 详解：证明： ㈲ ܧ ൌ ， ܧൌ ， 在 和 ൌܧ 中， ൌ ܧ ܧൌ ， ≌ ൌܧ㈲ ； ㈲ 解：如图所示： 由 ㈲ 知 ≌ ൌܧ ， ൌܧ ， 䁥䁥ൌ ， ൌ ， 四边形 ABDF 是平行四边形． 2．（2019·江苏中考模拟）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交 BE 于 O．求证：AD 与 BE 互相平分． 【答案】证明见解析. 【解析】 如图，连接 BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ABC DEF BC EF ACB DFE      ＝ ＝ ＝ ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AD 与 BE 互相平分． 3．（2018·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 BD 上的点，∠1=∠2. 求证：（1）BE=DF；（2）AF∥CE. 【答案】证明见解析 【详解】 （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠5=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠4， 在△ABE 和△CDF 中， 4 { 3 5 AEB AB CD        ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF； （2）由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵∠1=∠2， ∴AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴AF∥CE． 知识点二 三角形中位线 三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何描述： ∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE∥BC,DE= BC 【考查题型汇总】 考查题型五 利用三角形中位线进行计算 1．（2019·甘肃中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3， 那么菱形 ABCD 的周长为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【详解】∵E 是 AC 中点， ∵EF∥BC，交 AB 于点 F， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形 ABCD 的周长是 4×6=24， 故选 A． 2．（2018·江苏中考模拟）如图，在梯形 ABCD 中， / /AB CD ，中位线 EF 与对角线 ,AC BD 交于 ,M N 两 点，若 18EF  cm, 8MN  cm，则 AB 的长等于( ) A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm 【答案】D 【解析】 ∵EF 是梯形的中位线， ∴EF∥CD∥AB． ∴AM=CM，BN=DN． ∴EM 是△ACD 的中位线，NF 是△BCD 的中位线， ∴EM= 1 2 CD，NF= 1 2 CD． ∴EM=NF= 18 8 2 2 EF MN  =5，即 CD=10． ∵EF 是梯形 ABCD 的中位线， ∴DC+AB=2EF，即 10+AB=2×18=36． ∴AB=26． 故选 D． 3．（2019·贵州中考模拟）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延 长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】 ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴ AF AB GF GD  =2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG 为△EAB 的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选 D． 4．（2018·四川中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，若 BC=2，则 EF 的长度为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 2 D． 3 【答案】B 【详解】 ∠ACB=90°，∠A=30°， BC= 1 2 AB. BC=2, AB=2BC=2 2=4, D 是 AB 的中点, CD= 1 2 AB= 1 2  4=2.  E,F 分别为 AC,AD 的中点, EF 是△ACD 的中位线. EF= 1 2 CD= 1 2  2=1. 故答案选 B. 考查题型六 利用三角形的中位线证明线段平行 1．（2014·北京中考模拟）如图，△ABC 中，BC >AC，点 D 在 BC 上，且 CA=CD，∠ACB 的平分线交 AD 于点 F，E 是 AB 的中点． （1）求证：EF∥BD ； （2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形 BDFE 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）∵ CA=CD，CF 平分∠ACB，∴ CF 是 AD 边的中线． ∵ E 是 AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线． ∴ EF∥BD . （2）∵∠ACB=60°，CA=CD，∴△CAD 是等边三角形． ∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4． 如图，过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M ． ∴ ܯ sin ． ܯ ． ∵ EF∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且 ܧൌ ． ∴ ܧൌ ．∴ ܧൌ ． 四边形 BDFE 的面积= ܧൌ ． 2．（2015·广东中考真题）（7 分）补充完整三角形中位线定理，并加以证明： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ； （2）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，求证：DE∥BC，DE= BC． 【答案】（1）平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）证明见试题解析． 【解析】 （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； （2）如图，延长 DE 到 F，使 FE=DE，连接 CF，在△ADE 和△CFE 中，∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF， ∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四边形 BCFD 是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC，DE= BC． 考查题型七 利用三角形中位线证明和差倍分 1．（2013·内蒙古中考真题）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一 个动点，连接 DE，交 AC 于点 F． （1）如图①，当 时，求 的值； （2）如图②当 DE 平分∠CDB 时，求证：AF= OA； （3）如图③，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG= BG． 【答案】解：（1）∵ CE 1 EB 3  ，∴ CE 1 BC 4  ． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AD=BC．∴△CEF∽△ADF． ∴ EF CE DF AD  ．∴ EF CE 1 DF BC 4   ．∴ CEF CDF S EF 1 S DF 4     ． （2）证明：∵DE 平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF． 又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD． 又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD．∴AD=AF． 在 Rt△AOD 中，根据勾股定理得： 2 2AD OA OD 2OA   ，∴AF= 2 OA． （3）证明：连接 OE， ∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点， ∴点 O 是 BD 的中点． 又∵点 E 是 BC 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE∥CD，OE= 1 2 CD．∴△OFE∽△CFD． ∴ GF EF 1 CD ED 3   ．∴ CG 1 BG 2  ． 又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD．∴△EGF∽△ECD．∴ GF CG 1 CD BC 3   ． 在 Rt△FGC 中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF． 又∵CD=BC，∴ ．∴ ．∴CG= 1 2 BG． 知识点三 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 几何描述：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴， 矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的面积公式： 面积=长×宽 【考查题型汇总】 考查题型八 利用矩形有关性质解题 1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 1C 、 1D 处.若 1C BA 50   ，则 ABE 的度数为 ( ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 【答案】B 【详解】 设∠ABE=x， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x， 所以 50°+x+x=90°， 解得 x=20°． 故选：B 2．（2018·甘肃中考真题）如图，矩形 ABCD 中，AB 3 ， BC 4 ，EB/ /DF且 BE 与 DF 之间的距离为 3，则 AE 的长是 ( ) A． 7 B． 3 8 C． 7 8 D． 5 8 【答案】C 【详解】 如图所示：过点 D 作 DG BE ，垂足为 G，则 GD 3 ， A G  ， AEB GED  ， AB GD 3  ， AEB ≌ GED ， AE EG  ， 设 AE EG x  ，则 ED 4 x  ， 在 Rt DEG 中， 2 2 2ED GE GD  ， 2 2 2x 3 (4 x)   ，解得： 7x 8  ， 故选 C． 3．（2018·新疆中考真题）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】D 【解析】 解：∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形 ABEB1 是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC-BE=8-6=2cm． 故选：D． 4．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB＝ 1 3 S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ） A． 29 B． 34 C．5 2 D． 41 【答案】D 【解析】 解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h．∵S△PAB= 1 3 S 矩形 ABCD，∴ 1 2 AB•h= 1 3 AB•AD，∴h= 2 3 AD=2，∴动点 P 在 与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 就是所求的最短距离． 在 Rt△ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= 2 2AB AE = 2 25 4 = 41 ，即 PA+PB 的最小值为 41 ．故 选 D． 5．（2019·浙江中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【解析】 试题分析：∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=30°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°． 故选 B． 考查题型九 矩形的判定方法 1．（2019·湖南中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O．过点 C 作 BD 的平行线， 过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E． （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）若 CE=1，DE=2，ABCD 的面积是 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 OCED 是平行四边形， 又∠COD=90°， ∴平行四边形 OCED 是矩形； （2）由（1）知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2， ∴菱形 ABCD 的面积为： 1 2 AC•BD= 1 2 ×4×2=4， 故答案为 4． 2．（2019·湖北中考模拟）如图，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线 交 BE 的延长线于 F，且 AF=CD，连接 CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若 AB=AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 ADCF 是矩形，证明见解析. 【详解】（1）∵E 是 AD 的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）连接 DF， ∵AF∥CD，AF=CD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四边形 ABDF 是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四边形 ADCF 是矩形． 3．（2019·山东中考模拟）在□ABCD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF＝BE，连接 AF， BF. （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF 平分∠DAB． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形 BFDE 是矩形； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在 Rt△BCF 中，由勾股定理，得 BC= 2 2FC FB = 2 23 4 =5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即 AF 平分∠DAB． 考查题型十 矩形性质与全等三角形综合 1．（2019·湖北中考模拟）如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，F 是 AB 上的一点，EF⊥EC，且 EF ＝EC． （1）求证：△AEF≌△DCE． （2）若 DE＝4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）6cm. 【解析】 （1）证明：∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 在 Rt△AEF 和 Rt△DEC 中， ∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC． ∴△AEF≌△DCE． （2）解：∵△AEF≌△DCE． AE=CD． AD=AE+4． ∵矩形 ABCD 的周长为 32cm， ∴2（AE+AE+4）=32． 解得，AE=6（cm）． 答：AE 的长为 6cm． 2．（2019·西安交通大学附属中学中考模拟）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，PM⊥AB， PN⊥BC，垂足分别为点 M，N，求证：DP＝MN． 【答案】见解析 【详解】 证明：如图，连结 PB． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°． ∵在△CBP 和△CDP 中， ， ∴△CBP≌△CDP（SAS）． ∴DP＝BP． ∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90° ∴四边形 BNPM 是矩形． ∴BP＝MN． ∴DP＝MN． 3．（2017·江苏中考模拟）如图，在□ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AC、CE、AF． （1）求证△ABF ≌ △CDE； （2）若 AB＝AC，求证四边形 AFCE 是矩形． 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 （1）、∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB＝CD,AD＝BC，∠B＝∠D． ∵ E、F 分别是 AD、BC 的中点， ∴ DE＝AE＝ AD， BF＝CF＝ BC．∴ BF＝DE，CF＝AE． ∴ △ABF≌△CDE(SAS)． （2）∵△ABF≌△CDE(SAS)， ∴ AF＝CE． 又∵CF＝AE， ∴四边形 AFCE 是平行四边形． ∵AB＝AC, F 分别是 BC 的中点， ∴AF⊥BC． 即∠AFC＝90°． ∴四边形 AFCE 是矩形． 知识点四 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： 1、 菱形具有平行四边形的所有性质； 2、菱形的四条边都相等； 几何描述：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 几何描述：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD,AC 平分∠BAD, CA 平分∠BCD，BD 平分∠CBA，DB 平分∠ADC 3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对 角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。 菱形的判定： 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 A 3、一组邻边相等的平行四边形。 菱形的面积公式：菱形 ABCD 的对角线是 AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝ 1 2 AC BD  【考查题型汇总】 考查题型十一 利用菱形的性质解题 1．（2018·新疆中考真题）如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（ ） A． 1 2 B．1 C． 2 D．2 【答案】B 【详解】 解：如图 ， 作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即 MP+NP 的最小值为 1， 故选 B． 2．（2019·广西中考模拟）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=5，AC=6，则 BD 的 长是（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【解析】 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：OB＝ 2 2AB OA ＝ 2 25 3 ＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故选 A． 3．（2019·山东中考模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（ ） A． 3 B．2 C． 2 3 D．4 【答案】A 【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， 又∵O 是菱形对角线 AC、BD 的交点， ∴AC⊥BD， 在 Rt△AOD 中， ∴AO= 2 2 16 4 2 3AD OD    ， ∴AC=2AO=4 3 ， ∴S△ACD= 1 2 OD·AC= 1 2 ×2×4 3 =4 3 ， 又∵O、E 分别是中点， ∴OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴ 1 2 OE AD  ， ∴ 1 4 COE CAD S S   ， ∴S△COE= 1 4 S△CAD= 1 4 ×4 3 = 3 ， 故选 A. 4．（2018·江苏中考真题）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】A 【解析】 由菱形对角线性质知，AO= 1 2 AC=3，BO= 1 2 BD=4，且 AO⊥BO， 则 AB= 2 2AO BO =5， 故这个菱形的周长 L=4AB=20． 故选 A． 5．（2018·广东中考模拟）如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60°，则花坛对角线 AC 的长等于（ ） A．6 米 B．6 米 C．3 米 D．3 米 【答案】A 【解析】 因为菱形周长为 24 米，所以边长为 6 米，因为 d ，所以∠BAO=30°，∴OA= 米,∴AC= 米. 故选 A. 考查题型十二 菱形的面积计算 1．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中， 13AB  ，对角线 10AC  ，若过点 A 作 AE BC ， 垂足为 E ，则 AE 的长为（ ） A．8 B． 60 13 C． 120 13 D． 240 13 【答案】C 【详解】 连接 BD 交 AC 于 O， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OA= 1 2 AC= 1 2 ×10=5， ∵AB=13=BC， 由勾股定瑆得：OB= 2 2AB OA = 2 213 5 =12， ∴BD=2OB=24， ∵AE⊥BC， ∴S 菱形 ABCD=BC•AE= 1 2 AC•BD， 13AE= 1 2 ×10×24， AE= 120 13 ， 故选 C． 2．（2015·广西中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形 ABCD 的面积是（ ） A．18 B．18 C．36 D．36 【答案】B 【解析】 试题分析：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，如图，∵在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC， ∴AE= ，∴菱形 ABCD 的面积是 = ，故选 B． 3．（2019·江苏中考模拟）如图，菱形 ABCD 中 60ABC   ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，点 E 是 AB 中点，且 4AC  ，则 BOE 的面积为（ ） A． 3 B． 2 3 C．3 3 D．2 【答案】A 【详解】 ∵菱形 ABCD 中∠ABC=60°， ∴AB=BC，OA=OC， ∴△ABC 是等边三角形， ∵AC=4， ∴OA=2，OB=2 3 ， ∴△ABC 的面积= 1 2 AC•OB＝ 1 2 ×4×2 3 ＝4 3 ， ∵点 E 是 AB 中点，OA=OC， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴△BOE 的面积= 1 4 △ABC 的面积= 1 4 ×4 3 ＝ 3 ， 故选：A． 4．（2018·广东中考模拟）一个菱形的两条对角线的长分别为 5 和 8，那么这个菱形的面积是 ( ) A．40 B．20 C．10 D．25 【答案】B 【解析】 根据菱形的面积=对角线之积的一半，可知菱形的面积为 5×8÷2=20. 故选 B. 5．（2011·湖北中考真题）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（ ） A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2 【答案】B 【详解】 解：设菱形的对角线分别为 8x 和 6x， 已知菱形的周长为 20cm，故菱形的边长为 5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得 x=1， 故菱形的对角线分别为 8cm 和 6cm， 所以菱形的面积= 1 2 ×8×6=24cm2， 故选 B． 考查题型十三 菱形的判定 1．（2019·山东中考模拟）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE=DF． （1）求证：▱ABCD 是菱形； （2）若 AB=5，AC=6，求▱ABCD 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）S 平行四边形 ABCD =24 【详解】 （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形； （2）连接 BD 交 AC 于 O， ∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC= 1 2 AC= 1 2 ×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO= 2 2AB AO = 2 25 3 =4， ∴BD=2BO=8， ∴S 平行四边形 ABCD= 1 2 ×AC×BD=24． 2．（2018·北京中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，AB DC ，AB AD ，对角线 AC ，BD 交于点O ， AC 平分 BAD ，过点C 作CE AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 5AB  ， 2BD  ，求 OE 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 （1）证明：∵ AB ∥ CD ， ∴ CAB ACD   ∵ AC 平分 BAD ∴ CAB CAD   ， ∴ CAD ACD   ∴ AD CD 又∵ AD AB ∴ AB CD 又∵ AB ∥ CD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 又∵ AB AD ∴ ABCD 是菱形 （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 、 BD 交于点 O ． ∴ AC BD ． 1 2OA OC AC  ， 1 2OB OD BD  ， ∴ 1 12OB BD  ． 在 Rt AOB 中， 90AOB   ． ∴ 2 2 2OA AB OB   ． ∵CE AB ， ∴ 90AEC  ． 在 Rt AEC 中， 90AEC  ．O 为 AC 中点． ∴ 1 22OE AC OA   ． 考查题型十四 菱形的性质与判定综合 1.（2019·北京中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，BD 的垂直平分线分别交 AB、CD、BD 于 E、F、O，连 接 DE、BF． （1）求证：四边形 BEDF 是菱形； （2）若 AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形 DEBF 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）20cm2． 【详解】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF 在△BOE 和△DOF 中， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO＝FO，且 OB＝OD ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∵EF 垂直平分 BD ∴BE＝DE ∴四边形 BEDF 是菱形 （2）∵四边形 BEDF 是菱形 ∴BE＝DE， 在 Rt△ADE 中，DE2＝AE2+DA2， ∴BE2＝（8﹣BE）2+16， ∴BE＝5 ∴四边形 DEBF 的面积＝BE×AD＝20cm2． 2．（2018·云南中考模拟）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形 OCED 是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形 OCED 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 ． 【详解】  1 证明： CE / /OD ， DE / /OC ， 四边形 OCED 是平行四边形， 矩形 ABCD， AC BD  ， 1OC AC2  ， 1OD BD2  ， OC OD  ， 四边形 OCED 是菱形；  2 在矩形 ABCD 中， ABC 90  ， BAC 30   ， AC 4 ， BC 2  ， AB DC 2 3   ， 连接 OE，交 CD 于点 F， 四边形 OCED 为菱形， F 为 CD 中点， O 为 BD 中点， 1OF BC 12    ， OE 2OF 2   ， OCED 1 1S OE CD 2 2 3 2 32 2        菱形 ． 知识点五 正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 正方形的性质： 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 正方形的判定： 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长= 对角线×对角线 【考查题型汇总】 考查题型十五 利用正方形性质解题 1．（2019·江苏中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE=3 5 ，且 ∠ECF=45°，则 CF 长为（ ） A．2 10 B．3 5 C． 5 10 3 D．10 5 3 【答案】A 【详解】 解：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 CG、EF ∵四边形 ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG （SAS） ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE ∴∠GCF=45° 在△GCF 与△ECF 中 ∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF ∴△GCF≌△ECF（SAS） ∴GF=EF ∵CE= ，CB=6 ∴BE= 2 2CE CB = 2 2(3 5) 6 =3 ∴AE=3，设 AF=x，则 DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x ∴EF= 2 2AE x = 29 x ∴ 2 2(9 ) 9x x   ∴x=4，即 AF=4 ∴GF=5 ∴DF=2 ∴CF= 2 2CD DF = 2 26 2 = 故选 A． 2．（2018·甘肃中考真题）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 到△ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，则 AE 的长为（ ） A．5 B． 23 C．7 D． 29 【答案】D 【详解】 ∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置， ∴四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE 中， 2 2 29,AE AD DE   故选 D． 3．（2019·福建厦门双十中学思明分校中考模拟）如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC， BE 相交于点 F，则∠BFC 为（ ） A．75° B．60° C．55° D．45° 【答案】B 【详解】 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝ 1 2 （180°﹣150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°； 故选：B． 4．（2018·湖北中考真题）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点， EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ） A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】B 【解析】 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等， ∴S 阴= 1 2 S 正方形 ABCD= 1 2 ， 故选：B． 5．（2019·河南中考模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方 形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落 在 y 轴正半轴上点 D′处，则点 C 的对应点 C′的坐标为 A．（ 3 ，1） B．（2，1） C．（2， 3 ） D．（1， 3 ） 【答案】C 【详解】 解：∵AD′=AD=2， AO= 1 2 AB=1， OD′= 2 2AD O 3A   ， ∵C′D′=2，C′D′∥AB， ∴C′（2， 3 ）， 故选 D． 考查题型十六 正方形的判定 1．（2018·浙江中考真题）如图，等边 AEF 的顶点 E ，F 在矩形 ABCD 的边 BC ，CD 上，且 45CEF   . 求证：矩形 ABCD 是正方形. 【答案】证明见解析. 【解答】∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ 90B D C       ， ∵ AEF 是等边三角形， ∴ AE AF ， 60AEF AFE     ， 又 45CEF   ， ∴ 45CFE CEF     ， ∴ 180 45 60 75AFD AEB          ， ∴ AEB ≌  AFD AAS ， ∴ AB AD ， ∴矩形 ABCD 是正方形. 2．（2019·湖南中考模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED， 点 G 是 BC，AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F． （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）当 AE＝3EF，DF＝1 时，求 GF 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 10 【详解】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵∠BAE＝∠BCE， ∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE， 即∠DAE＝∠DCE， 在△AED 和△CED 中， DAE DCE AED CED DE DE         ， ∴△AED≌△CED（AAS）， ∴AD＝CD， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴四边形 ABCD 是正方形； （2）在正方形 ABCD 中，AB∥CD， ∴△AEB∽△FED， ∴ AB AE DF EF  ， ∵AE＝3EF，DF＝1， ∴AB＝3DF＝3， ∴CD＝AD＝AB＝3， ∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2， ∵AD∥CG， ∴△ADF∽△GCF， ∴ 1 2 AD DF CG CF   ， ∴CG＝2AD＝6， 在 Rt△CFG 中，GF＝ 2 2 222 6 2 10CF CG    ． 考查题型十七 正方形性质与判定的综合 1．（2018·贵州中考真题）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AE＜BE）， 且∠EOF=90°，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN． （1）求证：OM=ON． （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长． 【答案】（1）见解析；（2）MN =2 10 ． 【详解】 （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°， ∴∠OAM=∠OBN=135°， ∵∠EOF=90°，∠AOB=90°， ∴∠AOM=∠BON， ∴△OAM≌△OBN（ASA）， ∴OM=ON； （2）如图，过点 O 作 OH⊥AD 于点 H， ∵正方形的边长为 4， ∴OH=HA=2， ∵E 为 OM 的中点， ∴HM=4， 则 OM= 2 22 4 =2 5 ， ∴MN= 2 OM=2 10 ． 2．（2018·甘肃中考真题）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE， CE 的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积． 【答案】见解析（2） 21 2 a 【详解】 （1）连接 EF，∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点， ∴FH∥BE，FH= 1 2 BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF， ∴△BGF≌△FHC， （2）当四边形 EGFH 是正方形时，连接 GH，可得：EF⊥GH 且 EF=GH， ∵在△BEC 中，点 G，H 分别是 BE，CE 的中点， ∴ 1 1 1 ,2 2 2GH BC AD a   且 GH∥BC， ∴EF⊥BC， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH= 1 2 a， ∴矩形 ABCD 的面积= 21 1 .2 2AB AD a a a    3．（2018·贵州中考模拟）如图，点 E 是正方形 ABCD 外一点，点 F 是线段 AE 上一点，△EBF 是等腰直角 三角形，其中∠EBF=90°，连接 CE、CF． （1）求证：△ABF≌△CBE； （2）判断△CEF 的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）△CEF 是直角三角形 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB，∠ABC=90°， ∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°， ∴BE=BF， ∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF， ∴∠ABF=∠CBE． 在△ABF 和△CBE 中，有 ൌ ܧ ൌ ܧ ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）． （2）△CEF 是直角三角形．理由如下： ∵△EBF 是等腰直角三角形， ∴∠BFE=∠FEB=45°， ∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°， 又∵△ABF≌△CBE， ∴∠CEB=∠AFB=135°， ∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°， ∴△CEF 是直角三角形． 知识点六 梯形 梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角 梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 . 等腰梯形性质： 1）等腰梯形的两底平行，两腰相等； 2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等； 3）等腰梯形的两条对角线相等； 4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。 等腰梯形判定： 1）两腰相等的梯形是等腰梯形； 2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 梯形的面积公式：面积= ×（上底+下底）×高 解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： 1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中； 2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中； 3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形； 4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且 这个三角形面积与原来的梯形面积相等. 5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。 6）过上底中点平移两腰。 【考查题型汇总】 考查题型十八 利用梯形的性质解题 1．（2009·辽宁中考真题）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB =60°，AB =AD= 2cm， 则梯形 ABCD 的周长为 ( ) A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【解析】 解：由 AD∥BC，AE∥DC，易得四边形 ADCE 是平行四边形，所以 AE=2cm．再由∠AEB=60°，可得△ABE 是等边三角形，所以 BE=2cm，所以梯形 ABCD 的周长为 10cm．故选 C． 2．（2012·湖北中考真题）．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 M 是 AD 的中点，且 MB=MC，若 AD=4， AB=6，BC=8，则梯形 ABCD 的周长为（ ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【解析】 解：∵AD∥BC， ∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB， 又∵MC=MB， ∴∠MBC=∠MCB， ∴∠AMB=∠DMC， 在△AMB 和△DMC 中， ∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC ∴△AMB≌△DMC， ∴AB=DC， 四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=24． 故选 B． 3．（2013·上海中考真题）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 和 BD 交于点 O，下列条件中，能判断 梯形 ABCD 是等腰梯形的是（ ） A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC 【答案】C 【解析】 试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断： A.由∠BDC =∠BCD 只能判断△BCD 是等腰三角形，而不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形； B.由∠ABC =∠DAB 和 AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形 ABCD 是等腰 梯形； C.由∠ADB =∠DAC，可得 AO=OD，由 AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，所以 OB=OC，因此 AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形 ABCD 是等腰梯形； D.由∠AOB =∠BOC 只能判断梯形 ABCD 的对角线互相垂直，而不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形。 故选 C。 4．（2012·河北中考模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD 的 大小是 ( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】 ∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°， ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，又梯形 ABCD 中，AD=DC=CB，∴为等腰梯形， ∴∠BAD=∠ABC=50°，故选 C． 5．（2015·上海中考模拟）如图，已知在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， 2BC AD ，如果对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，△ AOB 、△ BOC 、△COD 、△ DOA的面积分别记作 1S 、 2S 、 3S 、 4S ，那么下列结论中， 不正确的是（ ） A． 1 3S S ； B． 2 42S S ； C． 2 12S S ； D． 1 3 2 4S S S S   ； 【答案】B 【详解】 因为在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，所以△AOD∽△COB,所以 24 2 ( )s AD s BC  ，因为 2BC AD ，所以 4 2 1 4 s s  ， 所以 2 44S S ，故选 B. 知识点七 四边形之间的区别与联系 四边形之间的从属关系 特殊四边形的性质与判定： 考查题型十八 四边形综合 1．（2018·重庆中考真题）如图，在平行四边形 ABCD 中，点O 是对角线 AC 的中点，点 E 是 BC 上一点， 且 AB AE ，连接 EO 并延长交 AD 于点 F ，过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 H ，交 AC 于点G . （1）若 3AH  ， 1HE  ，求 ABE 的面积； （2）若 45ACB   ，求证： 2DF CG . 【答案】（1） 2 7 ；（2）证明见解析 【详解】（1） AH 3 HE 1 ， ，  AB AE AH HE 4    ， 又在 Rt ABH 中， 2 2 2 2BH AB AH 4 3 7     ， ABE 1 1S AE BH 4 7 2 72 2      ； （2）过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 BG 于点 K，过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，  AMB AME BNG    =90°， ACB =45°，  MAC ACB NGC    =45° AB AE ， 1BM ME BE BAM EAM2     ， ， AE BG又 ， AHK =90°， AHK BMK 在 和 中， AHK MAE AHK    =180°， AMB NBG BKM    =180°， MAE NBG   ， BAM MAE NBG α    设 ， BAG MAC BAM 45 α       ， BGA ACB NBG 45 α      ， BAG BGA   ， AB BG  ， AE BG  ， AME BNG 在 和 中， AME BNG MAE NBG AE BG         ，  AME BNG AAS   ， ME NG  ， Rt ABE NG NC 在等腰 中， ， 2GC 2NG 2ME BE2     ， BE 2GC  ， O AC 为 的中点 ， OA OC  ， ABCD四边形 为平行四边形 ， AD BC AD BC  ， ， OAF OCE   ， AFO CEO  ，  AFO CEO AAS   ， AF CE  ， AD AF BC CE    ， DF BE即 ， DF BE 2CG   . 2．（2018·海南中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8cm，BC＝16cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动， 运动到点 A 停止，同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都是 1cm/s．连 接 PQ、AQ、CP．设点 P、Q 运动的时间为 ts． (1)当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形； (2)当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形； (3)分别求出(2)中菱形 AQCP 的周长和面积． 【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2. 【详解】 （1）当四边形 ABQP 是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t， 解得 t=8． 答：当 t=8 时，四边形 ABQP 是矩形； （2）设 t 秒后，四边形 AQCP 是菱形 当 AQ=CQ，即 2 28 t =16-t 时，四边形 AQCP 为菱形． 解得：t=6． 答：当 t=6 时，四边形 AQCP 是菱形； （3）当 t=6 时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm， 面积为：10×8=80（cm2）．