北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1菱形的判定 21页

第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 学习目标 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形的性质：1. 轴对称图形. 2. 四边相等. 3. 对角线互相垂直平分. A B C D 动手做一做 思考：剪下来的是什么图形？ 菱形的判定定理 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱 形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行 四边形是菱形? 1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互 逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱 形,对角线垂直的平行四边形是菱形. 2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱 形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与 “邻边相等的平行四边形是菱形”一样. 3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何? 猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 猜想2:四边相等的四边形是菱形. 通过探究，容易得到： 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形. 活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉， 做成一个可转动的十字架，四周围上橡皮筋，做成一个四边 形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么 时候变成菱形？ 平行四边形 菱形 A B C O D 已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ,AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC， ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ★定理运用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形, 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形) A B C O D √ 判断： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。 （ ） × × × √ 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次 连接A、B、C、D,四边形ABCD 看上去是菱形. 活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ 2 1 CA B D 思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 提示：AB = BC=CD =AD 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形. ★定理的运用格式 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形). A B C D 证明：在△AOB中, ∵AB= , OA=2,OB=1, ∴AB2=AO2+OB2, ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角, ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 5 A B C O D 5 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. 例1 2 A C B E D F 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. 例2 四 条 边 都 相 等 菱形 一 组 邻 边 相 等 对 角 线 互 相 垂 直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （　） A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD A B C O D C 2.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱 形： 添加方式1： . 添加方式2： . A B C O D AB=BC AC⊥BD 3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C DE F O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥FC. ∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC, ∴AO = OC . ∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE是菱形. 4.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱 形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗? A C B D 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 定义 定理