初三数学上册基础知识讲解练习 一元二次方程根与系数的关系 5页

一元二次方程根与系数的关系 【知识点总结】 一、韦达定理 如果 2 0( 0)ax bx c a    的两根是 1x ， 2x ，则 12 bxx a   ， 12 cxx a ．（隐含的条件： 0 ）[来源:学科网] 特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设 1x ， 2x 是方程 2 0x p x q   的两个根，则 12x x p   ， 12x x q． 二、韦达定理的逆定理 以两个数 ， 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 2 1212()0xxxxxx ． 一般地，如果有两个数 ， 满足 ， ，那么 ， 必定是 的 两个根．[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 三、韦达定理与根的符号关系 在 2 4b a c   ≥ 0 的条件下，我们有如下结论： ⑴当 0c a  时，方程的两根必一正一负．若 0b a ≥ ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 0b a， 则此方程的正根小于负根的绝对值． ⑵当 0c a  时，方程的两根同正或同负．若 0b a，则此方程的两根均为正根；若 0b a，则此方程 的两根均为负根． 更一般的结论是： 若 1x ， 2x 是 2 0(0)axbxca 的两根（其中 12xx ），且 m 为实数，当 0 时，一般地： ① 121()()0xmxmxm ， 2xm ② 12()()0xmxm 且 12()()0xmxm 1xm， 2xm ③ 12( )( ) 0x m x m   且 12( ) ( ) 0x m x m    1xm， 2xm 特殊地：当 0m  时，上述就转化为 2 0( 0)ax bx c a    有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论： ⑴若有理系数一元二次方程有一根 ab ，则必有一根 ab （ a ， b 为有理数）． ⑵若 0ac  ，则方程 2 0( 0)ax bx c a    必有实数根． ⑶若 0ac  ，方程 2 0(0)axbxca 不一定有实数根． ⑷若 0abc   ，则 2 0( 0)ax bx c a    必有一根 1x  ． ⑸若 0a b c   ，则 2 0( 0)ax bx c a    必有一根 1x  ． 四、韦达定理的应用 ⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程； ⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征； ⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的  ．一些考试中，往往利用这一 点设置陷阱． 概念：一元二 次方程根与系数的关系:如果方程 )0(02  acbxax 的 两个实数根是 21 xx ， ，那么 a bxx  21 ， a cxx 21 。 【例题精讲】 1、若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A．﹣2 B．2 C． 4 D． ﹣3*&出版@网#~] 考点： 根与系数的关系． 分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出 a 的值和另一根． 解答： 解：设一元二次方程的另一根为 x1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3， 解得：x1=﹣2． 故选 A． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 2、设 x1，x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根，则 x12+x22 的值是（ ） A． 19 B． 25 C． 31 D． 30 考点： 根与系数的关系． 分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 x1 与 x2 的和与积，所求的代数式可以用两根的和 与积表示出来，即可求解． 解答： 解：∵x1，x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根，[来源%:&中*^~教网] ∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31． 故选：C． 点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解 题方法． 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=﹣2，x2=4，则 m+n 的值是（ ） A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． 2 考点： 根与系数的关系．. 分析： 根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可． 解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=﹣2，x2=4， ∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n， 解得：m=﹣2，n=﹣8， ∴m+n=﹣10， 故选 A． 点评： 本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣ 2×4=n 是解此题的关键． 4、已知方程 2x2+4x﹣3=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1+x2 的值等于 ． 考点： 根与系数的关系．. 分析： 根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可． 解答： 解：∵方程 2x2+4x﹣3=0 的两根分别为 x1 和 x2， ∴x1+x2=﹣ =﹣2， 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相 反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键． 5、若矩形的长和宽是方程 2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为 ． 考点： 根与系数的关系；矩形的性质． 分析： 设矩形的长和宽分别为 x、y，由矩形的长和宽是方程 2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，根据 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到 x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的 周长． 解答： 解：设矩形的长和宽分别为 x、y， 根据题意得 x+y=8； 所以矩形的周长=2（x+y）=16． 故答案为：16． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．也考查了矩形的性质． 6、一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若 c 是整数，则 c= 4 ．（只需 填一个）． 考点： 根的判别式；根与系数的关系．. 分析： 根据判别式的意义得到△ =（﹣5）2﹣4c＞0，解不等式得 c＜ ，进一步根据根与系数的关系得到 x1+x2=5，x1x2=c＞0，然后在此范围内找出最大整数即可． 解答： 解：∵一元二次方程 x2﹣5x+c=0 有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得 c＜ ， ∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c 是整数，[来源:学§科§网 Z§X§X§K] ∴c=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△ =b2﹣4ac：当△ ＞0，方程有两个不 相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0，方程没有实数根． 7、关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+1=0 有两个不等实根 x1，x2． （1）求实数 k 的取值范围． （2）若方程两实根 x1，x2 满足|x1|+|x2|=x1•x2，求 k 的值． 考点： 根的判别式；根与系数的关系． 分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△ =（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0， 求出 k 的取值范围； （2）首先判断出两根均小于 0，然后去掉绝对值，进而得到 2k+1=k2+1，结合 k 的取值范围解方程即可． 解答： 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0， 解得：k＞ ； （2）∵k＞ ，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0， 又∵x1•x2=k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1， ∵|x1|+|x2|=x1•x2， ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0，k2=2， 又∵k＞ ，∴k=2． 点评： 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△ =b2﹣4ac ＞0 求出 k 的取值范围，此题难度不大．c&%*#om] 8、已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m2﹣2m=0 有一个实数根为﹣1，求 m 的值及方程的另一实根． 考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．. 分析： 把 x=﹣1 代入已知方程列出关于 m 的新方程，通过解该方程来求 m 的值；然后结合 根与系数的关系来求方程的另一根． 解答： 解：设方程的另一根为 x2，则 ﹣1+x2=﹣1， 解得 x2=0． 把 x=﹣1 代入 x2+x+m2﹣2m=0，得 （﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即 m（m﹣2）=0， 解得 m1=0，m2=2． 综上所述，m 的值是 0 或 2，方程的另一实根是 0． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就 是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成 立． [来源:学§科§网]