2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】 10页

‎2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1. 在‎-1‎，‎0‎，π，‎3‎这四个数中，最大的数是（ ）‎ A.‎-1‎ B.‎0‎ C.π D.‎‎3‎ ‎2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为‎2900000000km，数字‎2900000000‎用科学记数法表示为（ ）‎ A.‎2.9×‎‎10‎‎8‎ B.‎2.9×‎‎10‎‎9‎ C.‎29×‎‎10‎‎8‎ D.‎‎0.29×‎‎10‎‎10‎ ‎3. 若‎|x+2|+(y-3‎‎)‎‎2‎＝‎0‎，则x-y的值为（ ）‎ A.‎-5‎ B.‎5‎ C.‎1‎ D.‎‎-1‎ ‎4. 函数y=‎‎2x的自变量x的取值范围是（ ）‎ A.x≤0‎ B.x≠0‎ C.x≥0‎ D.‎x≥‎‎1‎‎2‎ ‎5. 已知正比例函数y＝k‎1‎x和反比例函数y=‎k‎2‎x，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k‎1‎‎⋅k‎2‎>0‎的是（ ）‎ A.①② B.①④ C.②③ D.③④‎ ‎6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字‎5‎所在的面相对的面上标的数字为（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎7. 在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：‎9.5‎，‎9.4‎，‎9.6‎，‎9.9‎，‎9.3‎，‎9.7‎，‎9.0‎（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）‎ A.平均分 B.方差 C.中位数 D.极差 ‎8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为‎1:3‎，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）‎ A.‎1:1‎ B.‎1:3‎ C.‎1:6‎ D.‎‎1:9‎ ‎9. 已知两个直角三角形的三边长分别为‎3‎，‎4‎，m和‎6‎，‎8‎，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）‎ A.‎10+‎‎7‎或‎5+2‎‎7‎ B.‎15‎ C.‎10+‎‎7‎ D.‎‎15+3‎‎7‎ ‎10. 如图，在边长为‎2‎的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y=‎‎5‎‎2‎时，x的值为（ ）‎ A.‎7‎‎4‎或‎2+‎‎2‎‎2‎ B.‎10‎‎2‎或‎2-‎‎2‎‎2‎ C.‎2±‎‎2‎‎2‎ D.‎7‎‎4‎或‎10‎‎2‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11. 点P(2, 3)‎关于y轴的对称点Q的坐标为________．‎ ‎12. 分解因式：a‎3‎‎-4a＝________．‎ ‎13. 一个周长为‎16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为 ‎8‎ cm．‎ ‎14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若‎∠AOD＝‎108‎‎∘‎，则‎∠COB＝‎ ‎ 10 / 10‎ ‎________．‎ ‎15. 两个人做游戏：每个人都从‎-1‎，‎0‎，‎1‎这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为________．‎ ‎16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第‎20‎个图需要黑色棋子的个数为________．‎ ‎17. 已知关于x的一元二次方程：x‎2‎‎-2x-a＝‎0‎，有下列结论：‎ ‎①当a>-1‎时，方程有两个不相等的实根；‎ ‎②当a>0‎时，方程不可能有两个异号的实根；‎ ‎③当a>-1‎时，方程的两个实根不可能都小于‎1‎；‎ ‎④当a>3‎时，方程的两个实根一个大于‎3‎，另一个小于‎3‎．‎ 以上‎4‎个结论中，正确的个数为________．‎ ‎18. 如图，等边‎△ABC中，AB＝‎3‎，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为________．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19. 计算：‎|-5|-(1-π‎)‎‎0‎+(‎‎1‎‎3‎‎)‎‎-1‎．‎ ‎20. 先化简，再求值：‎(x+5)(x-1)+(x-2‎‎)‎‎2‎，其中x=‎‎3‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎21. 解方程：‎2xx-1‎‎-1=‎‎4‎x-1‎．‎ ‎22. 如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为‎45‎‎∘‎，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为‎75‎‎∘‎，测得建筑物AB的顶点A的俯角为‎30‎‎∘‎．若已知建筑物AB的高度为‎20‎米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到‎1m，参考数据：‎2‎‎≈1.414‎，‎3‎‎≈1.732‎）．‎ ‎23. 为了了解某校某年级‎1000‎名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了‎40‎名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过‎150‎次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式‎2a＝‎3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于‎120‎．请结合所给条件，回答下列问题．‎ ‎（1）求问题中的总体和样本容量；‎ ‎ 10 / 10‎ ‎（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；‎ ‎（3）如果一分钟跳绳次数在‎125‎次以上（不含‎125‎次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共‎1000‎名学生）‎ ‎24. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．‎ ‎（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；‎ ‎（2）若AD＝‎4‎，AB＝‎2‎，且MN⊥AC，求DM的长．‎ ‎25. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本‎15‎个，乙种笔记本‎20‎个，共花费‎250‎元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费‎5‎元．‎ ‎（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？‎ ‎（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共‎35‎个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价‎2‎元，乙种笔记本按上一次购买时售价的‎8‎折出售．如果班主任此次购买甲、乙两 ‎ 10 / 10‎ 种笔记本的总费用不超过上一次总费用的‎90%‎，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．‎ ‎26. 如图，反比例函数y=‎kx与一次函数y＝‎-x-(k+1)‎的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y=‎kx的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，‎△AEB的面积为‎6‎．‎ ‎（1）求反比例函数y=‎kx的表达式；‎ ‎（2）求点A，C的坐标和‎△AOC的面积．‎ ‎27. 如图，在‎△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的‎⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC ‎ 10 / 10‎ ‎，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．‎ ‎（1）求证：MN是‎⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：DN‎2‎＝BN⋅(BN+AC)‎；‎ ‎（3）若BC＝‎6‎，cosC=‎‎3‎‎5‎，求DN的长．‎ ‎28. 如图，抛物线y＝ax‎2‎+bx+12‎与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C(-1, 7)‎和点D(5, 7)‎．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，‎△CED的面积与‎△CAD的面积之比为‎1:7‎，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，‎△PFB的面积最大？并求出最大值；‎ ‎（3）在抛物线y＝ax‎2‎+bx+12‎上，当m≤x≤n时，y的取值范围是‎12≤y≤16‎，求m-n的取值范围．（直接写出结果即可）‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.C ‎5.B ‎6.B ‎7.C ‎8.D ‎9.A ‎10.A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11.‎‎(-2, 3)‎ ‎12.‎a(a+2)(a-2)‎ ‎13.‎‎8‎ ‎14.‎‎72‎‎∘‎ ‎15.‎‎5‎‎9‎ ‎16.‎‎440‎ ‎17.①③④‎ ‎18.‎2‎3‎π‎3‎．‎ 三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.‎‎|-5|-(1-π‎)‎‎0‎+(‎‎1‎‎3‎‎)‎‎-1‎ ‎＝‎‎5-1+3‎ ‎＝‎7‎．‎ ‎20.原式＝‎x‎2‎‎+4x-5+x‎2‎-4x+4‎ ‎＝‎2x‎2‎-1‎，‎ 当x=‎‎3‎时，原式＝‎2(‎3‎‎)‎‎2‎-1‎＝‎5‎．‎ ‎21.方程的两边同乘x-1‎，得：‎2x-x+1‎＝‎4‎，‎ 解这个方程，得：x＝‎3‎，‎ 经检验，x＝‎3‎是原方程的解，‎ ‎∴ 原方程的解是x＝‎3‎．‎ ‎22.两建筑物顶点A、C之间的距离约为‎35‎米．‎ ‎23.‎1000‎名学生一分钟的跳绳次数是总体，‎ ‎40‎名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；‎ 由题意所给数据可知：‎ ‎ 10 / 10‎ ‎50.5∼75.5‎的有‎4‎人，‎ ‎75.5∼100.5‎的有‎16‎人，‎ ‎∴ a+b＝‎40-4-16‎＝‎20‎，‎ ‎∵ ‎2a＝‎3b，‎ ‎∴ 解得a＝‎12‎，b＝‎8‎，‎ ‎1000×‎8‎‎40‎=200‎‎（人），‎ 答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是‎200‎人．‎ ‎24.证明：∵ 在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，‎ ‎∴ AD // BC，AO＝CO，‎ ‎∴ ‎∠OAM＝‎∠OCN，‎∠OMA＝‎∠ONC，‎ 在‎△AOM和‎△CON中，‎ ‎∠OAM=∠OCN‎∠AMO=∠CNOAO=CO‎ ‎‎，‎ ‎∴ ‎△AOM≅△CON(AAS)‎，‎ ‎∴ AM＝CN，‎ ‎∵ AM // CN，‎ ‎∴ 四边形ANCM为平行四边形；‎ ‎∵ 在矩形ABCD中，AD＝BC，‎ 由（1）知：AM＝CN，‎ ‎∴ DM＝BN，‎ ‎∵ 四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，‎ ‎∴ 平行四边形ANCM为菱形，‎ ‎∴ AM＝AN＝NC＝AD-DM，‎ ‎∴ 在Rt△ABN中，根据勾股定理，得 AN‎2‎‎＝AB‎2‎+BN‎2‎，‎ ‎∴ ‎(4-DM‎)‎‎2‎＝‎2‎‎2‎‎+DM‎2‎，‎ 解得DM=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎25.购买一个甲种笔记本需要‎10‎元，购买一个乙种笔记本需要‎5‎元 至多需要购买‎21‎个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为‎224‎元 ‎26.由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，‎ ‎∴ S‎△AOMS‎△ABE‎=(OAAB‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 又‎△AEB的面积为‎6‎，‎ ‎∴ S‎△AOM‎=‎1‎‎4‎S‎△ABE=‎1‎‎4‎×6=‎3‎‎2‎=‎1‎‎2‎|k|‎，‎ ‎∴ k＝‎-3‎，k＝‎3‎（舍去），‎ ‎∴ 反比例函数的关系式为y=-‎‎3‎x；‎ 由k＝‎-3‎可得一次函数y＝‎-x+2‎，由题意得，‎ y=-x+2‎y=-‎‎3‎x‎ ‎‎，解得，x‎1‎‎=3‎y‎1‎‎=-1‎‎ ‎，x‎2‎‎=-1‎y‎2‎‎=3‎‎ ‎，‎ 又A在第二象限，点C在第四象限，‎ ‎∴ 点A(-1, 3)‎，点C(3, -1)‎，（1）一次函数y＝‎-x+2‎与y轴的交点N的坐标为‎(0, 2)‎，‎ ‎∴ S‎△AOC＝S‎△CON‎+S‎△AON=‎1‎‎2‎×2×(1+3)‎＝‎4‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎27.如图，连接OD，‎ ‎∵ AB是直径，‎ ‎∴ ‎∠ADB＝‎90‎‎∘‎，‎ 又∵ AB＝AC，‎ ‎∴ BD＝CD，‎∠BAD＝‎∠CAD，‎ ‎∵ AO＝BO，BD＝CD，‎ ‎∴ OD // AC，‎ ‎∵ DM⊥AC，‎ ‎∴ OD⊥MN，‎ 又∵ OD是半径，‎ ‎∴ MN是‎⊙O的切线；‎ ‎∵ AB＝AC，‎ ‎∴ ‎∠ABC＝‎∠ACB，‎ ‎∵ ‎∠ABC+∠BAD＝‎90‎‎∘‎，‎∠ACB+∠CDM＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠CDM，‎ ‎∵ ‎∠BDN＝‎∠CDM，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠BDN，‎ 又∵ ‎∠N＝‎∠N，‎ ‎∴ ‎△BDN∽△DAN，‎ ‎∴ BNDN‎=‎DNAN，‎ ‎∴ DN‎2‎＝BN⋅AN＝BN⋅(BN+AB)‎＝BN⋅(BN+AC)‎；‎ ‎∵ BC＝‎6‎，BD＝CD，‎ ‎∴ BD＝CD＝‎3‎，‎ ‎∵ cosC=‎3‎‎5‎=‎CDAC，‎ ‎∴ AC＝‎5‎，‎ ‎∴ AB＝‎5‎，‎ ‎∴ AD=AB‎​‎‎2‎-BD‎​‎‎2‎=‎25-9‎=4‎，‎ ‎∵ ‎△BDN∽△DAN，‎ ‎∴ BNDN‎=DNAN=BDAD=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴ BN=‎3‎‎4‎DN，DN=‎3‎‎4‎AN，‎ ‎∴ BN=‎3‎‎4‎(‎3‎‎4‎AN)=‎9‎‎16‎AN，‎ ‎∵ BN+AB＝AN，‎ ‎∴ ‎9‎‎16‎AN+5‎＝‎AN ‎∴ AN=‎‎80‎‎7‎，‎ ‎∴ DN=‎3‎‎4‎AN=‎‎60‎‎7‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎28.把C(-1, 7)‎，D(5, 7)‎代入y＝ax‎2‎+bx+12‎，‎ 可得a-b+12=7‎‎25a+5b+12=7‎‎ ‎，‎ 解得a=-1‎b=4‎‎ ‎，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y＝‎-x‎2‎+4x+12‎．‎ 如图‎1‎中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．‎ 对于抛物线y＝‎-x‎2‎+4x+12‎，令y＝‎0‎，得到，x‎2‎‎-4x-12‎＝‎0‎，解得x＝‎-2‎或‎6‎，‎ ‎∴ A(-2, 0)‎，B(6, 0)‎，‎ ‎∵ D(5, 7)‎，‎ ‎∴ OA＝‎2‎，DN＝‎7‎，ON＝‎5‎，AN＝‎‎7‎ ‎∵ ‎△CED的面积与‎△CAD的面积之比为‎1:7‎，‎ ‎∴ DE:AD＝‎1:7‎，‎ ‎∴ AE:AD＝‎6:7‎，‎ ‎∵ EM // DN，‎ ‎∵ ENDN‎=AMAN=AEAD=‎‎6‎‎7‎，‎ ‎∴ EM‎7‎‎=AM‎7‎=‎‎6‎‎7‎，‎ ‎∴ AM＝EM＝‎6‎，‎ ‎∴ E(4, 6)‎，‎ ‎∴ 直线BE的解析式为y＝‎-3x+18‎，‎ 由y=-3x+18‎y=-x‎2‎+4x+12‎‎ ‎，解得x=6‎y=0‎‎ ‎或x=1‎y=15‎‎ ‎，‎ ‎∴ F(1, 15)‎，‎ 过点P作PQ // y轴交BF于Q，设P（t, -t‎2‎+4t+12‎_）则Q(t, -3t+18)‎，‎ ‎∴ PQ＝‎-t‎2‎+4t+12-(-3t+18)‎＝‎-t‎2‎+7t-6‎，‎ ‎∵ S‎△PBF‎=‎1‎‎2‎⋅(-t‎2‎+7t-6)⋅5=-‎5‎‎2‎(t-‎7‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎125‎‎8‎，‎ ‎∵ ‎-‎5‎‎2‎<0‎，‎ ‎∴ t=‎‎7‎‎2‎时，‎△BFP的面积最大，最大值为‎125‎‎8‎．‎ 对于抛物线y＝‎-x‎2‎+4x+12‎，当y＝‎16‎时，‎-x‎2‎+4x+12‎＝‎16‎，‎ 解得x‎1‎＝x‎2‎＝‎2‎，‎ 当y＝‎12‎时，‎-x‎2‎+4x+12‎＝‎12‎，解得x＝‎0‎或‎4‎，‎ 观察图‎2‎可知：当‎0≤x≤2‎或‎2≤x≤4‎时，‎12≤y≤16‎，‎ ‎∴ m＝‎0‎，n＝‎2‎或m＝‎2‎，n＝‎4‎，‎ ‎∴ m-n＝‎-2‎．‎ ‎ 10 / 10‎