黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析共五套P151 183页

黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析（一）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．（3分）有理数﹣8的立方根为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4‎ ‎2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．60.8×104 B．6.08×105 C．0.608×106 D．6.08×107‎ ‎4．（3分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（　　）‎ A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|‎ ‎5．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（3分）下列说法中不正确的是（　　）‎ A．四边相等的四边形是菱形 ‎ B．对角线垂直的平行四边形是菱形 ‎ C．菱形的对角线互相垂直且相等 ‎ D．菱形的邻边相等 ‎7．（3分）某企业1﹣6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（　　）‎ A．1﹣6月份利润的众数是130万元 ‎ B．1﹣6月份利润的中位数是130万元 ‎ C．1﹣6月份利润的平均数是130万元 ‎ D．1﹣6月份利润的极差是40万元 ‎8．（3分）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎9．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（　　）‎ A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3‎ ‎10．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（　　）‎ A． B． C．π D．2π 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11．（3分）a5÷a3＝　 　．‎ ‎12．（3分）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝　 　．‎ ‎13．（3分）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝　 　．‎ ‎15．（3分）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为　 　．‎ ‎16．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是　 　．‎ ‎17．（3分）已知x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎18．（3分）如图，抛物线y＝x2（p＞0），点F（0，p），直线l：y＝﹣p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1‎ ‎⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、则△A1OB1的面积＝　 　．（只用a，b表示）．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（4分）计算：（2019﹣π）0+|1﹣|﹣sin60°．‎ ‎20．（4分）已知：ab＝1，b＝2a﹣1，求代数式﹣的值．‎ ‎21．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？‎ ‎22．（6分）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．‎ ‎（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；‎ ‎（2）确定C港在A港的什么方向．‎ ‎23．（7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m 名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ 组别 体重（千克）‎ 人数 A ‎37.5≤x＜42.5‎ ‎10‎ B ‎42.5≤x＜47.5‎ n C ‎47.5≤x＜52.5‎ ‎40‎ D ‎52.5≤x＜57.5‎ ‎20‎ E ‎57.5≤x＜62.5‎ ‎10‎ 请根据图表信息回答下列问题：‎ ‎（1）填空：①m＝　 　，②n＝　 　，③在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　 　度；‎ ‎（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？‎ ‎（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？‎ ‎24．（7分）如图，反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．‎ ‎（1）求一次函数的表达式；‎ ‎（2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．‎ ‎25．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．‎ ‎（1）求证：△ABM≌△CDN；‎ ‎（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．‎ ‎26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？‎ ‎27．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：EF2＝4OD•OP；‎ ‎（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．‎ ‎28．（9分）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；‎ ‎（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x 的取值范围．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．（3分）有理数﹣8的立方根为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4‎ ‎【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：有理数﹣8的立方根为．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．‎ ‎2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎3．（3分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．60.8×104 B．6.08×105 C．0.608×106 D．6.08×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：608000，这个数用科学记数法表示为6.08×105．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎4．（3分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（　　）‎ A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|‎ ‎【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．‎ ‎【解答】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，‎ A、m＞n是错误的；‎ B、﹣n＞|m|是错误的；‎ C、﹣m＞|n|是正确的；‎ D、|m|＜|n|是错误的．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．‎ ‎5．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．‎ ‎【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，‎ ‎∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．‎ ‎6．（3分）下列说法中不正确的是（　　）‎ A．四边相等的四边形是菱形 ‎ B．对角线垂直的平行四边形是菱形 ‎ C．菱形的对角线互相垂直且相等 ‎ D．菱形的邻边相等 ‎【分析】由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．‎ ‎【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；‎ B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；‎ C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；‎ D．菱形的邻边相等；正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．‎ ‎7．（3分）某企业1﹣6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（　　）‎ A．1﹣6月份利润的众数是130万元 ‎ B．1﹣6月份利润的中位数是130万元 ‎ C．1﹣6月份利润的平均数是130万元 ‎ D．1﹣6月份利润的极差是40万元 ‎【分析】先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．‎ ‎【解答】解：A、1﹣6月份利润的众数是120万元；故本选项错误；‎ B、1﹣6月份利润的中位数是125万元，故本选项错误；‎ C、1﹣6月份利润的平均数是（110+120+130+120+140+150）＝‎ 万元，故本选项错误；‎ D、1﹣6月份利润的极差是150﹣110＝40万元，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了折线统计图的运用，中位数和众数等知识，正确的区分它们的定义是解决问题的关键．‎ ‎8．（3分）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM＝∠ABC、∠ECM＝∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠EBM＝∠ABC，‎ ‎∵CE是外角∠ACM的平分线，‎ ‎∴∠ECM＝∠ACM，‎ 则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．‎ ‎9．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（　　）‎ A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3‎ ‎【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可．‎ ‎【解答】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，‎ 其体积为：32π×4+×32π×3＝45πm3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大．‎ ‎10．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【分析】根据中心对称的性质得到CC1＝2AC＝2×AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，‎ ‎∴CC1＝2AC＝2×AB＝2，‎ ‎∴线段CD扫过的面积＝×（）2•π﹣×π＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11．（3分）a5÷a3＝　a2　．‎ ‎【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．‎ ‎【解答】解：a5÷a3＝a2．‎ 故答案为：a2‎ ‎【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减．‎ ‎12．（3分）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝　（ab﹣1）（a+b）　．‎ ‎【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．‎ ‎【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）‎ 故答案为：（ab﹣1）（a+b）‎ ‎【点评】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．‎ ‎13．（3分）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是　　．‎ ‎【分析】先求出袋子中球的总个数及确定白球的个数，再根据概率公式解答即可．‎ ‎【解答】解：袋子中球的总数为8+5+5+2＝20，而白球有8个，‎ 则从中任摸一球，恰为白球的概率为＝．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．‎ ‎14．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝　3　．‎ ‎【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，‎ ‎∴点G为△ABC的重心，‎ ‎∴AG＝2DG＝2，‎ ‎∴AD＝AG+DG＝2+1＝3．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．‎ ‎15．（3分）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为　3n+2　．‎ ‎【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 图①中棋子的个数为：3+2＝5，‎ 图②中棋子的个数为：5+3＝8，‎ 图③中棋子的个数为：7+4＝11，‎ ‎……‎ 则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，‎ 故答案为：3n+2．‎ ‎【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．‎ ‎16．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是　1　．‎ ‎【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2即可求解．‎ ‎【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，‎ 四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，‎ 则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．‎ ‎17．（3分）已知x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，则实数a的取值范围是　a≤﹣1　．‎ ‎【分析】根据x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．‎ ‎【解答】解：∵x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，‎ ‎∴4a﹣3a﹣1＜0，‎ 解得：a＜1，‎ ‎∵x＝2不是这个不等式的解，‎ ‎∴2a﹣3a﹣1≥0，‎ 解得：a≤﹣1，‎ ‎∴a≤﹣1，‎ 故答案为：a≤﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．‎ ‎18．（3分）如图，抛物线y＝x2（p＞0），点F（0，p），直线l：y＝﹣p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1‎ ‎⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O．若A1F＝a，B1F＝b、则△A1OB1的面积＝　　．（只用a，b表示）．‎ ‎【分析】利用AA1⊥l，BB1⊥l可得AA1∥BB1，证明∠AFA1+∠BFB1＝90°，确定△∠A1FB1是直角三角形，则可求△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；‎ ‎【解答】解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，‎ ‎∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，‎ ‎∵AA1⊥l，BB1⊥l，‎ ‎∴AA1∥BB1，‎ ‎∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，‎ ‎∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣∠BFB1＝180°，‎ ‎∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，‎ ‎∴∠A1FB1＝90°，‎ ‎∴△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；‎ 故答案为ab．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质；能够通过垂直与平行得到△∠A1FB1是直角三角形是解题的关键．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（4分）计算：（2019﹣π）0+|1﹣|﹣sin60°．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝1+﹣1﹣‎ ‎＝．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎20．（4分）已知：ab＝1，b＝2a﹣1，求代数式﹣的值．‎ ‎【分析】根据ab＝1，b＝2a﹣1，可以求得b﹣2a的值，从而可以求得所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵ab＝1，b＝2a﹣1，‎ ‎∴b﹣2a＝﹣1，‎ ‎∴﹣‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝﹣1．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．‎ ‎21．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？‎ ‎【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器．‎ 根据题意得：＝，‎ 解得：x＝150．‎ 经检验知，x＝150是原方程的根．‎ 答：该工厂原来平均每天生产150台机器．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．‎ ‎22．（6分）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．‎ ‎（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；‎ ‎（2）确定C港在A港的什么方向．‎ ‎【分析】（1）由题意得∠ABC＝90°，由勾股定理，从而得出AC的长；‎ ‎（2）由∠CAM＝60°﹣45°＝15°，则C点在A点北偏东15°的方向上．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，‎ ‎∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，‎ ‎∴∠ABQ＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝90°．‎ ‎∵AB＝BC＝10，‎ ‎∴AC＝＝10≈14.1．‎ 答：A、C两地之间的距离为14.1km．‎ ‎（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠CAM＝60°﹣45°＝15°，‎ ‎∴C港在A港北偏东15°的方向上．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．‎ ‎23．（7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ 组别 体重（千克）‎ 人数 A ‎37.5≤x＜42.5‎ ‎10‎ B ‎42.5≤x＜47.5‎ n C ‎47.5≤x＜52.5‎ ‎40‎ D ‎52.5≤x＜57.5‎ ‎20‎ E ‎57.5≤x＜62.5‎ ‎10‎ 请根据图表信息回答下列问题：‎ ‎（1）填空：①m＝　100　，②n＝　20　，③在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　144　度；‎ ‎（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？‎ ‎（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？‎ ‎【分析】（1）①m＝20÷20%＝100，②n＝100﹣10﹣40﹣20﹣10＝20，③c＝＝144°；‎ ‎（2）被抽取同学的平均体重为：（40×10+45×20+50×40+55×20+60×10）＝50（千克）；‎ ‎（3）七年级学生体重低于47.5千克的学生1000×30%＝300（人）．‎ ‎【解答】解：（1）①m＝20÷20%＝100，‎ ‎②n＝100﹣10﹣40﹣20﹣10＝20，‎ ‎③c＝＝144°；‎ 故答案为100，20，144‎ ‎（2）被抽取同学的平均体重为：‎ ‎（40×10+45×20+50×40+55×20+60×10）＝50（千克）．‎ 答：被抽取同学的平均体重为50千克．‎ ‎（3）1000×30%＝300（人）．‎ 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．‎ ‎【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎24．（7分）如图，反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．‎ ‎（1）求一次函数的表达式；‎ ‎（2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）把A（m，2m）代入y＝，求得A的坐标为（1，2），然后代入一次函数y＝kx﹣1中即可得出其解析式；‎ ‎（2）联立方程求得交点B的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（m，2m）在反比例函数图象上，‎ ‎∴2m＝，‎ ‎∴m＝1，‎ ‎∴A（1，2）．‎ 又∵A（1，2）在一次函数y＝kx﹣1的图象上，‎ ‎∴2＝k﹣1，即k＝3，‎ ‎∴一次函数的表达式为：y＝3x﹣1．‎ ‎（2）由解得或，‎ ‎∴B（﹣，﹣3）‎ ‎∴由图象知满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞1．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．‎ ‎25．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．‎ ‎（1）求证：△ABM≌△CDN；‎ ‎（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．‎ ‎【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；‎ ‎（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠MAB＝∠NCD．‎ 在△ABM和△CDN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△CDN（SAS）；‎ ‎（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．‎ 在△AEO和△CFO中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEO≌△CFO（AAS），‎ ‎∴EO＝FO，AO＝CO，‎ ‎∴O为EF、AC中点．‎ ‎∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，‎ ‎∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，‎ ‎∴AG的长为1或4．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？‎ ‎【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；‎ ‎（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．‎ ‎【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．‎ 又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．‎ ‎（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．‎ 当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．‎ ‎27．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：EF2＝4OD•OP；‎ ‎（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．‎ ‎【分析】（1）先判断出PA＝PC，得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2＝OP•OD，进而得出EF2＝OP•OD，即可得出结论；‎ ‎（3）在Rt△ADF中，设AD＝2a，得出DF＝3a．OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4，最后用勾股定理得出OD2+AD2＝AO2，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明∵D是弦AC中点，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴PD是AC的中垂线，‎ ‎∴PA＝PC，‎ ‎∴∠PAC＝∠PCA．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAB+∠CBA＝90°．‎ 又∵∠PCA＝∠ABC，‎ ‎∴∠PCA+∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，‎ ‎∴Rt△AOD∽Rt△POA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OA2＝OP•OD．‎ 又OA＝EF，‎ ‎∴EF2＝OP•OD，即EF2＝4OP•OD．‎ ‎（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝2a，则DF＝3a．‎ OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．‎ ‎∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，‎ ‎∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．‎ ‎【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt△AOD∽Rt△POA是解本题的关键．‎ ‎28．（9分）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；‎ ‎（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴，即可求解；‎ ‎（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），新图象与直线y＝t恒有四个交点，则0＜t＜9，由解得：x＝2，即可求解；‎ ‎（3）分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣4x﹣5；‎ ‎（2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，‎ 则x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），其顶点为（2，9）．‎ ‎∵新图象与直线y＝t恒有四个交点，∴0＜t＜9，‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2）．‎ 由解得：x＝2，‎ ‎∵以EF为直径的圆过点Q（2，1），‎ ‎∴EF＝2|t﹣1|＝x2﹣x1，‎ 即2＝2|t﹣1|，解得t＝，‎ 又∵0＜t＜9，‎ ‎∴t的值为；‎ ‎（3）①当m、n在函数对称轴左侧时，‎ m≤n≤2，‎ 由题意得：x＝m时，y≤7，x＝n时，y≥m，‎ 即：，‎ 解得：﹣2≤x；‎ ‎②当m、n在对称轴两侧时，‎ x＝2时，y的最小值为﹣9，不合题意；‎ ‎③当m、n在对称轴右侧时，‎ 同理可得：≤x≤6；‎ 故x的取值范围是：﹣2≤x或≤x≤6．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．‎ 黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析（二）‎ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B． C．3 D．±3‎ ‎2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下列计算不正确的是（　　）‎ A．±＝±3 B．2ab+3ba＝5ab ‎ C．（﹣1）0＝1 D．（3ab2）2＝6a2b4‎ ‎4．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 ‎5．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．40° D．50°‎ ‎6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎7．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．（3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（　　）‎ A．27 B．23 C．22 D．18‎ ‎10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②3a+c＞0；‎ ‎③当x＜0时，y随x的增大而增大；‎ ‎④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；‎ ‎⑤＜0；‎ ‎⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　 　（只填一个即可）．‎ ‎13．（3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为　 　cm．‎ ‎14．（3分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a 的取值范围为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为　 　．‎ ‎16．（3分）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝　 　．‎ 三、解答题（共7小题，满分69分）‎ ‎18．（10分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|‎ ‎（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）‎ ‎19．（5分）解方程：x2+6x＝﹣7‎ ‎20．（8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．‎ ‎（1）求证：直线AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次被抽取的学生共有　 　名；‎ ‎（2）请补全条形图；‎ ‎（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为　 　°；‎ ‎（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？‎ ‎22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）货车的速度是　 　千米/小时；轿车的速度是　 　千米/小时；t 值为　 　．‎ ‎（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．‎ ‎23．（12分）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．‎ 折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②‎ ‎（一）填一填，做一做：‎ ‎（1）图②中，∠CMD＝　 　．‎ 线段NF＝　 　‎ ‎（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．‎ 剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．‎ ‎（二）填一填 ‎（3）图③中阴影部分的周长为　 　．‎ ‎（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　 　°．‎ ‎（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　 　对；‎ ‎（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）．‎ ‎24．（14分）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　 　．‎ ‎（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；‎ ‎（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B． C．3 D．±3‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．‎ ‎【解答】解：3的相反数是﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎2．（3分）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎3．（3分）下列计算不正确的是（　　）‎ A．±＝±3 B．2ab+3ba＝5ab ‎ C．（﹣1）0＝1 D．（3ab2）2＝6a2b4‎ ‎【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：A、±＝±3，正确，故此选项错误；‎ B、2ab+3ba＝5ab，正确，故此选项错误；‎ C、（﹣1）0＝1，正确，故此选项错误；‎ D、（3ab2）2＝9a2b4，错误，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎4．（3分）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 ‎【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．‎ ‎【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．‎ ‎5．（3分）如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．40° D．50°‎ ‎【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线a∥b，‎ ‎∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，‎ ‎∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，‎ ‎∴∠2＝40°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．‎ ‎6．（3分）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．‎ ‎7．（3分）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意，可以写出各段过程中，S与t的关系，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随t的增加而增大，故选项A错误，‎ 战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变，‎ 战士们从文具店去福利院的过程中，S随着t的增加而增大，故选项C错误，‎ 战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着t的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B正确，选项D错误，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎8．（3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论．‎ ‎【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，‎ 依题意，得：60x+75y＝1500，‎ ‎∴y＝20﹣x．‎ ‎∵x，y均为正整数，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴该学校共有4种购买方案．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．‎ ‎9．（3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（　　）‎ A．27 B．23 C．22 D．18‎ ‎【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．‎ ‎【解答】解：设袋中黑球的个数为x，‎ 根据题意得＝，解得x＝22，‎ 即袋中黑球的个数为22个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．‎ ‎10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②3a+c＞0；‎ ‎③当x＜0时，y随x的增大而增大；‎ ‎④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；‎ ‎⑤＜0；‎ ‎⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣‎ ‎∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b 由图象知：a＜0，c＞0，b＜0‎ ‎∴abc＞0‎ 故结论①正确；‎ ‎∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）‎ ‎∴9a﹣3b+c＝0‎ ‎∵a＝b ‎∴c＝﹣6a ‎∴3a+c＝﹣3a＞0‎ 故结论②正确；‎ ‎∵当x＜﹣时，y随x的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小 ‎∴结论③错误；‎ ‎∵cx2+bx+a＝0，c＞0‎ ‎∴x2+x+1＝0‎ ‎∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0）‎ ‎∴ax2+bx+c＝0的两根是﹣3和2‎ ‎∴＝1，＝﹣6‎ ‎∴x2+x+1＝0即为：﹣6x2+x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝；‎ 故结论④正确；‎ ‎∵当x＝﹣时，y＝＞0‎ ‎∴＜0‎ 故结论⑤正确；‎ ‎∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），‎ ‎∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）‎ ‎∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根 ‎∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根 ‎∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标 结合图象得：m＜﹣3且n＞2‎ 故结论⑥成立；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎11．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里．将数据38000用科学记数法表示为　3.8×104　．‎ ‎【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎【解答】解：38000用科学记数法表示应为3.8×104，‎ 故答案为：3.8×104．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．（3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　AB＝DE　（只填一个即可）．‎ ‎【分析】添加AB＝DE，由BF＝CE推出BC＝EF，由SAS可证△ABC≌△DEF．‎ ‎【解答】解：添加AB＝DE；‎ ‎∵BF＝CE，‎ ‎∴BC＝EF，‎ 在△ABC和△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS）；‎ 故答案为：AB＝DE．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．‎ ‎13．（3分）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为　4　cm．‎ ‎【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，‎ 根据题意得2πr＝，解得r＝3，‎ 所以圆锥的高＝＝4（cm）．‎ 故答案为4．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎14．（3分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为　a≤4且a≠3　．‎ ‎【分析】根据解分式方程的方法和方程﹣＝3的解为非负数，可以求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：﹣＝3，‎ 方程两边同乘以x﹣1，得 ‎2x﹣a+1＝3（x﹣1），‎ 去括号，得 ‎2x﹣a+1＝3x﹣3，‎ 移项及合并同类项，得 x＝4﹣a，‎ ‎∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，‎ ‎∴，‎ 解得，a≤4且a≠3，‎ 故答案为：a≤4且a≠3．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．‎ ‎15．（3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为　﹣　．‎ ‎【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为（﹣2，0）知OC＝AB＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠DOC＝60°，据此求得OE＝ODcos30°＝﹣k，DE＝ODsin30°＝﹣k，即D（k，﹣k），代入解析式解之可得．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，‎ ‎∵点B的坐标为（﹣2，0），‎ ‎∴AB＝﹣，‎ ‎∴OC＝﹣，‎ 由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，‎ ‎∴∠DOE＝30°，‎ ‎∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，‎ 即D（k，﹣k），‎ ‎∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，‎ ‎∴k＝（k）（﹣k）＝﹣k2，‎ 解得：k＝0（舍）或k＝﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点D的坐标．‎ ‎16．（3分）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为　15°或45°或75°　．‎ ‎【分析】分点B是顶角顶点、点B是底角顶点、BD在△ABC外部和BD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．‎ ‎【解答】解：①如图1，当点B是顶角顶点时，‎ ‎∵AB＝BC，BD⊥AC，‎ ‎∴AD＝CD，‎ ‎∵BD＝AC，‎ ‎∴BD＝AD＝CD，‎ 在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝×（180°﹣90°）＝45°；‎ ‎②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，‎ ‎∵BD＝AC，AC＝BC，‎ ‎∴BD＝BC，‎ ‎∴∠BCD＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝×30°＝15°；‎ ‎③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，‎ ‎∵BD＝AC，AC＝BC，‎ ‎∴BD＝BC，‎ ‎∴∠C＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°；‎ 故答案为：15°或45°或75°．‎ ‎【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．‎ ‎17．（3分）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝　　．‎ ‎【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．‎ ‎【解答】解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣‎ ‎∴A（﹣，0）A1（0，1）‎ ‎∴∠OAA1＝30°‎ 又∵A1B1⊥l，‎ ‎∴∠OA1B1＝30°，‎ 在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，‎ ‎∴S1＝；‎ 同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，‎ ‎∴S2＝＝＝；‎ 依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……‎ 因此：Sn＝‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正确的计算则显得尤为重要．‎ 三、解答题（共7小题，满分69分）‎ ‎18．（10分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|‎ ‎（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）‎ ‎【分析】（1）根据实数运算的法则计算即可；‎ ‎（2）根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．‎ ‎【解答】解：（1）（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|＝3+2﹣6×+4﹣2＝1；‎ ‎（2）a2+1﹣2a+4（a﹣1）＝（a﹣1）2+4（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+4）＝（a﹣1）（a+3）．‎ ‎【点评】本题考查了分解因式﹣分组分解法，实数的运算，熟记公式和法则是解题的关键．‎ ‎19．（5分）解方程：x2+6x＝﹣7‎ ‎【分析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．‎ ‎【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，‎ ‎∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，‎ 则x+3＝±，‎ ‎∴x＝﹣3±，‎ 即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎20．（8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．‎ ‎（1）求证：直线AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；‎ ‎（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，‎ ‎∵AD＝AB，‎ ‎∴∠B＝∠D＝30°，‎ ‎∴∠COA＝60°，‎ ‎∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，‎ ‎∴OA⊥AD，‎ 即CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵BC＝4，‎ ‎∴OA＝OC＝2，‎ 在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，‎ ‎∴OD＝2OA＝4，AD＝2，‎ 所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，‎ 因为∠COA＝60°，‎ 所以S扇形COA＝＝π，‎ 所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．‎ ‎21．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次被抽取的学生共有　100　名；‎ ‎（2）请补全条形图；‎ ‎（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为　108　°；‎ ‎（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？‎ ‎【分析】（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名）；‎ ‎（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），据此补全；‎ ‎（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角360°×30%＝108°；‎ ‎（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000×＝1200（名）．‎ ‎【解答】解：（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名），‎ 故答案为100；‎ ‎（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名），‎ 补全条形图如下：‎ ‎（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角 ‎360°×30%＝108°，‎ 故答案为108；‎ ‎（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：‎ ‎2000×＝1200（名），‎ 答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎22．（10分）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）货车的速度是　50　千米/小时；轿车的速度是　80　千米/小时；t值为　3　．‎ ‎（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．‎ ‎【分析】（1）观察图象即可解决问题；‎ ‎（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；‎ ‎（3）根据题意列方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：400÷（7﹣2）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．‎ 故答案为：50；80；3；‎ ‎（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），‎ 设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），‎ ‎∴y＝80x（0≤x≤3），‎ 当3≤x≤4时，y＝240，‎ 设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），‎ 把B（4，240），C（7，0）代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴y＝﹣80+560，‎ ‎∴y＝；‎ ‎（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：‎ ‎50x+80（x﹣1）＝400﹣90或50x+80（x﹣2）＝400+90，‎ 解得x＝3或5．‎ 答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．‎ ‎23．（12分）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．‎ 折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②‎ ‎（一）填一填，做一做：‎ ‎（1）图②中，∠CMD＝　75°　．‎ 线段NF＝　4﹣2　‎ ‎（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．‎ 剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．‎ ‎（二）填一填 ‎（3）图③中阴影部分的周长为　12　．‎ ‎（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　40　°．‎ ‎（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　4　对；‎ ‎（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　　（用含m，n的代数式表示）．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，得出EF＝CD，∠DEF＝90°，DE ‎＝AE＝AD，由折叠的性质得出DN＝CD＝2DE，MN＝CM，得出∠EDN＝60°，得出∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，因此∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；‎ ‎（2）证明△AEN≌△DEN得出AN＝DN，即可得出△AND是等边三角形；‎ ‎（3）由折叠的性质得出A′G＝AG，A′H＝AH，得出图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝12；‎ ‎（4）由折叠的性质得出∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，求出∠AGH＝50°，得出∠AHG＝∠A′HG＝70°，即可得出结果；‎ ‎（5）证明△NGM∽△A′NM∽△DNH，即可得出结论；‎ ‎（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，证明△A′GH∽△HA′D，得出＝＝，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，得出＝＝，解得：x＝y，得出＝＝＝．‎ ‎【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，‎ ‎∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，‎ ‎∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，‎ ‎∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，‎ ‎∴∠EDN＝60°，‎ ‎∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，‎ ‎∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；‎ 故答案为：75°，4﹣2；‎ ‎（2）△AND是等边三角形，理由如下：‎ 在△AEN与△DEN中，，‎ ‎∴△AEN≌△DEN（SAS），‎ ‎∴AN＝DN，‎ ‎∵∠EDN＝60°，‎ ‎∴△AND是等边三角形；‎ ‎（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，‎ ‎∴A′G＝AG，A′H＝AH，‎ ‎∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；‎ 故答案为：12；‎ ‎（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，‎ ‎∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，‎ ‎∵∠A′GN＝80°，‎ ‎∴∠AGH＝50°，‎ ‎∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，‎ ‎∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；‎ 故答案为：40；‎ ‎（5）如图③，‎ ‎∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，‎ ‎∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，‎ ‎∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，‎ ‎∵△AGH≌△A′GH ‎∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，‎ 故答案为：4；‎ ‎（6）设＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，‎ ‎∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，‎ ‎∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，‎ ‎∴∠A′GN＝∠DA′H，‎ ‎∴△A′GH∽△HA′D，‎ ‎∴＝＝，‎ 设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，‎ ‎∴＝＝，‎ 解得：x＝y，‎ ‎∴＝＝＝；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．‎ ‎24．（14分）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　（，﹣5）　．‎ ‎（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；‎ ‎（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即求得抛物线解析式．‎ ‎（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD＝BD，所以当点C、D、B在同一直线上时，△ACD周长最小．求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D纵坐标．‎ ‎（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设点E横坐标为t，则能用t表示EF的长．△BCE面积拆分为△BEF与△CEF的和，以EF为公共底计算可得S△BCE＝EF•OB，把含t的式子代入计算即得到S△BCE关于t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E坐标．‎ ‎（4）以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N在坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6‎ ‎∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）‎ ‎∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ‎∴ 解得：‎ ‎∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6‎ ‎（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3‎ ‎∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝‎ ‎∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称 ‎∴xD＝，AD＝BD ‎∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小 设直线BC解析式为y＝kx﹣6‎ ‎∴3k﹣6＝0，解得：k＝2‎ ‎∴直线BC：y＝2x﹣6‎ ‎∴yD＝2×﹣6＝﹣5‎ ‎∴D（，﹣5）‎ 故答案为：（，﹣5）‎ ‎（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F 设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）‎ ‎∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t ‎∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+‎ ‎∴当t＝时，△BCE面积最大 ‎∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣‎ ‎∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．‎ ‎（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．‎ ‎∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）‎ ‎∴AC＝‎ ‎①若AC为菱形的边长，如图3，‎ 则MN∥AC且，MN＝AC＝2‎ ‎∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）‎ ‎②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4‎ 设N4（﹣2，n）‎ ‎∴﹣n＝‎ 解得：n＝﹣‎ ‎∴N4（﹣2，﹣）‎ 综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组）的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算．‎ 黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析（三）‎ 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣9的相反数是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣ C．9 D．‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6 ‎ C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．60° B．75° C．70° D．65°‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 ‎ C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3‎ ‎7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）‎ A．20% B．40% C．18% D．36%‎ ‎8．（3分）方程＝的解为（　　）‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝‎ ‎9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）‎ A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）‎ ‎10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数6260000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是　 　．‎ ‎14．（3分）不等式组的解集是　 　．‎ ‎15．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为　 　．‎ ‎17．（3分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是　 　度．‎ ‎18．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　 　度．‎ ‎19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　 　．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．‎ ‎22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；‎ ‎（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．‎ ‎23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．‎ ‎24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝CF；‎ ‎（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE ‎，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．‎ ‎25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；‎ ‎（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；‎ ‎（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？‎ ‎26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．‎ ‎（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；‎ ‎（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3分）﹣9的相反数是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣ C．9 D．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ ‎【解答】解：﹣9的相反数是9，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6 ‎ C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2‎ ‎【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；‎ ‎【解答】解：2a+2a＝4a，A错误；‎ a2•a3＝a5，B错误；‎ ‎（2a2）3＝8a6，C错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．‎ ‎3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．‎ ‎4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．‎ ‎【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．60° B．75° C．70° D．65°‎ ‎【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．‎ ‎【解答】解：连接OA、OB，‎ ‎∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，‎ ‎∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．‎ ‎6．（3分）将抛物线y＝2x2‎ 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 ‎ C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3‎ ‎【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．‎ ‎7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）‎ A．20% B．40% C．18% D．36%‎ ‎【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16‎ 解方程得，（舍）‎ ‎∴每次降价得百分率为20%‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．‎ ‎8．（3分）方程＝的解为（　　）‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝‎ ‎【分析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解；‎ ‎【解答】解：＝，‎ ‎，‎ ‎∴2x＝9x﹣3，‎ ‎∴x＝；‎ 将检验x＝是方程的根，‎ ‎∴方程的解为x＝；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．‎ ‎9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）‎ A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）‎ ‎【分析】将点（﹣1，4）代入y＝，求出函数解析式即可解题；‎ ‎【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，‎ ‎∴k＝﹣4，‎ ‎∴y＝，‎ ‎∴点（4，﹣1）在函数图象上，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．‎ ‎10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵在▱ABCD中，EM∥AD ‎∴易证四边形AMEN为平行四边形 ‎∴易证△BEM∽△BAD∽△END ‎∴＝＝，A项错误 ‎＝，B项错误 ‎＝＝，C项错误 ‎＝＝，D项正确 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3分）将数6260000用科学记数法表示为　6.26×106　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：6260000用科学记数法可表示为6.26×106，‎ 故答案为：6.26×106．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠　．‎ ‎【分析】函数中分母不为零是函数y＝有意义的条件，因此2x﹣3≠0即可；‎ ‎【解答】解：函数y＝中分母2x﹣3≠0，‎ ‎∴x≠；‎ 故答案为x≠；‎ ‎【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键．‎ ‎13．（3分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是　a（a﹣3b）2　．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：a3﹣6a2b+9ab2‎ ‎＝a（a2﹣6ab+9b2）‎ ‎＝a（a﹣3b）2．‎ 故答案为：a（a﹣3b）2．‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎14．（3分）不等式组的解集是　x≥3　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式≤0，得：x≥3，‎ 解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，‎ ‎∴不等式组的解集为x≥3，‎ 故答案为：x≥3．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎15．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是　8　．‎ ‎【分析】利用二次函数的性质解决问题．‎ ‎【解答】解：∵a＝﹣1＜0，‎ ‎∴y有最大值，‎ 当x＝6时，y有最大值8．‎ 故答案为8．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为　　．‎ ‎【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，‎ ‎∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°‎ ‎∴∠A'CB＝90°‎ ‎∴A'B＝＝‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．‎ ‎17．（3分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是　110　度．‎ ‎【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可．‎ ‎【解答】解：根据l＝＝＝11π，‎ 解得：n＝110，‎ 故答案为：110．‎ ‎【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．‎ ‎18．（3分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　60°或10　度．‎ ‎【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①如图1，当∠ADC＝90°时，‎ ‎∵∠B＝30°，‎ ‎∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；‎ ‎②如图2，当∠ACD＝90°时，‎ ‎∵∠A＝50°，∠B＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，‎ ‎∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，‎ 综上，则∠BCD的度数为60°或10°；‎ 故答案为：60°或10；‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．‎ ‎19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为　　．‎ ‎【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：列表得：‎ ‎（1，6）‎ ‎（2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ 由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，‎ 所以两枚骰子点数相同的概率为＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎20．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　2　．‎ ‎【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形 ‎，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC交BD于点O ‎∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，‎ ‎∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形 ‎∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，‎ BO＝OD＝4‎ ‎∵CE∥AB ‎∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°‎ ‎∴∠DAO＝∠ACE＝30°‎ ‎∴AE＝CE＝6‎ ‎∴DE＝AD﹣AE＝2‎ ‎∵∠CED＝∠ADB＝60°‎ ‎∴△EDF是等边三角形 ‎∴DE＝EF＝DF＝2‎ ‎∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2‎ ‎∴OC＝＝2‎ ‎∴BC＝＝2‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]÷‎ ‎＝（﹣）•‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×＝4+时，‎ 原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；‎ ‎（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．‎ ‎【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；‎ ‎（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；‎ ‎【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；‎ ‎（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；‎ ‎【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．‎ ‎23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．‎ ‎【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；‎ ‎（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；‎ ‎（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），‎ 答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；‎ ‎（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），‎ 则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，‎ 补全条形统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：1500×＝225（名），‎ 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝CF；‎ ‎（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．‎ ‎【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；‎ ‎（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，‎ ‎∴∠ABE＝∠DF，‎ ‎∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，‎ ‎∴∠AEB＝∠CFD＝90°，‎ 在△ABE和△CDF中，，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（AAS），‎ ‎∴AE＝CF；‎ ‎（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠CBD＝∠ADB＝30°，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝60°，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴∠BAE＝30°，‎ ‎∴BE＝AB，AE＝AD，‎ ‎∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，‎ ‎∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；‎ 作EG⊥BC于G，如图所示：‎ ‎∵∠CBD＝30°，‎ ‎∴EG＝BE＝×AB＝AB，‎ ‎∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，‎ 同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；‎ ‎（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；‎ ‎（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？‎ ‎【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；‎ ‎（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；‎ ‎【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，‎ 根据题意得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；‎ ‎（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，‎ 根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，‎ ‎∴z≤25，‎ ‎∴最多可以购买25副围棋；‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．‎ ‎26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．‎ ‎（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；‎ ‎（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长．‎ ‎【分析】（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；‎ ‎（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；‎ ‎（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt△OMQ两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用BC＝，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应用勾股定理求RG．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K ‎∴∠ODB＝∠OKC＝90°‎ ‎∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°‎ ‎∴∠DFK+∠EON＝180°‎ ‎∵∠DFK+∠HFB＝180°‎ ‎∴∠HFB＝∠EON ‎∵∠EON＝2∠EHN ‎∴∠HFB＝2∠EHN ‎（2）如图2，连接OB，‎ ‎∵OA⊥ME，‎ ‎∴∠AOM＝∠AOE ‎∵AB⊥OE ‎∴∠AOE＝∠BOE ‎∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，‎ 即：∠MOE＝∠AOB ‎∴ME＝AB ‎∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN ‎∴∠EHN＝2∠CHN ‎∴∠EHC＝∠CHN ‎∵CH⊥MN ‎∴∠HPN＝∠HNM ‎∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM ‎∴∠EPM＝∠HEM ‎∴MP＝ME ‎∴MP＝AB ‎（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，‎ 由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE ‎∴∠EOC＝∠CON ‎∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°‎ ‎∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°‎ ‎∵OA⊥ME，CH⊥MN ‎∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，‎ ‎∴∠AOM+∠OMQ＝90°‎ ‎∴∠CON＝∠OMQ ‎∵OC＝OA ‎∴△OCK≌△MOQ（AAS）‎ ‎∴CK＝OQ＝HK ‎∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3‎ ‎∴OQ：MQ＝4：3‎ ‎∴设OQ＝4k，MQ＝3k，‎ 则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k 在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k ‎∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，‎ ‎∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，‎ ‎∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°‎ ‎∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k 在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2‎ 即：，解得：k1＝1，（不符合题意，舍去）‎ ‎∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5‎ ‎∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，‎ 在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，‎ ‎∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1‎ ‎∴RK＝HK＝4‎ ‎∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1‎ ‎∵∠CON＝∠OMQ ‎∴OC∥ME ‎∴∠PGO＝∠HEM ‎∵∠EPM＝∠HEM ‎∴∠PGO＝∠EPM ‎∴OG＝OP＝OR＝1‎ ‎∴∠PGR＝90°‎ 在Rt△HPK中，PH＝＝＝2‎ ‎∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN ‎∴△POG∽△PHN ‎∴，即，PG＝‎ ‎∴RG＝＝＝．‎ ‎【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾股定理及解直角三角形等．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P 的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．‎ ‎【分析】（1）由 y＝x+4，求出A（﹣3，0）B（0，4），所以C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，解得k＝﹣，b＝4，所以直线BC的解析式y＝﹣；‎ ‎（2）过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．由sin∠ACD＝，即，求出AD＝，设P（t，t+4），由cos∠BPG＝cos∠BAO，即，求出，由sin∠ABC＝，求得PN＝＝，BQ＝5+，所以S＝，即S＝；‎ ‎（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交 OA于点S，易证AT∥BC，所以∠TAE＝∠FQB，△ATF≌△QBF，于是AF＝QF，TF＝BF，再证明△MBF≌△PTF，所以MF＝PF，BM＝PT，于是四边形AMQP为平行四边形，由sin∠ABC＝sin∠MQR ‎＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，tan∠QMR＝，所以MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．求得M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，解得，因此直线PM的解析式为y＝．‎ ‎【解答】解：（1）∵y＝x+4，‎ ‎∴A（﹣3，0）B（0，4），‎ ‎∵点C与点A关于y轴对称，‎ ‎∴C（3，0），‎ 设直线BC的解析式为y＝kx+b，‎ 将B（0，4），C（3，0）代入，‎ ‎，‎ 解得k＝﹣，b＝4，‎ ‎∴直线BC的解析式y＝﹣；‎ ‎（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．‎ ‎∵OA＝OC＝3，OB＝4，‎ ‎∴AC＝6，AB＝BC＝5，‎ ‎∴sin∠ACD＝，‎ 即，‎ ‎∴AD＝，‎ ‎∵点P为直线y＝x+4上，‎ ‎∴设P（t，t+4），‎ ‎∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵sin∠ABC＝，‎ ‎∴PN＝＝，‎ ‎∵AP＝BQ，‎ ‎∴BQ＝5+，‎ ‎∴S＝，‎ 即S＝；‎ ‎（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交 OA于点S．‎ ‎∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，‎ ‎∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，‎ ‎∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，‎ ‎∴PT⊥AE，PS＝ST，‎ ‎∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，‎ AT∥BC，‎ ‎∴∠TAE＝∠FQB，‎ ‎∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，‎ ‎∴△ATF≌△QBF，‎ ‎∴AF＝QF，TF＝BF，‎ ‎∵∠PSA＝∠BOA＝90°，‎ ‎∴PT∥BM，‎ ‎∴∠TBM＝∠PTB，‎ ‎∵∠BFM＝∠PFT，‎ ‎∴△MBF≌△PTF，‎ ‎∴MF＝PF，BM＝PT，‎ ‎∴四边形AMQP为平行四边形，‎ ‎∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，‎ ‎∴∠MQR＝∠ABC，‎ 过点R作RH⊥MQ于点H，‎ ‎∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，‎ 设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，‎ ‎∵tan∠QMR＝，‎ ‎∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，‎ 过点R作RK⊥x轴于点K．‎ ‎∵点R的纵坐标为﹣，‎ ‎∴RK＝，‎ ‎∵sin∠BCO＝，‎ ‎∴CR＝，BR＝，‎ ‎∴，a＝，‎ ‎∴BQ＝30a＝3，‎ ‎∴5+＝3，t＝，‎ ‎∴P（），‎ ‎∴，‎ ‎∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，‎ ‎∴OM＝，‎ ‎∴M（0，），‎ 设直线PM的解析式为y＝mx+n，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线PM的解析式为y＝．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键．‎ 黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析（四）‎ 一、填空题（每题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎2．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是　 　．‎ ‎5．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是　 　．‎ ‎6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　 　．‎ ‎7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是　 　．‎ ‎8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为　 　．‎ ‎9．（3分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　 　．‎ ‎10．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝　 　．‎ 二、选择题（每题3分，满分30分）‎ ‎11．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）‎ A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5 ‎ C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6‎ ‎12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 ‎15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　）‎ A． B． C．4 D．6‎ ‎17．（3分）已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3‎ ‎18．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）‎ A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 ‎20．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 三、解答题（满分60分）‎ ‎21．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2sin30°+1．‎ ‎22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．‎ ‎（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；‎ ‎（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求拋物线的解析式；‎ ‎（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．‎ ‎24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：‎ ‎（1）求本次调查中共抽取的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　 　；‎ ‎（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？‎ ‎25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）求函数图象中a的值；‎ ‎（2）求小强的速度；‎ ‎（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE 交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．‎ ‎（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH＝BD；‎ ‎（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．‎ ‎27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．‎ ‎（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？‎ ‎（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？‎ ‎（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？‎ ‎28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一、填空题（每题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为　1.8×105　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，‎ 故答案是：1.8×105．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎2．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．‎ ‎【解答】解：在函数y＝中，有x﹣2≥0，解得x≥2，‎ 故其自变量x的取值范围是x≥2．‎ 故答案为x≥2．‎ ‎【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AD∥BC（答案不唯一）　，使四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【分析】可再添加一个条件AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．‎ 故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．‎ ‎【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．‎ ‎4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是　　．‎ ‎【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：，‎ 共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，‎ ‎∴摸出的2个球都是黄球的概率＝；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．‎ ‎5．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是　m≤1　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，‎ 解不等式2x+1＞3，得：x＞1，‎ ‎∵不等式组的解集为x＞1，‎ ‎∴m≤1，‎ 故答案为：m≤1．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　60°　．‎ ‎【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．‎ ‎【解答】解：∵OA⊥BC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠AOB＝2∠ADC，‎ ‎∵∠ADC＝30°，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ 故答案为60°．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．‎ ‎7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是　150°　．‎ ‎【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是45cm，‎ ‎∴圆锥的侧面扇形的弧长为5πcm，‎ ‎∴＝5π，‎ 解得：n＝150‎ 故答案为150°．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．‎ ‎8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为　4　．‎ ‎【分析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．‎ ‎【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．‎ ‎∵四边形ABC都是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，‎ ‎∵S△PAB＝S△PCD，‎ ‎∴×4×x＝××4×（6﹣x），‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴AM＝2，DM＝EM＝4，‎ 在Rt△ECD中，EC＝＝4，‎ ‎∵PM垂直平分线段DE，‎ ‎∴PD＝PE，‎ ‎∴PC+PD＝PC+PE≥EC，‎ ‎∴PD+PC≥4，‎ ‎∴PD+PC的最小值为4．‎ ‎【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎9．（3分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE 是直角三角形时，则CD的长为　3或　．‎ ‎【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，‎ 连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），‎ ‎∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，‎ 设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，‎ ‎∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，‎ ‎∴x2+42＝（8﹣x）2，‎ 解得x＝3，‎ ‎∴CD＝3；‎ ‎②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，‎ ‎∴四边形CDEF是正方形，‎ ‎∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，‎ ‎∴△AEF∽△EBD，‎ ‎∴＝，‎ 设CD＝x，则EF＝DF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，‎ ‎∴＝，‎ 解得x＝，‎ ‎∴CD＝，‎ 综上所述，CD的长为3或，‎ 故答案为：3或．‎ ‎【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．‎ ‎10．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝　22017　．‎ ‎【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，‎ ‎∴OA＝AA1＝A1B1＝1，‎ ‎∴S1＝＝，‎ ‎∵∠OAA1＝90°，‎ ‎∴AO12＝12+12＝，‎ ‎∴OA2＝A2A3＝2，‎ ‎∴S2＝＝1，‎ 同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，‎ ‎∴Sn＝2n﹣2，‎ ‎∴S2019＝22017，‎ 故答案为：22017．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．‎ 二、选择题（每题3分，满分30分）‎ ‎11．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）‎ A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5 ‎ C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6‎ ‎【分析】‎ 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：A、a2+2a2＝3a2，故此选项错误；‎ B、b10÷b2＝b8，故此选项错误；‎ C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项错误；‎ D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；‎ B、不是中心对称图形，本选项错误；‎ C、是中心对称图形，本选项正确；‎ D、不是中心对称图形，本选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．‎ ‎14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 ‎【分析】根据中位数的定义解答可得．‎ ‎【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，‎ 所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．‎ ‎15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，‎ 依题意，得：1+x+x2＝43，‎ 解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　）‎ A． B． C．4 D．6‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．‎ ‎【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，‎ ‎∵四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴AB∥OC，OA＝BC，‎ ‎∴BE⊥y轴，‎ ‎∴OE＝BD，‎ ‎∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），‎ 根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，‎ ‎∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性 ‎17．（3分）已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3‎ ‎【分析】根据解分式方程的方法可以求得m的取值范围，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：＝1，‎ 方程两边同乘以x﹣3，得 ‎2x﹣m＝x﹣3，‎ 移项及合并同类项，得 x＝m﹣3，‎ ‎∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，‎ ‎∴，‎ 解得，m≤3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．‎ ‎18．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF＝OG，CF＝QE＝AB．所以由锐角三角函数定义作答即可．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，‎ ‎∴设AB＝3x，BC＝2x．‎ 如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．‎ ‎∵BE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形BOCE是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OB＝OC，‎ ‎∴四边形BOCE是菱形．‎ ‎∴OE与BC垂直平分，‎ ‎∴EF＝AD＝＝x，OE∥AB，‎ ‎∴四边形AOEB是平行四边形，‎ ‎∴OE＝AB，‎ ‎∴CF＝OE＝AB＝x．‎ ‎∴tan∠EDC＝＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）‎ A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 ‎【分析】设一等奖个数x个，二等奖个数y个，根据题意，得6x+4y＝34，根据方程可得三种方案；‎ ‎【解答】解：设一等奖个数x个，二等奖个数y个，‎ 根据题意，得6x+4y＝34，‎ 使方程成立的解有，，，‎ ‎∴方案一共有3种；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．‎ ‎20．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；‎ ‎②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；‎ ‎③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；‎ ‎④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．‎ ‎【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴BF＝CF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DE，‎ ‎∴∠BAF＝∠CEF，‎ ‎∵∠AFB＝∠CFE，‎ ‎∴△ABF≌△ECF（AAS），‎ ‎∴AB＝CE，‎ ‎∴四边形ABEC是平行四边形，‎ ‎∵∠BAC＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；‎ ‎②∵OC∥AD，‎ ‎∴△OCF∽△OAD，‎ ‎∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，‎ ‎∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，‎ ‎∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；‎ ‎③∵AB＝CD＝EC，‎ ‎∴DE＝2AB，‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∴DE＝2×，故此小题结论正确；‎ ‎④∵△OCF∽△OAD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵OC：AC＝1：3，‎ ‎∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故此小题结论正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，第一小题关键是证明三角形全等，第二小题证明三角形的相似，第三小题证明BC与AB的关系，DE与AB的关系，第四小题关键是用△OCF的面积为桥梁．‎ 三、解答题（满分60分）‎ ‎21．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2sin30°+1．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值化简代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]•（x+1）‎ ‎＝•（x+1）‎ ‎＝，‎ 当x＝2sin30°+1＝2×+1＝1+1＝2时，‎ 原式＝1．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．‎ ‎（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；‎ ‎（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A1的坐标；‎ ‎（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A2的坐标；‎ ‎（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积．‎ ‎【解答】解：（1）如右图所示，‎ 点A1的坐标是（﹣4，1）；‎ ‎（2）如右图所示，‎ 点A2的坐标是（1，﹣4）；‎ ‎（3）∵点A（4，1），‎ ‎∴OA＝，‎ ‎∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．‎ ‎【点评】‎ 本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求拋物线的解析式；‎ ‎（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）将点A（3，0）、点B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c即可；‎ ‎（2）S△DBC＝6×1＝3＝S△PAC，设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，则有AQ＝1，可求Q（2，0）或Q（4，0），得：直线CQ为y＝x﹣3或y＝x﹣3，当y＝3时，x＝4或x＝8；‎ ‎【解答】解：（1）将点A（3，0）、点B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，‎ 可得b＝﹣2，c＝﹣3，‎ ‎∴y＝x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）∵C（0，﹣3），‎ ‎∴S△DBC＝6×1＝3，‎ ‎∴S△PAC＝3，‎ 设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，‎ 则S△PAC＝6×AQ，‎ ‎∴AQ＝1，‎ ‎∴Q（2，0）或Q（4，0），‎ ‎∴直线CQ为y＝x﹣3或y＝x﹣3，‎ 当y＝3时，x＝4或x＝8，‎ ‎∴P（4，3）或P（8，3）；‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活转化三角形面积是解题的关键．‎ ‎24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：‎ ‎（1）求本次调查中共抽取的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　72°　；‎ ‎（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？‎ ‎【分析】（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案；‎ ‎（2）求出2本和3本的人数即可补全条形图；‎ ‎（3）用360°乘以2本人数所占比例；‎ ‎（4）利用样本估计总体思想求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为15÷30%＝50（人）；‎ ‎（2）3本人数为50×40%＝20（人），‎ 则2本人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，‎ 故答案为：72°；‎ ‎（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有1200×＝600（人）．‎ ‎【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）求函数图象中a的值；‎ ‎（2）求小强的速度；‎ ‎（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据“小明的路程＝小明的速度×小明步行的时间”即可求解；‎ ‎（2）根据a的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；‎ ‎（3）由（2）可知点B的坐标，再运用待定系数法解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）a＝×（10+5）＝900；‎ ‎（2）小明的速度为：300÷5＝60（米/分），‎ 小强的速度为：（900﹣60×2）÷12＝65（米/分）；‎ ‎（3）由题意得B（12，780），‎ 设AB所在的直线的解析式为：y＝kx+b（k≠0），‎ 把A（10，900）、B（12，780）代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴线段AB所在的直线的解析式为y＝﹣60x+1500（10≤x≤12）．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．‎ ‎26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．‎ ‎（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH＝BD；‎ ‎（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．‎ ‎【分析】（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH＝∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH＝CF，由线段垂直平分线的性质得出AF＝CF，得出BH＝AF，AD＝DF+AF＝DF+BH，由直角三角形的性质得出AD＝BD，即可得出结论；‎ ‎（2）同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接CF，如图①所示：‎ ‎∵AD⊥BC，BE⊥AC，‎ ‎∴CF⊥AB，‎ ‎∵BH⊥AB，‎ ‎∴CF∥BH，‎ ‎∴∠CBH＝∠BCF，‎ ‎∵点M是BC的中点，‎ ‎∴BM＝MC，‎ 在△BMH和△CMF中，，‎ ‎∴△BMH≌△CMF（ASA），‎ ‎∴BH＝CF，‎ ‎∵AB＝BC，BE⊥AC，‎ ‎∴BE垂直平分AC，‎ ‎∴AF＝CF，‎ ‎∴BH＝AF，‎ ‎∴AD＝DF+AF＝DF+BH，‎ ‎∵在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴DF+BH＝BD；‎ ‎（2）解：图②猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：‎ 同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，‎ ‎∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴DF+BH＝BD；‎ 图③猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：‎ 同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，‎ ‎∵在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴DF+BH＝BD．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．‎ ‎（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？‎ ‎（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？‎ ‎（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？‎ ‎【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；‎ ‎（2）根据题意列不等式组解答即可；‎ ‎（3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：‎ ‎，解得，‎ 答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；‎ ‎（2）根据题意得：‎ ‎955≤15x+5（120﹣x）≤1000，‎ 解得35.5≤x≤40，‎ ‎∵x是整数，‎ ‎∴x＝36，37，38，39，40．‎ ‎∴有5种购买方案；‎ ‎（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴W随x的增大而增大，‎ 当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），‎ ‎∴120﹣36＝84．‎ 答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的一次函数关系式．‎ ‎28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）解方程求出x的值，由BC＞AB，OA＝2OB可得答案；‎ ‎（2）设BP交y轴于点F，当0≤t≤2时，PE＝t，由△OBF∽△EPF知＝，即＝，据此得OF＝，根据面积公式可得此时解析式；当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，由△OBF∽△ABP知＝，即＝，据此得OF＝，根据三角形面积公式可得答案；‎ ‎（3）设P（﹣2，m），由B（1，0），E（0，4）知BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，再分三种情况列出方程求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，‎ ‎∴x1＝3，x2＝4，‎ ‎∵BC＞AB，‎ ‎∴BC＝4，AB＝3，‎ ‎∵OA＝2OB，‎ ‎∴OA＝2，OB＝1，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴点D的坐标为（﹣2，4）；‎ ‎（2）设BP交y轴于点F，‎ 如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴△OBF∽△EPF，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴OF＝，‎ ‎∴S＝OF•PE＝••t＝；‎ 如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，‎ ‎∵OE∥AD，‎ ‎∴△OBF∽△ABP，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴OF＝，‎ ‎∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；‎ 综上所述，S＝；‎ ‎（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；‎ 当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），‎ ‎∵B（1，0），E（0，4），‎ ‎∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，‎ ‎①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，‎ 则P（﹣2，2）；‎ ‎②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，‎ 则P（﹣2，）；‎ ‎③当BE＝PE时，17＝m2﹣8m+20，解得m＝4±，‎ 则P（﹣2，4﹣）；‎ 综上，P（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．‎ ‎【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形的判定及两点间的距离公式等知识点．‎ 黑龙江省2019年各市数学中考试卷及答案解析（五）‎ 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑 ‎1．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．37×104 B．3.7×105 C．0.37×106 D．3.7×106‎ ‎2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．＝±3 B．（﹣1）0＝0 C．+＝ D．＝2‎ ‎4．（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）‎ A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 ‎5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）‎ A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1） ‎ C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）‎ ‎6．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．三角形两边的和大于第三边 ‎ B．正六边形的每个中心角都等于60° ‎ C．半径为R的圆内接正方形的边长等于R ‎ D．只有正方形的外角和等于360°‎ ‎8．（3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）‎ A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 ‎9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（　　）‎ ‎①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ‎②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个 ‎③当P点有8个时，x＝2﹣2‎ ‎④当△PEF是等边三角形时，P点有4个 A．①③ B．①④ C．②④ D．②③‎ 二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 ‎11．（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为﹣20℃，绥化市的平均气温约为﹣23℃，则两地的温差为　 　℃．‎ ‎12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）计算：（﹣m3）2÷m4＝　 　．‎ ‎14．（3分）已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是　 　．‎ ‎15．（3分）当a＝2018时，代数式（﹣）÷的值是　 　．‎ ‎16．（3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　 　度．‎ ‎18．（3分）一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎19．（3分）甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为　 　km/h．‎ ‎20．（3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为　 　．‎ ‎21．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是　 　．‎ 三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 ‎22．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）‎ ‎（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；‎ ‎（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；‎ ‎（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝　 　．‎ ‎23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的20%．‎ 请根据图中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的总人数是　 　人；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？‎ ‎24．（6分）按要求解答下列各题：‎ ‎（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）‎ ‎25．（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．‎ ‎26．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．‎ ‎（1）求证：直线CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝2CE＝2．‎ ‎①求AD的长；‎ ‎②求△ACF的周长．（结果可保留根号）‎ ‎27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x ‎（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．‎ ‎（1）这批零件一共有　 　个，甲机器每小时加工　 　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　 　个零件；‎ ‎（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；‎ ‎（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？‎ ‎28．（9分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N ‎（1）求证：MN＝MC；‎ ‎（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；‎ ‎（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．‎ ‎29．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；‎ ‎（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．‎ 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑 ‎1．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．37×104 B．3.7×105 C．0.37×106 D．3.7×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、不是中心对称图形，故此选项错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．＝±3 B．（﹣1）0＝0 C．+＝ D．＝2‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：A、＝3，故此选项错误；‎ B、（﹣1）0＝1，故此选项错误；‎ C、+无法计算，故此选项错误；‎ D、＝2，正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了立方根、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．‎ ‎4．（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）‎ A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 ‎【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状．‎ ‎【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球体．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图确定几何体的形状，学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．‎ ‎5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）‎ A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1） ‎ C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）‎ ‎【分析】A、原式提取公因式x得到结果，即可做出判断；‎ B、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断；‎ C、等式左边表示完全平方式，不能利用完全平方公式分解；‎ D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），错误；‎ B、原式＝（a﹣4）（a+1），错误；‎ C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，错误；‎ D、原式＝（x+y）（x﹣y），正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎6．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．‎ ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．三角形两边的和大于第三边 ‎ B．正六边形的每个中心角都等于60° ‎ C．半径为R的圆内接正方形的边长等于R ‎ D．只有正方形的外角和等于360°‎ ‎【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和分别判断后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：A、三角形两边的和大于第三边，正确，是真命题；‎ B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；‎ C、半径为R的圆内接正方形的边长等于R，正确，是真命题；‎ D、所有多边形的外角和均为360°，故错误，是假命题，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和等知识，难度不大．‎ ‎8．（3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）‎ A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 ‎【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．‎ ‎【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，‎ ‎，‎ 解得，3＜x≤8，‎ ‎∵x为整数，也为整数，‎ ‎∴x＝4或6或8，‎ ‎∴有3种购买方案．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．‎ ‎9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x≥1，‎ 解②得x＜2，‎ 利用数轴表示为：‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．‎ ‎10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（　　）‎ ‎①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ‎②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个 ‎③当P点有8个时，x＝2﹣2‎ ‎④当△PEF是等边三角形时，P点有4个 A．①③ B．①④ C．②④ D．②③‎ ‎【分析】利用图象法对各个说法进行分析判断，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：①如图1，‎ 当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个；‎ 故①正确；‎ ‎②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有8个．‎ 故②错误．‎ ‎③当P点有8个时，如图2所示：‎ 当0＜x＜﹣1或﹣1＜x＜4﹣4或2＜x＜4﹣﹣1或4﹣﹣1＜x＜4﹣2时，‎ P点有8个；‎ 故③错误；‎ ‎④如图3，‎ 当△PMN是等边三角形时，‎ P点有4个；‎ 故④正确；‎ 当△PEF是等腰三角形时，关于P点个数的说法中，‎ 不正确的是②③，‎ 一定正确的是①④；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，有一定难度．‎ 二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 ‎11．（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为﹣20℃，绥化市的平均气温约为﹣23℃，则两地的温差为　3　℃．‎ ‎【分析】用哈尔滨市的平均气温减去绥化市的平均气温，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：﹣20﹣（﹣23）＝﹣20+23＝3（℃）．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．‎ ‎12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　x≠4　．‎ ‎【分析】分式有意义，分母不等于零．‎ ‎【解答】解：依题意得：x﹣4≠0．‎ 解得 x≠4．‎ 故答案是：x≠4．‎ ‎【点评】考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．‎ ‎13．（3分）计算：（﹣m3）2÷m4＝　m2　．‎ ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．‎ ‎【解答】解：（﹣m3）2÷m4＝：m6÷m4＝m2．‎ 故答案为：m2．‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎14．（3分）已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是　8　．‎ ‎【分析】先计算出平均数，再根据方差公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵1、3、5、7、9的平均数是（1+3+5+7+9）÷5＝5，‎ ‎∴方差＝[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]＝8；‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎15．（3分）当a＝2018时，代数式（﹣）÷的值是　2019　．‎ ‎【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（﹣）÷‎ ‎＝‎ ‎＝a+1，‎ 当a＝2018时，原式＝2018+1＝2019，‎ 故答案为：2019．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．‎ ‎16．（3分）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为　12　．‎ ‎【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可．‎ ‎【解答】解：设圆锥的母线长为l，‎ 根据题意得：＝2π×4，‎ 解得：l＝12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．‎ ‎17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　36　度．‎ ‎【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．‎ ‎【解答】解：设∠A＝x ‎∵AD＝BD，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x ‎∵BD＝BC ‎∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x ‎∵在BDC中x+2x+2x＝180°‎ ‎∴x＝36°‎ ‎∴∠A＝36°．‎ 故填36．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而利用方程求解是正确解答本题的关键．‎ ‎18．（3分）一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是　2＜x＜4　．‎ ‎【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．‎ ‎【解答】解：当2＜x＜4时，y1＞y2．‎ 故答案为2＜x＜4．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．‎ ‎19．（3分）甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为　80　km/h．‎ ‎【分析】设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为xkm/h ‎，根据时间＝路程÷速度结合乙车比甲车早30分钟到达B地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为xkm/h，‎ 依题意，得：﹣＝，‎ 解得：x＝80，‎ 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．‎ 故答案为：80．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．‎ ‎20．（3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为　5或5　．‎ ‎【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．‎ ‎【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，‎ 即CD⊥AB，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴AC＝BC，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠DBO＝30°，‎ ‎∵OB＝5，‎ ‎∴BD＝OB＝，‎ ‎∴BC＝AB＝5，‎ 如图2，当∠DOB＝90°，‎ ‎∴∠BOC＝90°，‎ ‎∴△BOC是等腰直角三角形，‎ ‎∴BC＝OB＝5，‎ 综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，‎ 故答案为：5或5．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎21．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是　（，）　．‎ ‎【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．‎ ‎【解答】解：由题意知，‎ A1（，）‎ A2（1，0）‎ A3（，）‎ A4（2，0）‎ A5（，﹣）‎ A6（3，0）‎ A7（，）‎ ‎…‎ 由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，‎ ‎∴A2019（，），‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．‎ 三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内 ‎22．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）‎ ‎（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；‎ ‎（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；‎ ‎（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝　1　．‎ ‎【分析】（1）根据坐标画得到对应点B1、C1，连接即可；‎ ‎（2）取AB的中点D画出直线CD，‎ ‎（3）得出△PBC为等腰直角三角形，∠PCB＝45°，可求出tan∠BCP＝1‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎（1）作出线段B1、C1连接即可；‎ ‎（2）画出直线CD，点D坐标为（﹣1，﹣4），‎ ‎（3）连接PB，∵PB2＝BC2＝12+32＝10，PC2＝22+42＝20，‎ ‎∴PB2+BC2＝PC2，‎ ‎∴△PBC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠PCB＝45°，‎ ‎∴tan∠BCP＝1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，三角形中线的性质，三角函数值等有关知识点．‎ ‎23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的20%．‎ 请根据图中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的总人数是　40　人；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？‎ ‎【分析】（1）由C方式的人数及其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）根据各方式的人数之和等于总人数可得D人数，从而补全图形；‎ ‎（3）利用样本估计总体思想求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的总人数是8÷20%＝40（人），‎ 故答案为：40；‎ ‎（2）D活动方式的人数为40﹣（6+12+8+4）＝10（人），‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有2360×＝354（人）．‎ ‎【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎24．（6分）按要求解答下列各题：‎ ‎（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）‎ ‎【分析】（1）利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．‎ ‎（2）作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，点P即为所求．‎ ‎（2）作AD⊥BC于D．‎ 在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，‎ ‎∴AD＝AB＝20（海里），‎ ‎∵∠ACD＝45°，‎ ‎∴AC＝AD＝20（海里）．‎ 答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．‎ ‎【点评】本题考查则有﹣应用与设计，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎25．（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．‎ ‎【分析】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上，此问得解；‎ ‎（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合x1+x2+x1x2＝4可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，‎ 解得：x＝，‎ ‎∴k＝0符合题意；‎ 当k≠0时，原方程为一元二次方程，‎ ‎∵该一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，‎ 解得：k≤．‎ 综上所述，k的取值范围为k≤．‎ ‎（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝．‎ ‎∵x1+x2+x1x2＝4，‎ ‎∴+＝4，‎ 解得：k＝1，‎ 经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．‎ ‎∴k的值为1．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．‎ ‎26．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．‎ ‎（1）求证：直线CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝2CE＝2．‎ ‎①求AD的长；‎ ‎②求△ACF的周长．（结果可保留根号）‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得OC⊥CF，即可证得结论；‎ ‎（2）①利用勾股定理求得半径，进而求得OE，根据三角形中位线定理即可求得；‎ ‎②由平行线分线段成比例定理得到，求得CF＝，OF＝，即可求得AF＝OF+OA＝，然后根据勾股定理求得AC，即可求得三角形ACF的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC，‎ ‎∴C是弧BD的中点 ‎∴OC⊥BD．‎ ‎∴BE＝DE，‎ ‎∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，‎ ‎∴∠AFC＝∠ABD，‎ ‎∴BD∥CF，‎ ‎∴OC⊥CF，‎ ‎∵OC是半径，‎ ‎∴CF是圆O切线；‎ ‎（2）解：①设OC＝R．‎ ‎∵DE＝2CE＝2，‎ ‎∴BE＝DE＝2，CE＝1．‎ ‎∴OE＝R﹣1，‎ 在Rt△OBE中（R﹣1）2+22＝R2．‎ 解得 R＝．‎ ‎∴OE＝﹣1＝，‎ 由（1）得，OA＝OB，BE＝DE，‎ ‎∴AD＝2OE＝3；‎ ‎②连接BC．‎ ‎∵BD∥CF，‎ ‎∴，‎ ‎∵BE＝2，OE＝，R＝‎ ‎∴CF＝，OF＝，‎ ‎∴AF＝OF+OA＝，‎ 在Rt△BCE中，CE＝l，BE＝2，‎ ‎∴BC＝＝．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴△ACB为直角三角形．‎ ‎∴AC＝＝2．‎ ‎∴△ACF周长＝AC+FC+AF＝10+2．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．‎ ‎（1）这批零件一共有　270　个，甲机器每小时加工　20　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　40　个零件；‎ ‎（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；‎ ‎（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？‎ ‎【分析】（1）根据图象解答即可；‎ ‎（2）设当3≤x≤6时，y与x之间的函数关系是为y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；‎ ‎（3）设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当0≤x≤1时，20x＝30；②当3≤x≤6时，20x＝30+40（x﹣3）．‎ ‎【解答】解：（1）这批零件一共有270个，‎ 甲机器每小时加工零件：（90﹣550）÷（3﹣1）＝20（个），‎ 乙机器排除故障后每小时加工零件：（270﹣90﹣20×3）÷3＝40（个）；‎ 故答案为：270；20；40；‎ ‎（2）设当3≤x≤6时，y与x之间的函数关系是为y＝kx+b，‎ 把B（3，90），C（6，270）代入解析式，得 ‎，解得，‎ ‎∴y＝60x﹣90（3≤x≤6）；‎ ‎（3）设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等，‎ ‎①20x＝30，解得x＝1.5；‎ ‎②50﹣20＝30，‎ ‎20x＝30+40（x﹣3），解得x＝4.5，‎ 答：甲加工1.5h或4.5h时，甲与乙加工的零件个数相等．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．‎ ‎28．（9分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N ‎（1）求证：MN＝MC；‎ ‎（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；‎ ‎（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．‎ ‎【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；‎ ‎（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；‎ ‎（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGC∽△NGB得＝，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，‎ 则四边形BEMF是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，‎ ‎∴ME＝BE，‎ ‎∴平行四边形BEMF是正方形，‎ ‎∴ME＝MF，‎ ‎∵CM⊥MN，‎ ‎∴∠CMN＝90°，‎ ‎∵∠FME＝90°，‎ ‎∴∠CME＝∠FMN，‎ ‎∴△MFN≌△MEC（ASA），‎ ‎∴MN＝MC；‎ ‎（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴AF＝2.4，CE＝2.4，‎ ‎∵△MFN≌△MEC，‎ ‎∴FN＝EC＝2.4，‎ ‎∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，‎ ‎∴AN＝4BN；‎ ‎（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，‎ ‎∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，‎ ‎∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，‎ ‎∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，‎ ‎∵MC＝MN，MC⊥MN，‎ ‎∴△MNC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠MNC＝45°，‎ ‎∴∠NCH＝45°，‎ ‎∴△MCG≌△HCG（SAS），‎ ‎∴MG＝HG，‎ ‎∵BG：MG＝3：5，‎ 设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，‎ 在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为6，‎ ‎∴BD＝6，‎ ‎∴DM+MG+BG＝12a＝6，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴BG＝，MG＝，‎ ‎∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，‎ ‎∴△MGC∽△NGB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CG•NG＝BG•MG＝．‎ ‎【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．‎ ‎29．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；‎ ‎（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．‎ ‎【分析】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x＝﹣＝，联立即可求a与b的值；‎ ‎（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y＝﹣x2+x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；‎ ‎（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m＝﹣x2+x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；‎ ‎①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝HK（xP﹣xQ）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，‎ ‎②当1＜m＜时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+m﹣，‎ ‎③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞，S△PQK＝×KQ|yP|＝（2m2﹣5m）＝3m2﹣m，‎ ‎【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，‎ ‎∵x＝﹣＝，‎ ‎∴a＝﹣，b＝；‎ ‎∴y＝﹣x2+x+3；‎ ‎（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，‎ 把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，‎ ‎∴y＝﹣mx+5，‎ 联立y＝﹣mx+5，y＝﹣x2+x+3得：‎ ‎﹣mx+5＝﹣x2+x+3，‎ ‎∴x2﹣（2m+1）x+4＝0，‎ ‎∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，‎ ‎∵△CPQ的面积为3；‎ ‎∴S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，‎ 即HC（x2﹣x1）＝3，‎ ‎∴x2﹣x1＝3，‎ ‎∴﹣4x1x2＝9，‎ ‎∴（2m+1）2＝25，‎ ‎∴m＝2或m＝﹣3，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m＝2；‎ ‎（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，‎ ‎∴H（0，3m），‎ ‎∵y＝﹣mx+3m与y＝﹣x2+x+3相交于点P与Q，‎ ‎∴﹣mx+3m＝﹣x2+x+3，‎ ‎∴x＝3或x＝2m﹣2，‎ 当2m﹣2＜3时，有0＜m＜，‎ ‎∵点P在点Q的右边，‎ ‎∴P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），‎ ‎∴AQ的直线解析式为y＝x+5﹣2m，‎ ‎∴K（0，5﹣2m），‎ ‎∴HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，‎ ‎①当0＜m＜1时，如图①，HK＝5﹣5m，‎ ‎∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝HK（xP﹣xQ）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，‎ ‎②当1＜m＜时，如图②，HK＝5m﹣5，‎ ‎∴S△PQK＝﹣5m2+m﹣，‎ ‎③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞，‎ ‎∴P（2m﹣2，﹣2m2+5m），Q（3，0），K（0，0），‎ ‎∴S△PQK＝×KQ|yP|＝（2m2﹣5m）＝3m2﹣m，‎ 综上所述，S＝；‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．‎