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- 2021-11-10 发布
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2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. -2的倒数是( )
A.-12 B.-2 C.12 D.2
2. 如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A.m2+2m=3m3 B.m4÷m2=m2 C.m2⋅m3=m6 D.( m2)3=m5
4. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 某校九年级进行了3次数学模拟考试,甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分,方差分别是s甲2=3.6,s乙2=4.6,s丙2=6.3,s丁2=7.3,则这4名同学3次数学成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,若∠1=20∘,则∠2的度数是( )
A.15∘ B.20∘ C.25∘ D.40∘
7. 一组数据1,8,8,4,6,4的中位数是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
8. 随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为( )
A.3000x=4200x-80 B.3000x+80=4200x
C.4200x=3000x-80 D.3000x=4200x+80
9. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8.BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是( )
A.2 B.52 C.3 D.4
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10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC=22,CD⊥AB于点D.点P从点A出发,沿A→D→C的路径运动,运动到点C停止,过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11. 截至2020年3月底,我国已建成5G基站198000个,将数据198000用科学记数法表示为________.
12. 若一次函数y=2x+2的图象经过点(3, m),则m=________.
13. 若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是________.
14. 如图是由全等的小正方形组成的图案,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是________.
15. 如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为________.
16. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为________.
17. 如图,在△ABC中,AB=AC,点A在反比例函数y=kx(k>0, x>0)的图象上,点B,C在x轴上,OC=15OB,延长AC交y轴于点D,连接BD,若△BCD的面积等于1,则k的值为________.
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18. 如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使AE=DA,连接EB,点F1是CD的中点,连接EF1,BF1,得到△EF1B;点F2是CF1的中点,连接EF2,BF2,得到△EF2B;点F3是CF2的中点,连接EF3,BF3,得到△EF3B;…;按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则△EFnB的面积为________2n+12n .(用含正整数n的式子表示)
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19. 先化简,再求值:(xx-3-13-x)÷x+1x2-9,其中x=2-3.
20. 为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时,将它分为4个等级:A(0≤x<2),B(2≤x<4),C (4≤x<6),D(x≥6),并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图:
请你根据统计图的信息,解决下列问题:
(1)本次共调查了________名学生;
(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为________∘;
(3)请补全条形统计图;
(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀,现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.
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四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21. 某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.
(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?
(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?
22. 如图,我国某海域有A,B两个港口,相距80海里,港口B在港口A的东北方向,点C处有一艘货船,该货船在港口A的北偏西30∘方向,在港口B的北偏西75∘方向,求货船与港口A之间的距离.(结果保留根号)
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五、解答题(满分12分)
23. 超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
六、解答题(满分12分)
24. 如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90∘,以点A为圆心,以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.
(1)求证:DE与⊙A相切;
(2)若∠ABC=60∘,AB=4,求阴影部分的面积.
七、解答题(满分12分)
25. 如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0∘<α<180∘),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合),作射线AD,并在射线AD上取一点E,使∠AEC=α,连接CE
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,BE.
(1)如图①,当点D在线段CB上,α=90∘时,请直接写出∠AEB的度数;
(2)如图②,当点D在线段CB上,α=120∘时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系,并说明理由;
(3)当α=120∘,tan∠DAB=13时,请直接写出CEBE的值.
八、解答题(满分14分)
26. 如图,抛物线y=ax2-23x+c(a≠0)过点O(0, 0)和A(6, 0).点B是抛物线的顶点,点D是x轴下方抛物线上的一点,连接OB,OD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,当∠BOD=30∘时,求点D的坐标;
(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段OD于点E,点F是线段OB上的动点(点F不与点O和点B重合),连接EF,将△BEF沿EF折叠,点B的对应点为点B',△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,H为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由.
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参考答案与试题解析
2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.A
2.C
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.D
9.B
10.A
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.1.98×105
12.8
13.k<-1
14.59
15.2
16.5
17.3
18.2n+12n
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.原式=(xx-3+1x-3)⋅(x+3)(x-3)x+1
=x+1x-3⋅(x+3)(x-3)x+1
=x+3,
当x=2-3时,原式=2-3+3=2.
20.50
108
C等级人数为50-(4+13+15)=18(名),
补全图形如下:
画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2,
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率212=16.
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21.每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元
12 / 12
学校最多可购买甲种词典5本
22.由题意得:∠ABC=180∘-75∘-45∘=60∘,
∵ AD⊥BC,
∴ ∠ADB=∠ADC=90∘,
在Rt△ABD中,∠DAB=90∘-60∘=30∘,AD=AB⋅sin∠ABD=80×sin60∘=80×32=403,
∵ ∠CAB=30∘+45∘=75∘,
∴ ∠DAC=∠CAB-∠DAB=75∘-30∘=45∘,
∴ △ADC是等腰直角三角形,
∴ AC=2AD=2×403=406(海里).
答:货船与港口A之间的距离是406海里.
五、解答题(满分12分)
23.设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据题意得:
12k+b=9014k+b=80 ,
解得:k=-5b=150 ,
∴ y与x之间的函数关系为y=-5x+150;
根据题意得:w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2+500,
∵ a=-5<0,
∴ 抛物线开口向下,w有最大值,
∴ 当x<20时,w随着x的增大而增大,
∵ 10≤x≤15且x为整数,
∴ 当x=15时,w有最大值,
即:w=-5×(15-20)+500=375,
答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润为375元.
六、解答题(满分12分)
24.证明:连接AE,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AD // BC,
∴ ∠DAE=∠AEB,
∵ AE=AB,
∴ ∠AEB=∠ABC,
∴ ∠DAE=∠ABC,
∴ △AED≅△BAC(AAS),
∴ ∠DEA=∠CAB,
∵ ∠CAB=90∘,
∴ ∠DEA=90∘,
∴ DE⊥AE,
∵ AE是⊙A的半径,
∴ DE与⊙A相切;
∵ ∠ABC=60∘,AB=AE=4,
∴ △ABE是等边三角形,
∴ AE=BE,∠EAB=60∘,
12 / 12
∵ ∠CAB=90∘,
∴ ∠CAE=90∘-∠EAB=90∘-60∘=30∘,∠ACB=90∘-∠B=90∘-60∘=30∘,
∴ ∠CAE=∠ACB,
∴ AE=CE,
∴ CE=BE,
∴ S△ABC=12AB⋅AC=12×4×43=83,
∴ S△ACE=12S△ABC=12×83=43,
∵ ∠CAE=30∘,AE=4,
∴ S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3,
∴ S阴影=S△ACE-S扇形AEF=43-4π3.
七、解答题(满分12分)
25.连接AC,如图①所示:
∵ α=90∘,∠ABC=α,∠AEC=α,
∴ ∠ABC=∠AEC=90∘,
∴ A、B、E、C四点共圆,
∴ ∠BCE=∠BAE,∠CBE=∠CAE,
∵ ∠CAB=∠CAE+∠BAE,
∴ ∠BCE+∠CBE=∠CAB,
∵ ∠ABC=90∘,AB=CB,
∴ △ABC是等腰直角三角形,
∴ ∠CAB=45∘,
∴ ∠BCE+∠CBE=45∘,
∴ ∠BEC=180∘-(∠BCE+∠CBE)=180∘-45∘=135∘,
∴ ∠AEB=∠BEC-∠AEC=135∘-90∘=45∘;
AE=3BE+CE,理由如下:
在AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图②所示:
∵ ∠ABC=∠AEC,∠ADB=∠CDE,
∴ 180∘-∠ABC-∠ADB=180∘-∠AEC-∠CDE,
∴ ∠A=∠C,
在△ABF和△CBE中,AF=CE∠A=∠CAB=CB ,
∴ △ABF≅△CBE(SAS),
∴ ∠ABF=∠CBE,BF=BE,
∴ ∠ABF+∠FBD=∠CBE+∠FBD,
∴ ∠ABD=∠FBE,
∵ ∠ABC=120∘,
∴ ∠FBE=120∘,
∵ BF=BE,
∴ ∠BFE=∠BEF=12×(180∘-∠FBE)=12×(180∘-120∘)=30∘,
∵ BH⊥EF,
∴ ∠BHE=90∘,FH=EH,
在Rt△BHE中,BH=12BE,FH=EH=3BH=32BE,
∴ EF=2EH=2×32BE=3BE,
∵ AE=EF+AF,AF=CE,
12 / 12
∴ AE=3BE+CE;
分两种情况:
①当点D在线段CB上时,
在AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图②所示:
由(2)得:FH=EH=32BE,
∵ tan∠DAB=BHAH=13,
∴ AH=3BH=32BE,
∴ CE=AF=AH-FH=32BE-32BE=3-32BE,
∴ CEBE=3-32;
②当点D在线段CB的延长线上时,
在射线AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图③所示:
同①得:FH=EH=32BE,AH=3BH=32BE,
∴ CE=AF=AH+FH=32BE+32BE=3+32BE,
∴ CEBE=3+32;
综上所述,当α=120∘,tan∠DAB=13时,CEBE的值为3-32或3+32.
八、解答题(满分14分)
26.把点O(0, 0)和A(6, 0)代入y=ax2-23x+c中,
得到c=036a-123+c=0 ,
解得a=33c=0 ,
∴ 抛物线的解析式为y=33x2-23x.
如图①中,设抛物线的对称轴交x轴于M,与OD交于点N.
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∵ y=33x2-23x=33(x-3)2-33,
∴ 顶点B(3, -33),M(3, 0),
∴ OM=3.BM=33,
∴ tan∠MOB=BMOM=3,
∴ ∠MOB=60∘,
∵ ∠BOD=30∘,
∴ ∠MON=∠MOB-∠BOD=30∘,
∴ MN=OM⋅tam30∘=3,
∴ N(3, -3),
∴ 直线ON的解析式为y=-33x,
由y=-33xy=33x2-23x ,解得x=0y=0 或x=5y=-533 ,
∴ D(5, -533).
如图②-1中,当∠EFG=90∘时,点H在第一象限,此时G,B',O重合,F(-32, -332),E(3, -3),可得H(32, 32).
如图②-2中,当∠EGF=90∘时,点H在对称轴右侧,可得H(72, -332).
如图②-3中当∠FGE=90∘时,点H在对称轴左侧,点B'在对称轴上,可得H(52, -332).
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综上所述,满足条件的点H的坐标为(32, 32)或(52, -333)或(72, -332).
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