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  • 2021-11-10 发布

人教版九年级上册数学同步课件-第21章-一元二次方程复习课件

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第二十一章 一元二次方程 复习课 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念:①整式方程; ②一元; ③一次. 一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      因式分解法 根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式: Δ=b2-4ac 根与系数的关系 1 2 1 2 bx x a cx x a     一元二次方 程 的 应 用 传 播 问 题 平均变化率问题 几何图形面积问题等几 何 问 题 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取 值范围是( ) A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义,即方程中必须保证有 二次项(二次项系数不为0),因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故 选A. A 练习1: 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次项 系数是 ,常数项是 . 4 -2 0 一元二次方程的定义1 例1 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等,故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0,解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代”. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0, 则m= . 易错提示 求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程, 所以1不符合,应引起注意. -1 练习2 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值 为 .-1 一元二次方程的根的应用2 例2 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1;(a-b)2与 (a+b)2 要准确区分;(2)求三角形的周长,不能盲目地将三边 长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方; (2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根,再根据三角形的三边关 系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长. 一元二次方程的解法 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( ) A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2 ﹣13x+36=0的根,则该三角形的周长为( )  A.13 B. 15 C.18 D.13或18 A A 3 例3 练习3: 菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2- 7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 练习4: 用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0 (要求写出必要解题步骤). 1 -4 -1 .a b c,公 式 : ,法    2 4 1 .x x移 得配 法 项: ,方      22 - 4 = -4 -4 1 -1 = 2 0 0 .b a c      2 -4 2 04 2 5 .2 2 1 b b a cx a 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根        1 22 5 , 2 5 .x x    2 2 24 2 1 2 .x x配 方 , 得       22 5x   2 = 5x由 此 可 得 ,  1 22 5 , 2 5 .x x    一元二次方程的根的判别式的应用 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数 根,则m的取值范围是( ) A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04 3m   A 易错提示 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式,这 样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 知识点复习 >0 方程有两个不相等的实数根; =0 方程有两个相等的实数根; <0 方程没有实数根. Δ Δ Δ 解析 根据方程根的情况可知,此方程的根的判别式 >0,即 42-4×1×(-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4 3m   Δ 4 例4 练习5: 下列所给方程中,没有实数根的是( ) A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 练习6:(开放题)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不 相等的实数根,则m的值可能是  (写出一个即可). D 0 一元二次方程的根与系数的关系 已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2- mn+n2= .25 解析 根据根与系数的关系可知,m+n=4,mn=-3. m2-mn+n2 =m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 【重要变形】 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x   ① 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x   ② 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x    ③ 练习7: 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的 值等于( ) A. 7 B. -2 C. D. 3 2 3 2  A 5 例5 一元二次方程的应用 某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每 件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天能售出32件, 而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28 元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为 多少元? 市场销售问题 6 例6 解析 本题为销售中的利润问题,其基本本数量关系用表析分如 下:设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是:总利润=单件利润×销售量. 解:(1)32-(x-24) ×2=80-2x; (2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 128 菜农小王种植的某种蔬菜,计划以每千克5元的价格对外批 发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该种蔬菜滞销.小王为 了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元 的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少? 解:设平均每次下调的百分率是x,根据题意得 5(1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去), x2=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是20%. 平均变化率问题 例7 几何问题 如图1,在宽为20米,长为32米的矩形地面上修筑同样宽的 道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面 积为540平方米,求道路的宽. 图1 解析 本题利用图形的变换—— 平移,把零散的图形面积集中化, 再建立方程并求解. 例8 解:设道路宽为x米,由平移得到图2,则宽为(20-x)米,长为 (32-x)米,列方程得 (20-x)(32-x)=540, 整理得 x2-52x+100=0. 解得 x1=50(舍去),x2=2. 答:道路宽为2米. 图2 图1 方法归纳 解决有关面积问题时,除了对所学图形面积公式熟悉外, 还要会将不规则图形分割或组合成规则图形,并找出各部分图形面 积之间的关系,再列方程求解. (注意:这里的横坚斜小路的的宽度都相等) 平移转化 练习6: (易错题)要在一块长52米,宽48米的矩形绿地上, 修建同样宽的两条互相垂直的甬路,下面分别是小亮和小颖的 设计方案. 52 48x x图① 小亮设计的方案如图①所 示,甬面宽度均为xm,剩 下四块绿地面种共2300m2. 小颖设计的方案如图②所示, BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥ EF,AB ⊥EF, ∠1=60 °. x x G F H E A D (1 B C 图② 52 48 解:(1)根据小亮的设计方案列方程,得(52-x)(48-x)=2300. 解得x1=2,x2=98(不合题意,舍去). 答:小亮设计方案中甬路的宽度为2m; (2)在图2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别是为I,J. ∵AB ∥CD, ∴四边形ADCB是平行四边形. 由(1)得x=2, ∴AD=BC=HE=2m. 在Rt △ADI中, ∠ADC=∠1=60 °, AD=2m, ∴AI= m,同理HJ= m. ∴小颖设计方案中四块绿地的总面 积=52 ×48-2 ×52-2×48+ =2299(m2). 3 3 2( 3) x x G F H E A D (1 B C 图② 52 48 J I 一元二次 方 程 一 元 二 次 方 程 的 定 义 二次项系数是含字母系 数切记不要忽略a ≠0. 一 元 二 次 方 程 的 解 法 用自己最熟练的方法 就 是 最 好 的 方 法 . 一元二次方 程 的 应 用 传播问题,平均变化率 问题,几何面积问题, 数字问题,握手问题与 球赛问题必须熟练掌握. 1.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据 场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比 赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( ) A.x(x+1)=28 B.x(x﹣1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x﹣1)=28 2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是(  ) A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=﹣1,x2=﹣2 D.x1=﹣1,x2=2 B D 4.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方 式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的 微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之 后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知 经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n= . 3.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣ 4,则 =  .b a 4 10 5. 2014年,某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售.因为楼 盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经 过连续两年下调后,2016年的均价为每平方米3240元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,李老师准备购买 一套100平方米的住房,他持有现金10万元,可以在银行贷款20万 元,李老师的愿望能否实现(房价每平方米按照均价计算)? 解:(1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意得 4000(1-x)2=3240 解得 x1= 0.1=10%; x2=1.9(舍去); (2)购房所需资金=100 ×3240 ×(1-10%)=291600元 =29.16万元<30万元.所以李老师的愿望能实现.