2013年山东省菏泽市中考数学试题（含答案） 14页

‎2013年山东省菏泽市中考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题 ‎1．（2013菏泽）如果a的倒数是﹣1，那么a2013等于（　　）‎ ‎　 A．1 B．﹣1 C．2013 D．﹣2013‎ 考点：有理数的乘方；倒数．‎ 分析：先根据倒数的定义求出a的值，再根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．‎ 解答：解：∵（﹣1）×（﹣1）=1，‎ ‎∴﹣1的倒数是﹣1，a=﹣1，‎ ‎∴a2013=（﹣1）2013=﹣1．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了有理数的乘方的定义，﹣1的奇数次幂是﹣1．　‎ ‎2．（2013菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）‎ ‎　 A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°‎ 考点：剪纸问题．‎ 分析：折痕为AC与BD，∠BAD=120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．‎ ‎∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．‎ 故选D．‎ 点评：此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．　‎ ‎3．（2013菏泽）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ 考点：展开图折叠成几何体．‎ 分析：根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．‎ 解答：解：A．另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；‎ B．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；‎ C．折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；‎ D．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，不能有两个侧面在两三角形的同一侧．　‎ ‎4．（2013菏泽）在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：‎ 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎　 A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4‎ 考点：众数；中位数．‎ 分析：根据中位数和众数的定义，第8个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．‎ 解答：解：在这一组数据中1.65是出现次数最多的，‎ 故众数是1.65；‎ 在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.70，所以中位数是1.70．‎ 所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.70，1.65．‎ 故选A．‎ 点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．　‎ ‎5．（2013菏泽）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（　　）‎ ‎　 A．点A的左边 B．点A与点B之间 ‎　 C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边 考点：数轴．‎ 分析：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．‎ 解答：解：∵|a|＞|b|＞|c|，‎ ‎∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．　‎ ‎6．（2013菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过（　　）‎ ‎　 A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 考点：一次函数图象与系数的关系．‎ 分析：首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．‎ 解答：解：∵k+b=﹣5、kb=6，‎ ‎∴k＜0，b＜0‎ ‎∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．　‎ ‎7．（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）‎ ‎　 A．16 B．17 C．18 D．19‎ 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．‎ 解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，‎ 根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，‎ ‎∴AC=2CD，CD==2，‎ ‎∴EC2=22+22，即EC=；‎ ‎∴S2的面积为EC2==8；‎ ‎∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，‎ ‎∴S1+S2=8+9=17．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．　‎ ‎8．（2013菏泽）已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（　　）‎ ‎　 A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ 考点：二次函数图象与系数的关系．‎ 专题：数形结合．‎ 分析：根据抛物线开口向上a＞0，抛物线开口向下a＜0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解．‎ 解答：解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=﹣=0，‎ 解得b=0，‎ 与b＜0相矛盾；‎ 第3个图，抛物线开口向上，a＞0，‎ 经过坐标原点，a2﹣1=0，‎ 解得a1=1，a2=﹣1（舍去），‎ 对称轴x=﹣=﹣＞0，‎ 所以b＜0，符合题意，‎ 故a=1，‎ 第4个图，抛物线开口向下，a＜0，‎ 经过坐标原点，a2﹣1=0，‎ 解得a1=1（舍去），a2=﹣1，‎ 对称轴x=﹣=﹣＞0，‎ 所以b＞0，不符合题意，‎ 综上所述，a的值等于1．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b＜0比较．　‎ 二．填空题9．（3分）（2013菏泽）明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为　4.68×106　．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：解：将4680000用科学记数法表示为4.68×106．‎ 故答案为：4.68×106．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　‎ ‎10．（2013菏泽）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为　　（结果保留π）．‎ 考点：弧长的计算．‎ 分析：直接利用弧长公式计算即可．‎ 解答：解：L===．‎ 点评：主要考查弧长公式L=．[常见错误]主要错误是部分学生与扇形面积公式S=混淆，得到π错误答案，或利用计算得到0.83π或0.833π的答案．　‎ ‎11．（2013菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=　3（a﹣2b）2　．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．‎ 解答：解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．‎ 故答案为：3（a﹣2b）2．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．　‎ ‎12．（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是　，（或介于和之间的任意两个实数）　（写出1个即可）．‎ 考点：等边三角形的性质．‎ 专题：新定义；开放型．‎ 分析：根据等边三角形的性质，‎ ‎（1）最长的面径是等边三角形的高线；‎ ‎（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．‎ 解答：解：如图，‎ ‎（1）等边三角形的高AD是最长的面径，‎ AD=×2=；‎ ‎（2）当EF∥BC时，EF为最短面径，‎ 此时，（）2=，‎ 即=，‎ 解得EF=．‎ 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）．‎ 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．‎ 点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．　‎ ‎13．（2013菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为　　．‎ 考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，‎ ‎∴BE=BD=1．‎ 如图2，连接BB′．‎ 根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．‎ ‎∴∠BEB′=90°，‎ ‎∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．‎ 又∵BE=DE，B′E⊥BD，‎ ‎∴DB′=BB′=．‎ 故答案是：．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．　‎ ‎14．（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　12　．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．‎ 分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．‎ 解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，‎ ‎∵E、F分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∴∠M=∠CBM，‎ ‎∵BQ是∠CBP的平分线，‎ ‎∴∠PBM=∠CBM，‎ ‎∴∠M=∠PBM，‎ ‎∴BP=PM，‎ ‎∴EP+BP=EP+PM=EM，‎ ‎∵CQ=CE，‎ ‎∴EQ=2CQ，‎ 由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴EM=2BC=2×6=12，‎ 即EP+BP=12．‎ 故答案为：12．‎ 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．　‎ 三．解答题15．（12分）（2013菏泽）（1）计算：‎ ‎（2）解不等式组，并指出它的所有非负整数解．‎ 考点：解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．‎ 分析：（1）求出每部分的值，再代入求出即可；‎ ‎（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．‎ 解答：解：（1）原式=﹣3×+1+2+‎ ‎=2+；‎ ‎（2）‎ ‎∵解不等式①得：x＞﹣2，‎ 解不等式②得：x≤，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣2＜x≤，‎ ‎∴不等式组的非负整数解为0，1，2．‎ 点评：本题考查了二次根式的性质，零整数指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解不等式的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，解第（1）小题的关键是求出各个部分的值．　‎ ‎16．（2013菏泽）（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．‎ ‎①求证：△ABE≌△CBD；‎ ‎②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．‎ ‎（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；‎ 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．‎ 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；分式方程的应用．‎ 专题：工程问题；证明题．‎ 分析：（1）①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可；‎ ‎②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；‎ ‎（2）设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．‎ 解答：（1）①证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，‎ ‎∴∠ABE=∠CBD=90°，‎ 在△ABE和△CBD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CBD（SAS）；‎ ‎②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠CAB=45°，‎ ‎∵∠CAE=30°，‎ ‎∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，‎ ‎∵△ABE≌△CBD，‎ ‎∴∠BCD=∠BAE=15°，‎ ‎∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°；‎ ‎（2）解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，‎ 根据题意得，﹣=10，‎ 解得x=40，‎ 经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意，‎ ‎1．5x=1.5×40=60，‎ 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．‎ 点评：本题（1）考查了全等三角形的判定与性质，是基础题；（2）考查了分式方程的应用，找出等量关系为两工厂的工作时间的差为10天是解题的关键．　‎ ‎17．（2013菏泽）（1）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式的值．‎ ‎（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．‎ ‎①根据图象求k的值；‎ ‎②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；分式的化简求值．‎ 分析：（1）根据方程的解得出m2﹣m﹣2=0，m2﹣2=m，变形后代入求出即可；‎ ‎（2）①求出A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可；‎ ‎②以A或B为直角顶点求出P的坐标是（0，2）和（0，﹣2），以P为直角顶点求出P的坐标是（0，），（0，﹣）．‎ 解答：解：（1）∵m是方程x2﹣x﹣2=0的根，‎ ‎∴m2﹣m﹣2=0，m2﹣2=m，‎ ‎∴原式=（m2﹣m）（+1）‎ ‎=2×（+1）=4．‎ ‎（2）①把x=﹣1代入y=﹣x得：y=1，‎ 即A的坐标是（﹣1，1），‎ ‎∵反比例函数y=经过A点，‎ ‎∴k=﹣1×1=﹣1；‎ ‎②点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．‎ 点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想．　‎ ‎18．（2013菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．‎ 考点：切线的判定与性质；解直角三角形．‎ 分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；‎ ‎（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4．‎ 解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）．‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=∠CAD=90°．‎ ‎∵E是CD的中点，‎ ‎∴CE=DE=AE．‎ ‎∴∠ECA=∠EAC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA．‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴CD⊥OC．‎ ‎∴∠ECA+∠OCA=90°．‎ ‎∴∠EAC+∠OAC=90°．‎ ‎∴OA⊥AP．‎ ‎∵A是⊙O上一点，‎ ‎∴AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）知OA⊥AP．‎ 在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，‎ ‎∴sinP==，‎ ‎∴∠P=30°．‎ ‎∴∠AOP=60°．‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠ACO=60°．‎ 在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，‎ ‎∴AC==2，‎ 又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，‎ ‎∴CD===4．‎ 点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．　‎ ‎19．（2013菏泽）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．‎ ‎（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ 试估计“厨余垃圾”投放正确的概率．‎ 考点：列表法与树状图法．‎ 分析：（1）根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9，投放正确有3种，进而求出垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）由题意和概率的定义易得所求概率．‎ 解答：解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：‎ 由树状图可知垃圾投放正确的概率为；‎ ‎（2）“厨余垃圾”投放正确的概率为．‎ 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比　‎ ‎20．（2013菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．‎ ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．‎ 考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．‎ 专题：证明题．‎ 分析：（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△=（4k+1）2﹣4k（3k+3），配方得△=（2k﹣1）2，而k是整数，则2k﹣1≠0，得到△=（2k﹣1）2＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+，而k是整数，x1＜x2，则有x1=1+，x2=3，于是得到y=3﹣（1+）=2﹣．‎ 解答：（1）证明：k≠0，‎ ‎△=（4k+1）2﹣4k（3k+3）‎ ‎=（2k﹣1）2，‎ ‎∵k是整数，‎ ‎∴k≠，2k﹣1≠0，‎ ‎∴△=（2k﹣1）2＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）解：y是k的函数．‎ 解方程得，x==，‎ ‎∴x=3或x=1+，‎ ‎∵k是整数，‎ ‎∴≤1，‎ ‎∴1+≤2＜3．‎ 又∵x1＜x2，‎ ‎∴x1=1+，x2=3，‎ ‎∴y=3﹣（1+）=2﹣．‎ 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了利用公式法解一元二次方程．　‎ ‎21．（2013菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．‎ ‎（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；‎ ‎（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？‎ ‎②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？‎ 考点：二次函数综合题．‎ 分析：（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．‎ ‎（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；‎ ‎②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．‎ 解答：解：（1）由y=﹣x+3，‎ 令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；‎ 令y=0，得x=4，所以点C（4，0），‎ ‎∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，‎ ‎∴B点坐标为（﹣4，0），‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴D点坐标为（8，3），‎ 将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，‎ 解得：，‎ 故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．‎ ‎（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，‎ ‎∵PQ⊥AC，‎ ‎∴△APQ∽△CAO，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：t=．‎ 即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．‎ ‎②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，‎ ‎∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，‎ 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，‎ 设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，‎ 解得：h=（5﹣t），‎ ‎∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，‎ 故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．‎ 点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．　‎