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- 2021-11-10 发布
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第二十一章 一元二次方程
复习课
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念:①整式方程; ②一元; ③一次.
一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方
程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
2
24 ( 4 0)2
b b acx b aca
因式分解法
根 的 判 别 式 及
根与系数的关系
根的判别式: Δ=b2-4ac
根与系数的关系
1 2
1 2
bx x a
cx x a
一元二次方
程 的 应 用
传 播 问 题
平均变化率问题
几何图形面积问题等几 何 问 题
若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取
值范围是( )
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义,即方程中必须保证有
二次项(二次项系数不为0),因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故
选A.
A
练习1: 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次项
系数是 ,常数项是 .
4
-2 0
一元二次方程的定义1
例1
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定
会使方程左右两边相等,故只要把x=0代入就可以得到以m为
未知数的方程m2-1=0,解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的
解题方法我们称之为“有根必代”.
若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,
则m= .
易错提示 求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程,
所以1不符合,应引起注意.
-1
练习2 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值
为 .-1
一元二次方程的根的应用2
例2
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1;(a-b)2与
(a+b)2 要准确区分;(2)求三角形的周长,不能盲目地将三边
长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯
解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方;
(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根,再根据三角形的三边关
系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长.
一元二次方程的解法
(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( )
A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9
(2) (易错题)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2
﹣13x+36=0的根,则该三角形的周长为( )
A.13 B. 15 C.18 D.13或18
A
A
3
例3
练习3: 菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-
7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( )
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
A
练习4: 用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0
(要求写出必要解题步骤).
1 -4 -1 .a b c,公 式 : ,法
2 4 1 .x x移 得配 法 项: ,方
22 - 4 = -4 -4 1 -1 = 2 0 0 .b a c
2 -4 2 04 2 5 .2 2 1
b b a cx a
方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根
1 22 5 , 2 5 .x x
2 2 24 2 1 2 .x x配 方 , 得
22 5x
2 = 5x由 此 可 得 ,
1 22 5 , 2 5 .x x
一元二次方程的根的判别式的应用
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数
根,则m的取值范围是( )
A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04
3m
A
易错提示 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式,这
样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
知识点复习 >0 方程有两个不相等的实数根;
=0 方程有两个相等的实数根;
<0 方程没有实数根.
Δ
Δ
Δ
解析 根据方程根的情况可知,此方程的根的判别式 >0,即
42-4×1×(-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4
3m
Δ
4
例4
练习5: 下列所给方程中,没有实数根的是( )
A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0
练习6:(开放题)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不
相等的实数根,则m的值可能是 (写出一个即可).
D
0
一元二次方程的根与系数的关系
已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-
mn+n2= .25
解析 根据根与系数的关系可知,m+n=4,mn=-3. m2-mn+n2
=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x ①
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ② 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
③
练习7: 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的
值等于( )
A. 7 B. -2 C. D.
3
2
3
2
A
5
例5
一元二次方程的应用
某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每
件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天能售出32件,
而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为多少?
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28
元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为
多少元?
市场销售问题
6
例6
解析 本题为销售中的利润问题,其基本本数量关系用表析分如
下:设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
涨价销售
4 32
x-20 32-2(x-24) 150
其等量关系是:总利润=单件利润×销售量.
解:(1)32-(x-24) ×2=80-2x;
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
菜农小王种植的某种蔬菜,计划以每千克5元的价格对外批
发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该种蔬菜滞销.小王为
了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元
的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少?
解:设平均每次下调的百分率是x,根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去), x2=0.2=20%.
答:平均每次下调的百分率是20%.
平均变化率问题
例7
几何问题
如图1,在宽为20米,长为32米的矩形地面上修筑同样宽的
道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面
积为540平方米,求道路的宽.
图1
解析 本题利用图形的变换——
平移,把零散的图形面积集中化,
再建立方程并求解.
例8
解:设道路宽为x米,由平移得到图2,则宽为(20-x)米,长为
(32-x)米,列方程得
(20-x)(32-x)=540,
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去),x2=2.
答:道路宽为2米.
图2
图1
方法归纳 解决有关面积问题时,除了对所学图形面积公式熟悉外,
还要会将不规则图形分割或组合成规则图形,并找出各部分图形面
积之间的关系,再列方程求解.
(注意:这里的横坚斜小路的的宽度都相等)
平移转化
练习6: (易错题)要在一块长52米,宽48米的矩形绿地上,
修建同样宽的两条互相垂直的甬路,下面分别是小亮和小颖的
设计方案. 52
48x
x图①
小亮设计的方案如图①所
示,甬面宽度均为xm,剩
下四块绿地面种共2300m2.
小颖设计的方案如图②所示,
BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥
EF,AB ⊥EF, ∠1=60 °.
x
x
G
F
H
E
A D
(1
B C
图②
52
48
解:(1)根据小亮的设计方案列方程,得(52-x)(48-x)=2300.
解得x1=2,x2=98(不合题意,舍去).
答:小亮设计方案中甬路的宽度为2m;
(2)在图2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别是为I,J.
∵AB ∥CD, ∴四边形ADCB是平行四边形.
由(1)得x=2, ∴AD=BC=HE=2m.
在Rt △ADI中, ∠ADC=∠1=60 °,
AD=2m,
∴AI= m,同理HJ= m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面
积=52 ×48-2 ×52-2×48+ =2299(m2).
3 3
2( 3)
x
x
G
F
H
E
A D
(1
B C
图②
52
48
J I
一元二次
方 程
一 元 二 次 方
程 的 定 义
二次项系数是含字母系
数切记不要忽略a ≠0.
一 元 二 次 方
程 的 解 法
用自己最熟练的方法
就 是 最 好 的 方 法 .
一元二次方
程 的 应 用
传播问题,平均变化率
问题,几何面积问题,
数字问题,握手问题与
球赛问题必须熟练掌握.
1.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据
场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比
赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.x(x+1)=28 B.x(x﹣1)=28
C.x(x+1)=28 D.x(x﹣1)=28
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=﹣2
C.x1=﹣1,x2=﹣2 D.x1=﹣1,x2=2
B
D
4.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方
式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的
微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之
后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知
经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n= .
3.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣
4,则 = .b
a
4
10
5. 2014年,某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售.因为楼
盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经
过连续两年下调后,2016年的均价为每平方米3240元.
(1)求平均每年下调的百分率;
(2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,李老师准备购买
一套100平方米的住房,他持有现金10万元,可以在银行贷款20万
元,李老师的愿望能否实现(房价每平方米按照均价计算)?
解:(1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意得
4000(1-x)2=3240 解得 x1= 0.1=10%; x2=1.9(舍去);
(2)购房所需资金=100 ×3240 ×(1-10%)=291600元
=29.16万元<30万元.所以李老师的愿望能实现.