北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1正方形的性质与判定 17页

第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？ 正方形的定义 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到 一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 1 活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形 框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形 正方形的性质探究和证明 A B C D 填一填： 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 轴对称图形（4条对称轴）. 定理： 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 2 已知：如右图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于 点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 请同学们动手完成以上证明？ 提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题. 想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形 菱形正方形 平行四边形 归纳：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特 殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都 有. 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等，都是90° 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（4条对称轴） 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延 长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. A B D C F E 正方形性质定理的应用3 例1 A B D F E ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. C M 如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相 交于点O , MN∥AB ,且分别与OA , OB相交于点M , N. 求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN. A B CD O M N 证明：（1）∵MN∥AB. ∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = 45°. ∴OM = ON. ∵OA= OB, ∴OA- OM = OB - ON,即AM=BN. 又∵∠2=∠NBC,AB=BC. ∴△ABM ≌△BCN(SAS) ∴BM=CN. 1 2 3 4 例2 A B CD O M N (2)延长CN交线段MB于点Q. ∵△ABM≌△BCN. ∴∠6=∠8. ∵∠OCB =∠ABO =45°. ∴∠5=∠7. 又∵∠ONC=∠QNB. ∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB, ∠CON =∠NQB = 90°. ∴BM⊥CN. Q 5 7 6 8 1．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则 ∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第1题 第2题 45° 3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边 △ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数. D A E BC 解：∵△ABE是等边三角形. ∴AB =AE=BE, ∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°. 又∵四边形ABCD是正方形. ∴AD=BC=AE=BE, ∠DAB=∠ABC=90°. ∴∠DAE=∠CBE=150°. ∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°. ∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°. 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形