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- 2021-11-10 发布
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第三章 函数
二次函数
中考数学复习冲刺专项训练精讲
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),利用配
方法可以表示为____________________,它的图象是抛物线,
顶点坐标是____________________,对称轴是直线__________.
一、考点知识
2.抛物线y=2x2-4x-1的开口__________,当x>1时,y随x的
增大而增大;当x<1时,y随x的增大而________.在顶点处,函
数值最________(大或小).
抛物线y=-3x2-6x+1的开口________,当________时,y随x
的增大而增大;当________时,y随x的增大而________.在顶
点处,函数值最________(大或小).
向上
小
减小
向下 x<-1
x>-1
大
减小
2 24
2 4
b ac by a x a a
24,2 4
b ac b
a a
2
bx a
3.二次函数y=a(x-h)2+k (a,h,k为常数,
a≠0),顶点坐标是________,对称轴是直线
__________.
二次函数y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),与x轴的交点坐
标是________________________,对称轴是直线
____________.
(h,k)
x=h
(x1,0)(x2,0)
1 2
2
x xx
【例1】已知二次函数的图象经过A(-2,-5),
B(1,4),C(2,3)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求该函数的图象与x轴的交点和顶点坐标;
(3)画出函数的图象.
【考点1】求二次函数解析式,二次函数的图象与
性质
二、例题与变式
解:(1)y=-x2+2x+3
(2)与x轴的交点为(3,0),(-1,0),
顶点为(1,4)
(3)略
【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M(-1,-2)
且过点N(0,-1.5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)x取什么值时,y随x的增大而减小;
(3)x取什么值时,该函数的图象在x轴上方;
(4)写出原抛物线向下平移1个单位长度,向右平移2个单
位长度后的函数解析式.
解:(1)
(2)x<-1
(3)x<-3或x>1
(4)
21 1 22y x
21 1 32y x
【考点2】求二次函数解析式,坐标系下的面积
【例2】已知抛物线的顶点P(3,-3)且在x轴上所
截得的线段AB的长为6.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积等于12,若
存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)
(2)存在.坐标Q点为( ,4)或( ,4)
1 63y x x
3 21 3 21
【变式2】二次函数y=x2-mx+n的图象与x轴交
于A,B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为
(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方
的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当点P运动到什么位置时,△BPC的面积最大?求出
此时P点的坐标和△BPC的最大面积.
解:(1)y=x2-2x-3
(2)当 时,有最大面积为 .3 15,2 4P
27
8
【考点3】二次函数与方程
【例3】函数y=x2+kx+k-1(k为常数).
(1)求证:对任意实数k,函数图象与x轴都有交点;
(2)证明对任意实数k,抛物线y=x2+kx+k-1都必
定经过唯一定点,并求出定点坐标.
解:(1)△=k2-4(k-1)=k2-4k+4=(k-2)2≥0,
所以对任意实数k,函数图象与x轴都有交点.
(2)y=x2+kx+k-1=k(x+1)+x2-1,
若过定点则与k的取值无关,由x+1=0得x=-1,
当x=-1时,y=1-k+k-1=0.
所以定点为(-1,0).
【变式3】已知P(1,m)和Q(3,m)是抛物线
y=x2+bx+c上的两点,且该抛物线与x轴交于A,
B两点,
(1)求b的值;
(2)求c的取值范围;
(3)若线段AB=4,求该抛物线的解析式.
解:(1)-4
(2)c<4
(3)|xA-xB|=4,则(xA+xB)2-4xAxB=16.
所以42-4c=16.所以c=0,得y=x2-4x.
A组
1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
三、过关训练
2.如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a (a是常数,且a≠0)在
同一平面直角坐标系的图象可能是( )
D
B
①④
3.如图,若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象的
对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、
点B(-1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;
②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④当y>0时,-1<x
<3,其中正确的是______________.
B组
4.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-4ax+3a-
2 (a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧).
(1)当抛物线过原点时,求实数a的值;
(2)①求抛物线的对称轴;
②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示);
(3)求实数a的取值范围.
解:(1)
(2)①抛物线的对称轴是直线x=2,
②顶点的纵坐标是-a-2.
(3)△=16a2-4a(3a-2)
=16a2-12a2+8a=4a2+8a>0,
得a<-2或a>0.
2
3
解:(1)y=-x2+2x+3
(2)D(1,4)
(3) 1或7
5.如图,过点A(-1,0),B(3,0)的抛物线
y=-x2+bx+c与y轴交于点C,它的对称轴与x轴
交于点E.
(1)求抛物线解析式;
(2)求抛物线顶点D的坐标;
(3)若抛物线的对称轴上存在点P使S△POB=3S△POC,求此
时DP的长.
C组
6.已知点A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1
(其中x是自变量)上.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若B点与A点关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物
线只交于一点B的直线?如果存在,求符合条件的直线解析式;
如果不存在,说明理由.
解:(1)已知点A(-1,-1)在已知抛物线上,
则(k2-1)+2(k-2)+1=-1,解得k1=1,k2=-3,
当k1=1时,函数为一次函数,不合题意,舍去
当k2=-3时,抛物线的解析式为y=8x2+10x+1,
由抛物线的解析式知其对称轴为x= .5
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