2014年浙江省台州市中考数学试卷(含答案) 18页

浙江省台州市 2014 年中考数学试卷 　 一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．请选出各题中一个符合题意的正 确选项，不选，多选，错选，均不得分）　 1．（4 分）（2014•台州）计算﹣4×（﹣2）的结果是（　　） 　A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣2 考点：有理数的乘法． 分析：根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 解答：解：﹣4×（﹣2）， =4×2， =8． 故选 A． 点评：本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 　 2．（4 分）（2014•台州）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（　　） 　A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 解答：解；从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形， 故选：D． 点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 　 3．（4 分）（2014•台州）如图，跷跷板 AB 的支柱 OD 经过它的中点 O，且垂直与地面 BC， 垂足为 D，OD=50cm，当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为（　　） 　A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm 考点：三角形中位线定理 专题：应用题． 分析：判断出 OD 是△ABC 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 的一半可得 AC=2OD． 解答：解：∵O 是 AB 的中点，OD 垂直于地面，AC 垂直于地面， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OD=2×50=100cm． 故选 D． 点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的 关键． 　 4．（4 分）（2014•台州）下列整数中，与 最接近的是（　　） 　A．4 B．5 C．6 D．7 考点：估算无理数的大小 分析：根据 5 ，25 与 30 的距离小于 36 与 30 的距离，可得答案． 解答：解：与 最接近的是 5， 故选：B． 点评：本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关 键． 　 5．（4 分）（2014•台州）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 （　　） 　A． B． C． D． 考点：圆周角定理． 分析：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案． 解答：解：∵直径所对的圆周角等于直角， ∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 B． 故选 B． 点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 　 6．（4 分）（2014•台州）某品牌电插座抽样检查的合格率为 99%，则下列说法总正确的是 （　　） 　A．购买 100 个该品牌的电插座，一定有 99 个合格 　B．购买 1000 个该品牌的电插座，一定有 10 个不合格 　C．购买 20 个该品牌的电插座，一定都合格 　D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 考点：概率的意义． 分析：根据概率的意义，可得答案． 解答：解；A、B、C、说法都非常绝对，故 A、B、C 错误； D、即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格，说法合理，故 D 正确； 故选：D． 点评：本题考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念． 　 7．（4 分）（2014•台州）将分式方程 1﹣ = 去分母，得到正确的整式方程是（　　） 　A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3 考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：分式方程两边乘以最简公分母 x﹣1，即可得到结果． 解答：解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3， 故选 B 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 　 8．（4 分）（2014•台州）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度 v （单位：m/s）与运动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（　　） 　A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象 分析：一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度 v 越来越小，到达最高点是为 0，小球下落 时速度逐渐增加，据此选择即可． 解答：解：根据分析知，运动速度 v 先减小后增大， 故选：C． 点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．分析小球的运动过程是解题的关键． 　 9．（4 分）（2014•台州）如图，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分 线交对角线 AC 于点 E，连接 BE，FE，则∠EBF 的度数是（　　） 　A．45° B．50° C．60° D．不确定 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析：证明 Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据 BE=EF 即可解题． 解答：解：如图所示，过 E 作 HI∥BC，分别交 AB、CD 于点 H、I，则∠BHE=∠EIF=90°， ∵E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点， ∴EF=EB， ∵E 是∠BCD 角平分线上一点， ∴E 到 BC 和 CD 的距离相等，即 BH=EI， Rt△BHE 和 Rt△EIF 中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL）， ∴∠HBE=∠IEF， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF， ∴∠EBF=∠EFB=45°， 故选 A． 点评：本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，考 查了全等三角形对应角相等的性质． 　 10．（4 分）（2014•台州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm，把它沿着对角线 AC 方向 平移 1cm 得到菱形 EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为（　　） 　A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9 考点：菱形的性质；平移的性质 分析： 首先得出△MEC∽△DAC，则 = ，进而得出 = ，即可得出答案． 解答：解：∵ME∥AD， ∴△MEC∽△DAC， ∴ = ， ∵菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm，把它沿着对角线 AC 方向平移 1cm 得到菱形 EFGH， ∴AE=1cm，EC=3cm， ∴ =， ∴ = ， ∴图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为： = ． 故选：C． 点评：此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 =是解题关键． 　 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）（2014•台州）计算 x•2x2 的结果是　2x3　． 考点：单项式乘单项式． 分析：根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字 母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 解答：解：x•2x2=2x3． 故答案是：2x3． 点评：本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 　 12．（5 分）（2014•台州）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2 的度数是　55°　． 考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 分析：根据折叠性质得出∠2=∠EFG，求出∠BEF，根据平行线性质求出∠CFE，即可求出答 案． 解答： 解： 根据折叠得出∠EFG=∠2， ∵∠1=70°， ∴∠BEF=∠1=70°， ∵AB∥DC， ∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°， ∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°， 故答案为：55°． 点评：本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等的应用，解此题的关键是能根据 平行线性质求出∠CFE 的度数．! 　 13．（5 分）（2014•台州）因式分解 a3﹣4a 的结果是　a（a+2）（a﹣2）　． 考点：提公因式法与公式法的综合运用 专题：计算题． 分析：原式提取 a 后，利用平方差公式分解即可． 解答：解：原式=a（a2﹣4） =a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2）． 点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键． 　 14．（5 分）（2014•台州）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双（除颜色外其余都相同）， 在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是　　． 考点：列表法与树状图法 分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情 况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，它们恰好同色的有 4 种情况， ∴它们恰好同色的概率是： =． 故答案为：． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 15．（5 分）（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上 的两点 A、B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D，做 CD⊥AB 交外圆于点 C．测得 CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　50　cm． 考点：垂径定理的应用；勾股定理 分析：设点 O 为外圆的圆心，连接 OA 和 OC，根据 CD=10cm，AB=60cm，设设半径为 r， 则 OD=r﹣10，根据垂径定理得：r2=（r﹣10）2+302，求得 r 的值即可． 解答：解：如图，设点 O 为外圆的圆心，连接 OA 和 OC， ∵CD=10cm，AB=60cm， ∴设半径为 r，则 OD=r﹣10， 根据题意得：r2=（r﹣10）2+302， 解得：r=50， 故答案为 50． 点评：本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 　 16．（5 分）（2014•台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以 2，再除以它与 1 的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第 n 次运算的结果 yn=　 　（用含字母 x 和 n 的代数式表示）． 考点：分式的混合运算． 专题：图表型；规律型． 分析：将 y1 代入 y2 计算表示出 y2，将 y2 代入 y3 计算表示出 y3，归纳总结得到一般性规律 即可得到结果． 解答： 解：将 y1= 代入得：y2= = ； 将 y2= 代入得：y3= = ， 依此类推，第 n 次运算的结果 yn= ． 故答案为： 点评：此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键． 　 三、解答题（本题共 8 小题，第 17～20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22、23 题每题 12 分，第 24 题 14 分，共 80 分） 17．（8 分）（2014•台州）计算：|2 ﹣1|+（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 分析：分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实 数混合运算的法则进行计算即可； 解答：解：原式=2 ﹣1+1﹣ = ． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质 是解答此题的关键． 　 18．（8 分）（2014•台州）解不等式组： ，并把解集在如图数轴上表示出 来． 考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 解答： 解： ∵解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为 2＜x＜3， 在数轴上表示为： ． 点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集 的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集． 　 19．（8 分）（2014•台州）已知反比函数 y= ，当 x=2 时，y=3． （1）求 m 的值； （2）当 3≤x≤6 时，求函数值 y 的取值范围． 考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质 分析：（1）把 x、y 的值代入反比例函数解析式，通过方程来求 m 的值； （2）根据反比例函数图象的性质进行解答． 解答：解：（1）把 x=2 时，y=3 代入 y= ，得 3= ， 解得：m=﹣1； （2）由 m=﹣1 知，该反比例函数的解析式为：y=． 当 x=3 时，y=2； 当 x=6 时，y=1． ∴当 3≤x≤6 时，函数值 y 的取值范围是：1≤y≤2． 点评：本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上是 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程 　 20．（8 分）（2014•台州）如图 1 是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 2．雨刷 EF⊥AD，垂足为 A，AB=CD 且 AD=BC，这样能使雨刷 EF 在运动时，始终垂直于玻璃窗 下沿 BC，请证明这一结论． 考点：平行四边形的判定与性质．21 世纪教育网 专题：应用题． 分析：首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断． 解答：证明：∵AB=CD、AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC． 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解平行四边形的判定方法是关键． 　 21．（10 分）（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高 AC=500m 的 A 处出发，沿 这俯角为 15°的方向，直线滑行 1600 米到达 D 点，然后打开降落伞以 75°的俯角降落到地面 上的 B 点．求他飞行的水平距离 BC（结果精确到 1m）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：首先过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，进而里锐角三角函数关系 得出 DE、AE 的长，即可得出 DF 的长，求出 BC 即可． 解答：解：过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F， 由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m， ∴cos∠ADE=cos15°= ≈0.97， ∴ ≈0.97， 解得：DE=1552（m）， sin15°= ≈0.26， ∴ ≈0.26， 解得；AE=416（m）， ∴DF=500﹣416=84（m）， ∴tan∠BDF=tan15°= ≈0.27， ∴ ≈0.27， 解得：BF=22.68（m）， ∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m）， 答：他飞行的水平距离为 1575m． 点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出 CF，BF 的长是解题 关键． 　 22．（12 分）（2014•台州）为了估计鱼塘中成品鱼（个体质量在 0.5kg 及以上，下同）的总 质量，先从鱼塘中捕捞 50 条成品鱼，称得它们的质量如表： 质量/kg 0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9 数量/条 1 8 15 18 5 1 2 然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了 100 条成品鱼，发现其中 2 条带有记号． （1）请根据表中数据补全如图的直方图（各组中数据包括左端点不包括右端点）． （2）根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最 大？ （3）根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ （4）请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量（精确到 1kg）． 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体． 分析：（1）由函数图象可以得出 1.1﹣1.4 的有 5 条，就可以补全直方图； （2）分别求出各组的频率，就可以得出结论； （3）由这组数据的个数为 50，就可以得出第 25 个和第 26 个数的平均数就可以得出 结论； （4）设鱼塘中成品鱼的总质量为 x，根据作记号的鱼 50：x=2：100 建立方程求出其 解即可． 解答：解：（1）由函数图象可以得出 1.1﹣1.4 的有 5 条，补全图形，得： （2）由题意，得 0.5﹣0.8 的频率为：24÷50=0.48， 0.8﹣1.1 的频率为：18÷50=0.36， 1.1﹣1.4 的频率为：5÷50=0.1， 1.4﹣1.7 的频率为：1÷50=0.02， 1.7﹣2.0 的频率为：2÷50=0.04． ∵0.48＞0.36＞0.1＞0.04＞0.02． ∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在 0.5﹣0.8 的可能性最大； （3）这组数据的个数为 50，就可以得出第 25 个和第 26 个数分别是 1.0，1.0， ∴（1.0+1.0）÷2=1.0 鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在 0.8﹣1.1 内； （4）设鱼塘中成品鱼的总质量为 x，由题意，得 50：x=2：100， 解得：x=2500． 2500× =2260kg． 点评：本题考查了频数分布直方图的运用，比较频率大小的运用，中位数的运用，平均数的 运用，由样本数据估计总体数据的运用，解答时认真分析统计表和统计图的数据是关 键． 　 23．（12 分）（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分 拣成 A、B 两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成 本为 1 万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量 x （x≥2）之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用 s（单位：万元）与加工数量 t（单位： 吨）之间的函数关系是 s=12+3t，平均销售价格为 9 万元/吨． （1）直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式； （2）第一次，该公司收购了 20 吨杨梅，其中 A 类杨梅有 x 吨，经营这批杨梅所获得的毛 利润为 w 万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求 w 关于 x 的函数关系式； ②若该公司获得了 30 万元毛利润，问：用于直销的 A 类杨梅有多少吨？ （3）第二次，该公司准备投入 132 万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润， 并求出最大毛利润． 考点：二次函数的应用 分析：（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式； （2）①当 2≤x＜8 时及当 x≥8 时，分别求出 w 关于 x 的表达式．注意 w=销售总收入 ﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20； ②若该公司获得了 30 万元毛利润，将 30 万元代入①中求得的表达式，求出 A 类杨 梅的数量； （3）本问是方案设计问题，总投入为 132 万元，这笔 132 万元包括购买杨梅的费用 +A 类杨梅加工成本+B 类杨梅加工成本．共购买了 m 吨杨梅，其中 A 类杨梅为 x 吨，B 类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当 2≤x＜8 时及当 x≥8 时 w 关于 x 的表达式，并分别 求出其最大值． 解答：解：（1）①当 2≤x＜8 时，如图， 设直线 AB 解析式为：y=kx+b，将 A（2，12）、B（8，6）代入得： ，解得 ， ∴y=﹣x+14； ②当 x≥8 时，y=6． ∴A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为： y= ． （2）设销售 A 类杨梅 x 吨，则销售 B 类杨梅（20﹣x）吨． ①当 2≤x＜8 时， wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x； wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x2+7x+48； 当 x≥8 时， wA=6x﹣x=5x； wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =（5x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x+48． ∴w 关于 x 的函数关系式为： w= ． ②当 2≤x＜8 时，﹣x2+7x+48=30，解得 x1=9，x2=﹣2，均不合题意； 当 x≥8 时，﹣x+48=30，解得 x=18． ∴当毛利润达到 30 万元时，直接销售的 A 类杨梅有 18 吨． （3）设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅，其中 A 类杨梅为 x 吨，B 类杨梅为 （m﹣x）吨， 则购买费用为 3m 万元，A 类杨梅加工成本为 x 万元，B 类杨梅加工成本为[12+3 （m﹣x）]万元， ∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60． ①当 2≤x＜8 时， wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x； wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m =﹣x2+7x+3m﹣12． 将 3m=x+60 代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64 ∴当 x=4 时，有最大毛利润 64 万元， 此时 m= ，m﹣x= ； ②当 x＞8 时， wA=6x﹣x=5x； wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m =﹣x+3m﹣12． 将 3m=x+60 代入得：w=48 ∴当 x＞8 时，有最大毛利润 48 万元． 综上所述，购买杨梅共 吨，其中 A 类杨梅 4 吨，B 类 吨，公司能够获得最大毛 利润，最大毛利润为 64 万元． 点评：本问是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、 利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论． 　 24．（14 分）（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性 质和判定． 定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形． （1）研究性质 ①如图 1，等角六边形 ABCDEF 中，三组正对边 AB 与 DE，BC 与 EF，CD 与 AF 分别有 什么位置关系？证明你的结论 ②如图 2，等角六边形 ABCDEF 中，如果有 AB=DE，则其余两组正对边 BC 与 EF，CD 与 AF 相等吗？证明你的结论 ③如图 3，等角六边形 ABCDEF 中，如果三条正对角线 AD，BE，CF 相交于一点 O，那么 三组正对边 AB 与 DE，BC 与 EF，CD 与 AF 分别有什么数量关系？证明你的结论． （2）探索判定 三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为 120°，才能保证六边形一定是等角六 边形？ 考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与 性质；相似三角形的判定与性质 专题：证明题；新定义；探究型． 分析：（1）通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行．要证明两条线段平行，只需证 明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，要证 AB∥DE，只需连接 AD，证明 ∠ADE=∠DAB 即可，其它两组同理可得． （2）要证 BC=EF，CD=AF，只需连接 AE、BD，证明△AFE≌△DCB 即可． （3）由条件“三条正对角线 AD，BE，CF 相交于一点 O“及（1）中的结论可证到 = ，将等角六边形 ABCDEF 补成等边三角形后，可以证到 AB+AF=DE+DC，从而得到三组正对边分别相等． （4）若只有 1 个内角为 120°或有 2 个内角为 120°，可以通过举反例说明该六边形不 一定是等角六边形；若有 3 个内角为 120°，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等 角六边形． 解答：解：（1）①结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF． 证明：连接 AD，如图 1， ∵六边形 ABCDEF 是等角六边形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B= =120°． ∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°． ∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE． 同理 BC∥EF，CD∥AF． ②结论：EF=BC，AF=DC． 证明：连接 AE、DB，如图 2， ∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形 ABDE 是平行四边形． ∴AE=DB，∠EAB=∠BDE． ∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB． 在△AFE 和△DCB 中， ． ∴△AFE≌△DCB． ∴EF=BC，AF=DC． ③结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC． 延长 FE、CD 相交于点 P，延长 EF、BA 相交于点 Q，延长 DC、AB 相交于点 S，如 图 3． ∵六边形 ABCDEF 是等角六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°． ∴△QAF 是等边三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF． 同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED． ∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ 是等边三角形．∴PQ=QS=SP． ∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC． ∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴ ． 同理： ， ． ∴ ． ∴ = =1． ∴AB=ED，AF=DC，EF=BC． （2）连接 BF，如图 4， ∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°． ∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°． 同理：∠A+∠ABC+∠C=360°． ∴∠AFE=∠C． 同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E． Ⅰ．若只有 1 个内角等于 120°，不能保证该六边形一定是等角六边形． 反例：当∠A=120°，∠ABC=150°时，∠D=∠A∠=120°，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为 720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°． 此时该六边形不是等角六边形． Ⅱ．若有 2 个内角等于 120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形． 反例：当∠A=∠D=120°，∠ABC=150°时，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为 720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°． 此时该六边形不是等角六边形． Ⅲ．若有 3 个内角等于 120°，能保证该六边形一定是等角六边形． 设∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．则 2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°． ∵有 3 个内角等于 120°，∴α、β、γ 中至少有两个为 120°． 若 α、β、γ 都等于 120°，则六个内角都等于 120°； 若 α、β、γ 中有两个为 120°，根据 α+β+γ=360°可得第三个也等于 120°，则六个内角 都等于 120°． 综上所述：至少有 3 个内角等于 120°，能保证该六边形一定是等角六边形． 点评：本题引导学生对几何图形进行科学探究（从定义到性质到判定），考查了相似三角形、 全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识，考查了分类 讨论的思想，培养了学生的批判意识（举反例说明一个命题是假命题），是一道非常 难得的好题．