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  • 2021-11-10 发布

大兴安岭地区2020年中考数学试题及答案

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第 1页(共 30页) 大兴安岭地区 2020 年中考数学试题及答案 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)2020 的倒数是( ) A.2020 B.﹣2020 C. D. 2.(3 分)下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.(3 分)下列计算正确的是( ) A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2 C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a•2a2=2a2 4.(3 分)一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”, 掷小正方体后,观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( ) A. B. C. D. 5.(3 分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的 速度小于下山的速度.在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是( ) A. B. C. D. 6.(3 分)数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习,并将全班同学的 第 2页(共 30页) 答题情况绘制成条形统计图.由图可知,全班同学答对题数的众数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 7.(3 分)若关于 x 的分式方程 = +5 的解为正数,则 m 的取值范围为( ) A.m<﹣10 B.m≤﹣10 C.m≥﹣10 且 m≠﹣6 D.m>﹣10 且 m≠﹣6 8.(3 分)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支 2 元,百合每支 3 元.小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 9.(3 分)有两个直角三角形纸板,一个含 45°角,另一个含 30°角,如图 ① 所示叠放, 先将含 30°角的纸板固定不动,再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转,使 BC∥DE, 如图 ② 所示,则旋转角∠BAD 的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 10.(3 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x =l,结合图象给出下列结论: ① ac<0; ② 4a﹣2b+c>0; ③ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大; ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有( ) 第 3页(共 30页) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 3 分,满分 21 分) 11.(3 分)2020 年初新冠肺炎疫情发生以来,近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线.将数据 4000000 用科学记数法表示为 . 12.(3 分)在函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 . 13.(3 分)如图,已知在△ABD 和△ABC 中,∠DAB=∠CAB,点 A、B、E 在同一条直线 上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可) 14.(3 分)如图是一个几何体的三视图,依据图中给出的数据,计算出这个几何体的侧面 积是 . 第 4页(共 30页) 15.(3 分)等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4,则这个等腰三角形的周长是 . 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上,点 C 坐标为(2, ﹣2),并且 AO:BO=1:2,点 D 在函数 y= (x>0)的图象上,则 k 的值为 . 17.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点 A1(0,2)变 换到点 A2(6,0),得到等腰直角三角形 ② ;第二次滚动后点 A2 变换到点 A3(6,0), 得到等腰直角三角形 ③ ;第三次滚动后点 A3 变换到点 A4(10,4 ),得到等腰直角三 角形 ④ ;第四次滚动后点 A4 变换到点 A5(10+12 ,0),得到等腰直角三角形 ⑤ ;依 此规律…,则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 . 第 5页(共 30页) 三、解答题(本题共 7 道大题,共 69 分) 18.(10 分)(1)计算:sin30°+ ﹣(3﹣ )0+|﹣ | (2)因式分解:3a2﹣48 19.(5 分)解方程:x2﹣5x+6=0 20.(8 分)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C、D 为 ⊙ O 上的两个点, = = ,连接 AD, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是 ⊙ O 的切线. (2)若直径 AB=6,求 AD 的长. 21.(10 分)新冠肺炎疫情期间,某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们 的志愿服务时间进行统计,整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题: (1)本次被抽取的教职工共有 名; (2)表中 a= ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °; (4)若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 第 6页(共 30页) 工大约有多少人? 志愿服务时间(小时) 频数 A 0<x≤30 a B 30<x≤60 10 C 60<x≤90 16 D 90<x≤120 20 22.(10 分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出 发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km,在行驶过程中乙车速 度始终保持 80km/h,甲车先以一定速度行驶了 500km,用时 5h,然后再以乙车的速度行 驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y(km) 与所用时间 x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h 到达绥芬河; (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式, 不用写出自变量 x 的取值范围; (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h 时,甲、 乙两车第一次相距 40km. 第 7页(共 30页) 23.(12 分)综合与实践 在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步 发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验. 实践发现: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠纸片, 使点 A 落在 EF 上的点 N 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展平,连接 AN, 如图 ① . (1)折痕 BM (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图中△ABN 是什么特殊三角形?答: ;进一步计算出∠MNE= °; (2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG, 把纸片展平,如图 ② ,则∠GBN= °; 拓展延伸: (3)如图 ③ ,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处,并且折痕交 BC 边 于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平,连接 AA'交 ST 于点 O,连接 AT. 求证:四边形 SATA'是菱形. 解决问题: (4)如图 ④ ,矩形纸片 ABCD 中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处,并且折痕交 AB 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平.同学们小组讨论后, 得出线段 AT 的长度有 4,5,7,9. 第 8页(共 30页) 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 . 24.(14 分)综合与探究 在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A(﹣4,0),点 M 为抛物线的顶点, 点 B 在 y 轴上,且 OA=OB,直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2,6),如图 ① . (1)求抛物线的解析式; (2)直线 AB 的函数解析式为 ,点 M 的坐标为 ,cos∠ABO= ; 连接 OC,若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P,将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 点 P 的坐标为 ; (3)在 y 轴上找一点 Q,使得△AMQ 的周长最小.具体作法如图 ② ,作点 A 关于 y 轴 的对称点 A',连接 MA'交 y 轴于点 Q,连接 AM、AQ,此时△AMQ 的周长最小.请求出 点 Q 的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点 N,使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 第 9页(共 30页) 第 10页(共 30页) 2020 年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)2020 的倒数是( ) A.2020 B.﹣2020 C. D. 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案. 【解答】解:2020 的倒数是 , 故选:C. 【点评】此题主要考查了倒数,关键是掌握倒数定义. 2.(3 分)下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意; B、不是轴对称图形,故本选项不合题意; C、不是轴对称图形,故本选项不合题意; D、是轴对称图形,故本选项符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 折叠后可重合. 3.(3 分)下列计算正确的是( ) A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2 C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a•2a2=2a2 【分析】分别根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法 则逐一计算可得. 第 11页(共 30页) 【解答】解:A.a+2a=(1+2)a=3a,此选项计算正确; B.(a+b)2=a2+2ab+b2,此选项计算错误; C.(﹣2a)2=4a2,此选项计算错误; D.a•2a2=2a3,此选项计算错误; 故选:A. 【点评】本题主要考查整式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类项法则、完全平方 公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法则. 4.(3 分)一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”, 掷小正方体后,观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( ) A. B. C. D. 【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得. 【解答】解:∵掷小正方体后共有 6 种等可能结果,其中朝上一面的数字出现偶数的有 2、 4、6 这 3 种可能, ∴朝上一面的数字出现偶数的概率是 = , 故选:A. 【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数. 5.(3 分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的 速度小于下山的速度.在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是( ) A. B. C. D. 第 12页(共 30页) 【分析】根据题意进行判断,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,可以排除 A 和 C, 又匀速下山,上山的速度小于下山的速度,排除 D,进而可以判断. 【解答】解:因为登山过程可知: 先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的速度小于下山的速度. 所以在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是 B. 故选:B. 【点评】本题考查了函数的图象,解决本题的关键是利用数形结合思想. 6.(3 分)数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习,并将全班同学的 答题情况绘制成条形统计图.由图可知,全班同学答对题数的众数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【分析】根据统计图中的数据,可知做对 9 道的学生最多,从而可以得到全班同学答对 题数的众数,本题得以解决. 【解答】解:由条形统计图可得, 全班同学答对题数的众数为 9, 故选:C. 【点评】本题考查条形统计图、众数,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思 想解答. 7.(3 分)若关于 x 的分式方程 = +5 的解为正数,则 m 的取值范围为( ) A.m<﹣10 B.m≤﹣10 C.m≥﹣10 且 m≠﹣6 D.m>﹣10 且 m≠﹣6 【分析】分式方程去分母化为整式方程,表示出方程的解,由分式方程的解为正数求出 m 的范围即可. 【解答】解:去分母得:3x=﹣m+5(x﹣2), 解得:x= , 第 13页(共 30页) 由方程的解为正数,得到 m+10>0,且 m+10≠4, 则 m 的范围为 m>﹣10 且 m≠﹣6, 故选:D. 【点评】此题考查了分式方程的解,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本 题的关键. 8.(3 分)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支 2 元,百合每支 3 元.小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 【分析】设可以购买 x 支康乃馨,y 支百合,根据总价=单价×数量,即可得出关于 x, y 的二元一次方程,结合 x,y 均为正整数即可得出小明有 4 种购买方案. 【解答】解:设可以购买 x 支康乃馨,y 支百合, 依题意,得:2x+3y=30, ∴y=10﹣ x. ∵x,y 均为正整数, ∴ , , , , ∴小明有 4 种购买方案. 故选:B. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解 题的关键. 9.(3 分)有两个直角三角形纸板,一个含 45°角,另一个含 30°角,如图 ① 所示叠放, 先将含 30°角的纸板固定不动,再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转,使 BC∥DE, 如图 ② 所示,则旋转角∠BAD 的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 第 14页(共 30页) 【分析】由平行线的性质可得∠CFA=∠D=90°,由外角的性质可求∠BAD 的度数. 【解答】解:如图,设 AD 与 BC 交于点 F, ∵BC∥DE, ∴∠CFA=∠D=90°, ∵∠CFA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD, ∴∠BAD=30° 故选:B. 【点评】本题考查了旋转的性质,平行线的性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的 关键. 10.(3 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x =l,结合图象给出下列结论: ① ac<0; ② 4a﹣2b+c>0; ③ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大; ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与 x 轴 y 轴的交点, 第 15页(共 30页) 综合判断即可. 【解答】解:抛物线开口向上,因此 a>0,与 y 轴交于负半轴,因此 c<0,故 ac<0, 所以 ① 正确; 抛物线对称轴为 x=1,与 x 轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是 有 4a﹣2b+c=0,所以 ② 不正确; x>1 时,y 随 x 的增大而增大,所以 ③ 正确; 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的 实数根,所以 ④ 正确; 综上所述,正确的结论有: ①③④ , 故选:C. 【点评】本题考查二次函数的图象和性质,掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正 确判断的前提. 二、填空题(每小题 3 分,满分 21 分) 11.(3 分)2020 年初新冠肺炎疫情发生以来,近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线.将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106 . 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同.当原数绝对值大于 10 时,n 是正数;当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数. 【解答】解:将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106, 故答案为:4×106. 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 12.(3 分)在函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2 . 【分析】当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.当表达式的分母中含有 自变量时,自变量取值要使分母不为零. 【解答】解:由题可得, , 解得 , ∴自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2, 故答案为:x≥﹣3 且 x≠2. 第 16页(共 30页) 【点评】本题主要考查了自变量 x 的取值范围,自变量的取值范围必须使含有自变量的 表达式都有意义. 13.(3 分)如图,已知在△ABD 和△ABC 中,∠DAB=∠CAB,点 A、B、E 在同一条直线 上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 AD=AC(∠D=∠C 或∠ABD= ∠ABC 等) .(只填一个即可) 【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件. 【解答】解:∵∠DAB=∠CAB,AB=AB, ∴当添加 AD=AC 时,可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC; 当添加∠D=∠C 时,可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC; 当添加∠ABD=∠ABC 时,可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC. 故答案为 AD=AC(∠D=∠C 或∠ABD=∠ABC 等). 【点评】本题考查了全等三角形的判定:熟练掌握全等三角形的 5 种判定方法,选用哪 一种方法,取决于题目中的已知条件. 14.(3 分)如图是一个几何体的三视图,依据图中给出的数据,计算出这个几何体的侧面 积是 65 π . 第 17页(共 30页) 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥,根据图中给定数据求出母线 l 的长 度,再套用侧面积公式即可得出结论. 【解答】解:由三视图可知,原几何体为圆锥, S 侧= •2 π r•l= ×2 π ×5×13=65 π . 故答案为:65 π . 【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理,由几何体的三视 图可得出原几何体为圆锥是解题的关键. 15.(3 分)等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4,则这个等腰三角形的周长是 10 或 11 . 【分析】分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可. 【解答】解: ① 3 是腰长时,三角形的三边分别为 3、3、4, ∵此时能组成三角形, ∴周长=3+3+4=10; ② 3 是底边长时,三角形的三边分别为 3、4、4, 此时能组成三角形, 所以周长=3+4+4=11. 综上所述,这个等腰三角形的周长是 10 或 11. 故答案为:10 或 11. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于要分情况讨论. 第 18页(共 30页) 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上,点 C 坐标为(2, ﹣2),并且 AO:BO=1:2,点 D 在函数 y= (x>0)的图象上,则 k 的值为 2 . 【分析】先根据 C 的坐标求得矩形 OBCE 的面积,再利用 AO:BO=1:2,即可求得矩 形 AOED 的面积,根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 k. 【解答】解:如图,∵点 C 坐标为(2,﹣2), ∴矩形 OBCE 的面积=2×2=4, ∵AO:BO=1:2, ∴矩形 AOED 的面积=2, ∵点 D 在函数 y= (x>0)的图象上, ∴k=2, 故答案为 2. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数 y= (k 为常数,k ≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值 k,即 xy=k.也考查 了矩形的性质. 17.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点 A1(0,2)变 换到点 A2(6,0),得到等腰直角三角形 ② ;第二次滚动后点 A2 变换到点 A3(6,0), 得到等腰直角三角形 ③ ;第三次滚动后点 A3 变换到点 A4(10,4 ),得到等腰直角三 第 19页(共 30页) 角形 ④ ;第四次滚动后点 A4 变换到点 A5(10+12 ,0),得到等腰直角三角形 ⑤ ;依 此规律…,则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020 . 【分析】根据 A1(0,2)确定第 1 个等腰直角三角形(即等腰直角三角形 ① )的面积, 根据 A2(6,0)确定第 1 个等腰直角三角形(即等腰直角三角形 ② )的面积,…,同理, 确定规律可得结论. 【解答】解:∵点 A1(0,2), ∴第 1 个等腰直角三角形的面积= =2, ∵A2(6,0), ∴第 2 个等腰直角三角形的边长为 =2 , ∴第 2 个等腰直角三角形的面积= =4=22, ∵A4(10,4 ), ∴第 3 个等腰直角三角形的边长为 10﹣6=4, ∴第 3 个等腰直角三角形的面积= =8=23, … 则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020; 故答案为:22020(形式可以不同,正确即得分). 【点评】本题考查的是勾股定理,等腰直角三角形的性质和面积,确定各个等腰直角三 角形的边长是本题的关键. 三、解答题(本题共 7 道大题,共 69 分) 18.(10 分)(1)计算:sin30°+ ﹣(3﹣ )0+|﹣ | (2)因式分解:3a2﹣48 【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化 第 20页(共 30页) 简得出答案; (2)直接提取公因式 3,再利用公式法分解因式进而得出答案. 【解答】解:(1)sin30°+ ﹣(3﹣ )0+|﹣ | = +4﹣1+ =4; (2)3a2﹣48 =3(a2﹣16) =3(a+4)(a﹣4). 【点评】此题主要考查了实数运算以及提取公因式法、公式法分解因式,正确运用公式 分解因式是解题关键. 19.(5 分)解方程:x2﹣5x+6=0 【分析】利用因式分解法求解可得. 【解答】解:∵x2﹣5x+6=0, ∴(x﹣2)(x﹣3)=0, 则 x﹣2=0 或 x﹣3=0, 解得 x1=2,x2=3. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键. 20.(8 分)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C、D 为 ⊙ O 上的两个点, = = ,连接 AD, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是 ⊙ O 的切线. (2)若直径 AB=6,求 AD 的长. 第 21页(共 30页) 【分析】(1)连接 OD,根据已知条件得到∠BOD= 180°=60°,根据等腰三角形 的性质得到∠ADO=∠DAB=30°,得到∠EDA=60°,求得 OD⊥DE,于是得到结论; (2)连接 BD,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,解直角三角形即可得到结论. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵ = = , ∴∠BOD= 180°=60°, ∵ = , ∴∠EAD=∠DAB= BOD=30°, ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠DAB=30°, ∵DE⊥AC, ∴∠E=90°, ∴∠EAD+∠EDA=90°, ∴∠EDA=60°, ∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°, ∴OD⊥DE, ∴DE 是 ⊙ O 的切线; (2)解:连接 BD, ∵AB 为 ⊙ O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∵∠DAB=30°,AB=6, 第 22页(共 30页) ∴BD= AB=3, ∴AD= =3 . 【点评】本题考查了切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,正确的作出辅助线是 解题的关键. 21.(10 分)新冠肺炎疫情期间,某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们 的志愿服务时间进行统计,整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题: (1)本次被抽取的教职工共有 50 名; (2)表中 a= 4 ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 32 %; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为 144 °; (4)若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 工大约有多少人? 志愿服务时间(小时) 频数 A 0<x≤30 a B 30<x≤60 10 C 60<x≤90 16 D 90<x≤120 20 第 23页(共 30页) 【分析】(1)利用 B 部分的人数÷B 部分人数所占百分比即可算出本次被抽取的教职工 人数; (2)a=被抽取的教职工总数﹣B 部分的人数﹣C 部分的人数﹣D 部分的人数,扇形统计 图中“C”部分所占百分比=C 部分的人数÷被抽取的教职工总数; (3)D 部分所对应的扇形的圆心角的度数=360°×D 部分人数所占百分比; (4)利用样本估计总体的方法,用 30000×被抽取的教职工总数中志愿服务时间多于 60 小时的教职工人数所占百分比. 【解答】解:(1)本次被抽取的教职工共有:10÷20%=50(名), 故答案为:50; (2)a=50﹣10﹣16﹣20=4, 扇形统计图中“C”部分所占百分比为: ×100%=32%, 故答案为:4,32; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为:360× =144°. 故答案为:144; (4)30000× =216000(人). 答:志愿服务时间多于 60 小时的教职工大约有 216000 人. 【点评】此题主要考查了扇形统计图、频数(率)分布表,以及样本估计总体,关键是 正确从扇形统计图和表格中得到所用信息. 22.(10 分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出 发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km,在行驶过程中乙车速 第 24页(共 30页) 度始终保持 80km/h,甲车先以一定速度行驶了 500km,用时 5h,然后再以乙车的速度行 驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y(km) 与所用时间 x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)甲车改变速度前的速度是 100 km/h,乙车行驶 10 h 到达绥芬河; (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式, 不用写出自变量 x 的取值范围; (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 100 km;出发 2 h 时,甲、乙 两车第一次相距 40km. 【分析】(1)结合图象,根据“速度=路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度; 根据“时间=路程÷速度”即可得出乙车行驶的时间; (2)根据题意求出甲车到达绥芬河的时间,再根据待定系数法解答即可; (3)根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程;根 据“路程差=速度差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距 40km 行驶的时间. 【解答】解:(1)甲车改变速度前的速度为:500 出 5=100(km/h),乙车达绥芬河是时 间为:800÷80=10(h), 故答案为:100;10; (2)∵乙车速度为 80km/h, ∴甲车到达绥芬河的时间为: , 第 25页(共 30页) 甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为:y=kx+b(k≠0), 将(5,500)和( ,800)代入得: , 解得 , ∴y=80x+100, 答:甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式为 y=80x+100( ); (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程为:800﹣80× =100(km), 40÷(100﹣80)=2(h), 即出发 2h 时,甲、乙两车第一次相距 40km. 故答案为:100;2. 【点评】本题考查一次函数的应用,利用待定系数法求一次函数的解析式,运用数形结 合的方法是解答本题的关键. 23.(12 分)综合与实践 在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步 发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验. 实践发现: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠纸片, 使点 A 落在 EF 上的点 N 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展平,连接 AN, 如图 ① . (1)折痕 BM 是 (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图中△ABN 是什么特殊三角形?答: 等边三角形 ;进一步计算出∠MNE= 60 °; (2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG, 把纸片展平,如图 ② ,则∠GBN= 15 °; 拓展延伸: (3)如图 ③ ,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处,并且折痕交 BC 边 于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平,连接 AA'交 ST 于点 O,连接 AT. 第 26页(共 30页) 求证:四边形 SATA'是菱形. 解决问题: (4)如图 ④ ,矩形纸片 ABCD 中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处,并且折痕交 AB 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平.同学们小组讨论后, 得出线段 AT 的长度有 4,5,7,9. 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 7,9 . 【分析】(1)由折叠的性质可得 AN=BN,AE=BE,∠NEA=90°,BM 垂直平分 AN, ∠BAM=∠BNM=90°,可证△ABN 是等边三角形,由等边三角形的性质和直角三角形 的性质可求解; (2)由折叠的性质可得∠ABG=∠HBG=45°,可求解; (3)由折叠的性质可得 AO=A'O,AA'⊥ST,由“AAS”可证△ASO≌△A'TO,可得 SO =TO,由菱形的判定可证四边形 SATA'是菱形; (4)先求出 AT 的范围,即可求解. 【解答】解:(1)如图 ① ∵对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合, ∴EF 垂直平分 AB, ∴AN=BN,AE=BE,∠NEA=90°, ∵再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上的点 N 处, ∴BM 垂直平分 AN,∠BAM=∠BNM=90°, ∴AB=BN, ∴AB=AN=BN, 第 27页(共 30页) ∴△ABN 是等边三角形, ∴∠EBN=60°, ∴∠ENB=30°, ∴∠MNE=60°, 故答案为:是,等边三角形,60; (2)∵折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处, ∴∠ABG=∠HBG=45°, ∴∠GBN=∠ABN﹣∠ABG=15°, 故答案为:15°; (3)∵折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处, ∴ST 垂直平分 AA', ∴AO=A'O,AA'⊥ST, ∵AD∥BC, ∴∠SAO=∠TA'O,∠ASO=∠A'TO, ∴△ASO≌△A'TO(AAS) ∴SO=TO, ∴四边形 ASA'T 是平行四边形, 又∵AA'⊥ST, ∴边形 SATA'是菱形; (4)∵折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处, ∴AT=A'T, 在 Rt△A'TB 中,A'T>BT, ∴AT>10﹣AT, ∴AT>5, ∵点 T 在 AB 上, ∴当点 T 与点 B 重合时,AT 有最大值为 10, ∴5<AT≤10, ∴正确的数值为 7,9, 故答案为:7,9. 【点评】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,菱形的判定,全等三角形的判定和 第 28页(共 30页) 性质,旋转的性质,等边三角形的判定和性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是本 题的关键. 24.(14 分)综合与探究 在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A(﹣4,0),点 M 为抛物线的顶点, 点 B 在 y 轴上,且 OA=OB,直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2,6),如图 ① . (1)求抛物线的解析式; (2)直线 AB 的函数解析式为 y=x+4 ,点 M 的坐标为 (﹣2,﹣2) ,cos∠ABO = ; 连接 OC,若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P,将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 点 P 的坐标为 (﹣2,2)或(0,4) ; (3)在 y 轴上找一点 Q,使得△AMQ 的周长最小.具体作法如图 ② ,作点 A 关于 y 轴 的对称点 A',连接 MA'交 y 轴于点 Q,连接 AM、AQ,此时△AMQ 的周长最小.请求出 点 Q 的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点 N,使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解; (2)点 A(﹣4,0),OB=OA=4,故点 B(0,4),即可求出 AB 的表达式;OP 将△ AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 AP= AC 或 AC,即可求解; (3)△AMQ 的周长=AM+AQ+MQ=AM+A′M 最小,即可求解; (4)分 AC 是边、AC 是对角线两种情况,分别求解即可. 第 29页(共 30页) 【解答】解:(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得: ,解得 , 故直线 AB 的表达式为:y= x2+2x; (2)点 A(﹣4,0),OB=OA=4,故点 B(0,4), 由点 A、B 的坐标得,直线 AB 的表达式为:y=x+4; 则∠ABO=45°,故 cos∠ABO= ; 对于 y= x2+2x,函数的对称轴为 x=﹣2,故点 M(﹣2,﹣2); OP 将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 AP= AC 或 AC, 则 ,即 ,解得:yP=2 或 4, 故点 P(﹣2,2)或(0,4); 故答案为:y=x+4;(﹣2,﹣2); ;(﹣2,2)或(0,4); (3)△AMQ 的周长=AM+AQ+MQ=AM+A′M 最小, 点 A′(4,0), 设直线 A′M 的表达式为:y=kx+b,则 ,解得 , 故直线 A′M 的表达式为:y= x﹣ , 令 x=0,则 y=﹣ ,故点 Q(0,﹣ ); (4)存在,理由: 设点 N(m,n),而点 A、C、O 的坐标分别为(﹣4,0)、(2,6)、(0,0), ① 当 AC 是边时, 点 A 向右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 C,同样点 O(N)右平移 6 个单位向上 平移 6 个单位得到点 N(O), 第 30页(共 30页) 即 0±6=m,0±6=n,解得:m=n=±6, 故点 N(6,6)或(﹣6,﹣6); ② 当 AC 是对角线时, 由中点公式得:﹣4+2=m+0,6+0=n+0, 解得:m=﹣2,n=6, 故点 N(﹣2,6); 综上,点 N 的坐标为(6,6)或(﹣6,﹣6)或(﹣2,6). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、 图形的平移、面积的计算等,其中(4),要注意分类求解,避免遗漏. 声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布 日期:2020/7/22 16:27:50 ;用户: 智翰文化;邮 箱:zhwh998@xyh.com ;学号:37494973