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  • 2021-11-10 发布

中考数学选择填空压轴题汇编:函数综合结论

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‎2020年中考数学选择填空压轴题汇编:函数综合结论 ‎1.(2020•福建)设A,B,C,D是反比例函数y‎=‎kx图象上的任意四点,现有以下结论:‎ ‎①四边形ABCD可以是平行四边形;‎ ‎②四边形ABCD可以是菱形;‎ ‎③四边形ABCD不可能是矩形;‎ ‎④四边形ABCD不可能是正方形.‎ 其中正确的是 ①④ .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【解答】解:如图,过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A,C,B,D,得到四边形ABCD.‎ 由对称性可知,OA=OC,OB=OD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ 当OA=OC=OB=OD时,四边形ABCD是矩形.‎ ‎∵反比例函数的图象在一,三象限,‎ ‎∴直线AC与直线BD不可能垂直,‎ ‎∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形,‎ 故选项①④正确,‎ 故答案为①④‎ ‎2.(2020•广东)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:‎ ‎①abc>0;②b2﹣4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0,‎ 正确的有(  )‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎【解答】解:由抛物线的开口向下可得:a<0,‎ 根据抛物线的对称轴在y轴右边可得:a,b异号,所以b>0,‎ 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c>0,‎ ‎∴abc<0,故①错误;‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点,‎ ‎∴b2﹣4ac>0,故②正确;‎ ‎∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以‎-b‎2a=‎1,可得b=﹣2a,‎ 由图象可知,当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0,‎ ‎∴4a﹣2×(﹣2a)+c<0,‎ 即8a+c<0,故③正确;‎ 由图象可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0;当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,‎ 两式相加得,5a+b+2c>0,故④正确;‎ ‎∴结论正确的是②③④3个,‎ 故选:B.‎ ‎3.(2020•玉林)已知:函数y1=|x|与函数y2‎=‎‎1‎‎|x|‎的部分图象如图所示,有以下结论:‎ ‎①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;‎ ‎②当x<﹣1时,y1>y2;‎ ‎③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;‎ ‎④函数y=y1+y2的最小值是2.‎ 则所有正确结论的序号是 ②③④ .‎ ‎【解答】解:补全函数图象如图:‎ ‎①当x<0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小;‎ 故①错误;‎ ‎②当x<﹣1时,y1>y2;‎ 故②正确;‎ ‎③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;‎ 故③正确;‎ ‎④由图象可知,函数y=y1+y2的最小值是2,‎ 故④正确.‎ 综上所述,正确的结论是②③④.‎ 故答案为②③④.‎ ‎4.(2020•遵义)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点(﹣4,0)和点(﹣3,0)之间,其部分图象如图所示,下列结论中正确的个数有(  )‎ ‎①4a﹣b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根;④b2+2b>4ac.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x‎=-b‎2a=-‎2,‎ ‎∴4a﹣b=0,所以①正确;‎ ‎∵与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,‎ ‎∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,‎ ‎∴x=﹣1时y>0,且b=4a,‎ 即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,‎ ‎∴c>3a,所以②错误;‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点,且顶点为(﹣2,3),‎ ‎∴抛物线与直线y=2有两个交点,‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根,所以③正确;‎ ‎∵抛物线的顶点坐标为(﹣2,3),‎ ‎∴‎4ac-‎b‎2‎‎4a‎=‎3,‎ ‎∴b2+12a=4ac,‎ ‎∵4a﹣b=0,‎ ‎∴b=4a,‎ ‎∴b2+3b=4ac,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴b=4a<0,‎ ‎∴b2+2b>4ac,所以④正确;‎ 故选:C.‎ ‎5.(2020•大兴安岭)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:‎ ‎①ac<0;‎ ‎②4a﹣2b+c>0;‎ ‎③当x>2时,y随x的增大而增大;‎ ‎④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:抛物线开口向上,因此a>0,与y轴交于负半轴,因此c<0,故ac<0,所以①正确;‎ 抛物线对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,所以②不正确;‎ x>1时,y随x的增大而增大,所以③正确;‎ 抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以④正确;‎ 综上所述,正确的结论有:①③④,‎ 故选:C.‎ ‎6.(2020•牡丹江)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B(4,0),则下列结论中,正确的个数是(  )‎ ‎①abc>0;‎ ‎②4a+b>0;‎ ‎③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0<x1<x2,则y1>y2;‎ ‎④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m);⑤若AB≥3,则4b+3c>0.‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【解答】解:如图,抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,‎ ‎∴a<0,c<0,‎-b‎2a>0‎,∴b>0,‎ ‎∴abc>0,故①正确;‎ 如图,∵抛物线过点B(4,0),点A在x轴正半轴,‎ ‎∴对称轴在直线x=2右侧,即‎-b‎2a>2‎,‎ ‎∴‎2+b‎2a=‎4a+b‎2a<0‎,又a<0,∴4a+b>0,故②正确;‎ ‎∵M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,0<x1<x2,‎ 可得:抛物线y=ax2+bx+c在‎0<x<-‎b‎2a上,y随x的增大而增大,‎ 在x>-‎b‎2a上,y随x的增大而减小,‎ ‎∴y1>y2不一定成立,故③错误;‎ 若抛物线对称轴为直线x=3,则‎-b‎2a=3‎,即b=﹣6a,‎ 则a(m﹣3)(m+3)﹣b(3﹣m)=a(m﹣3)2≤0,‎ ‎∴a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m),故④正确;∵AB≥3,则点A的横坐标大于0或小于等于1,‎ 当x=1时,代入,y=a+b+c≥0,‎ 当x=4时,16a+4b+c=0,‎ ‎∴a‎=‎‎4b+c‎-16‎,‎ 则‎4b+c‎-16‎‎+b+c≥0‎,整理得:4b+5c≥0,则4b+3c≥﹣2c,又c<0,‎ ‎﹣2c>0,‎ ‎∴4b+3c>0,故⑤正确,‎ 故正确的有4个.‎ 故选:B.‎ ‎7.(2020•恩施州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0)两点.则以下结论:①ac>0;②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=﹣1;③2a+c=0;④a﹣b+c>0.其中正确的有(  )个.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:对于①:二次函数开口向下,故a<0,与y轴的交点在y的正半轴,故c>0,故ac<0,因此①错误;‎ 对于②:二次函数的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0),由对称性可知,其对称轴为:x=‎-2+1‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎,因此②错误;‎ 对于③:设二次函数y=ax2+bx+c的交点式为y=a(x+2)(x﹣1)=ax2+ax﹣2a,比较一般式与交点式的系数可知:b=a,c=﹣2a,故2a+c=0,因此③正确;‎ 对于④:当x=﹣1时对应的y=a﹣b+c,观察图象可知x=﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方,故a﹣b+c>0,因此④正确.‎ ‎∴只有③④是正确的.‎ 故选:C.‎ ‎8.(2020•荆门)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B,顶点为C,对称轴为直线x=1,给出下列结论:①abc<0;②若点C的坐标为(1,2),则△ABC的面积可以等于2;③M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x2),若x1+x2>2,则y1<y2; ④若抛物线经过点(3,﹣1),则方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3.其中正确结论的序号为 ①④ .‎ ‎【解答】解:①抛物线的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c>0,故abc<0,正确,符合题意;‎ ‎②△ABC的面积‎=‎‎1‎‎2‎AB•yC‎=‎1‎‎2‎×‎AB×2=2,解得:AB=2,则点A(0,0),即c=0与图象不符,故②错误,不符合题意;‎ ‎③函数的对称轴为x=1,若x1+x2>2,则‎1‎‎2‎(x1+x2)>1,则点N离函数对称轴远,故y1>y2,故②错误,不符合题意;‎ ‎④抛物线经过点(3,﹣1),则y′=ax2+bx+c+1过点(3,0),‎ 根据函数的对称轴该抛物线也过点(﹣1,0),故方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3,故④正确,符合题意;‎ 故答案为:①④.‎ ‎9.(2020•随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论:‎ ‎①2a+b=0;‎ ‎②2c<3b;‎ ‎③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;‎ ‎④当△BCD是直角三角形时,a‎=-‎‎2‎‎2‎.‎ 其中正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,‎ ‎∴对称轴为直线x‎=-b‎2a=‎1,‎ ‎∴b=﹣2a,‎ ‎∴2a+b=0,故①正确,‎ 当x=1时,0=a﹣b+c,‎ ‎∴a+2a+c=0,‎ ‎∴c=﹣3a,‎ ‎∴2c=3b,故②错误;‎ ‎∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a,(a<0)‎ ‎∴点C(0,﹣3a),‎ 当BC=AB时,4‎=‎‎9+9a‎2‎,‎ ‎∴a‎=-‎‎7‎‎3‎,‎ 当AC=BC时,4‎=‎‎1+9a‎2‎,‎ ‎∴a‎=-‎‎15‎‎3‎,‎ ‎∴当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个,故③正确;‎ ‎∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,‎ ‎∴顶点D(1,4a),‎ ‎∴BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2=a2+1,‎ 若∠BDC=90°,可得BC2=BD2+CD2,‎ ‎∴9+9a2=4+16a2+a2+1,‎ ‎∴a‎=-‎‎2‎‎2‎,‎ 若∠DCB=90°,可得BD2=CD2+BC2,‎ ‎∴4+16a2=9+9a2+a2+1,‎ ‎∴a=﹣1,‎ ‎∴当△BCD是直角三角形时,a=﹣1或‎-‎‎2‎‎2‎,故④错误.‎ 故选:B.‎ ‎10.(2020•武汉)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,下列四个结论:‎ ‎①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=﹣4;‎ ‎②若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;‎ ‎③对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b;‎ ‎④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.‎ 其中正确的结论是 ①③ (填写序号).‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,‎ ‎∴当y=0时,0=ax2+bx+c的两个根为x1=2,x2=﹣4,故①正确;‎ 该抛物线的对称轴为直线x‎=‎2+(-4)‎‎2‎=-‎1,函数图象开口向下,若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1>y2,故②错误;‎ 当x=﹣1时,函数取得最大值y=a﹣b+c,故对于任意实数t,总有at2+bt+c≤a﹣b+c,即对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b,故③正确;‎ 对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1,故p的值有三个,故④错误;‎ 故答案为:①③.‎ ‎11.(2020•襄阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:‎ ‎①ac<0;②3a+c=0;③4ac﹣b2<0;④当x>﹣1时,y随x的增大而减小.‎ 其中正确的有(  )‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎【解答】解:①∵抛物线开口向上,且与y轴交于负半轴,‎ ‎∴a>0,c<0,‎ ‎∴ac<0,结论①正确;‎ ‎②∵抛物线对称轴为直线x=1,‎ ‎∴‎-b‎2a=‎1,‎ ‎∴b=﹣2a,‎ ‎∵抛物线经过点(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b+c=0,‎ ‎∴a+2a+c=0,即3a+c=0,结论②正确;‎ ‎③∵抛物线与x轴由两个交点,‎ ‎∴b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,结论③正确;‎ ‎④∵抛物线开口向上,且抛物线对称轴为直线x=1,‎ ‎∴当x<1时,y随x的增大而减小,结论④错误;‎ 故选:B.‎ ‎12.(2020•湘西州)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,其图象如图所示,现有下列结论:‎ ‎①abc>0,‎ ‎②b﹣2a<0,‎ ‎③a﹣b+c>0,‎ ‎④a+b>n(an+b),(n≠1),‎ ‎⑤2c<3b.‎ 正确的是(  )‎ A.①③ B.②⑤ C.③④ D.④⑤‎ ‎【解答】解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项错误;‎ ‎②由于a<0,所以﹣2a>0.‎ 又b>0,‎ 所以b﹣2a>0,‎ 故此选项错误;‎ ‎③当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故此选项错误;‎ ‎④当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,‎ 而当x=n时,y=an2+bn+c,‎ 所以a+b+c>an2+bn+c,‎ 故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b),故此选项正确;‎ ‎⑤当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线x‎=-b‎2a=‎1,即a‎=-‎b‎2‎,代入得9(‎-‎b‎2‎)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;‎ 故④⑤正确.‎ 故选:D.‎ ‎13.(2020•南京)下列关于二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .‎ ‎【解答】解:①∵二次函数y=﹣(x﹣m)2+m+1(m为常数)与函数y=﹣x2的二次项系数相同,‎ ‎∴该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同,故结论①正确;‎ ‎②∵在函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1中,令x=0,则y=﹣m2+m2+1=1,‎ ‎∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;‎ ‎③∵y=﹣(x﹣m)2+m2+1,‎ ‎∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;‎ ‎④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,‎ ‎∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确,‎ 故答案为①②④.‎ ‎14.(2020•烟台)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:‎ ‎①ab>0;②a+b﹣1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为‎-‎‎1‎a.‎ 其中正确结论的序号是 ②③④ .‎ ‎【解答】解:①由二次函数的图象开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,‎ ‎∴ab<0,故①错误;‎ ‎②由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,﹣1),‎ ‎∴c=﹣1,‎ ‎∴a+b﹣1=0,故②正确;‎ ‎③∵a+b﹣1=0,‎ ‎∴a﹣1=﹣b,‎ ‎∵b<0,‎ ‎∴a﹣1>0,‎ ‎∴a>1,故③正确;‎ ‎④∵抛物线与与y轴的交点为(0,﹣1),‎ ‎∴抛物线为y=ax2+bx﹣1,‎ ‎∵抛物线与x轴的交点为(1,0),‎ ‎∴ax2+bx﹣1=0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为‎-‎‎1‎a,故④正确;‎ 故答案为②③④.‎ ‎15.(2020•枣庄)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论:‎ ‎①ac<0;‎ ‎②b2﹣4ac>0;‎ ‎③2a﹣b=0;‎ ‎④a﹣b+c=0.‎ 其中,正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:抛物线开口向下,a<0,对称轴为x‎=-b‎2a=‎1,因此b>0,与y轴交于正半轴,因此c>0,‎ 于是有:ac<0,因此①正确;‎ 由x‎=-b‎2a=‎1,得2a+b=0,因此③不正确,‎ 抛物线与x轴有两个不同交点,因此b2﹣4ac>0,②正确,‎ 由对称轴x=1,抛物线与x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为(﹣1,0),因此a﹣b+c=0,故④正确,‎ 综上所述,正确的结论有①②④,‎ 故选:C.‎ ‎16.(2020•凉州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:‎ ‎①abc>0;‎ ‎②2a+b=0;‎ ‎③3b﹣2c<0;‎ ‎④am2+bm≥a+b(m为实数).‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:①∵对称轴在y轴右侧,‎ ‎∴a、b异号,‎ ‎∴ab<0,‎ ‎∵c<0‎ ‎∴abc>0‎ 故①正确;‎ ‎②∵对称轴x‎=-b‎2a=‎1,‎ ‎∴2a+b=0;‎ 故②正确;‎ ‎③∵2a+b=0,‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎2‎b,‎ ‎∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎b﹣b+c>0‎ ‎∴3b﹣2c<0‎ 故③正确;‎ ‎④根据图象知,当x=1时,y有最小值;‎ 当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,‎ 所以am2+bm≥a+b(m为实数).‎ 故④正确.‎ 本题正确的结论有:①②③④,4个;‎ 故选:D.‎ ‎17.(2020•南充)关于二次函数y=ax2﹣4ax﹣5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则‎-‎4‎‎3‎<‎a≤﹣1或1≤a‎<‎‎4‎‎3‎;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a‎<-‎‎5‎‎4‎或a≥1.其中正确的结论是(  )‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x‎=‎-4a‎2a=2‎,‎ ‎∴x1=2+m与x2=2﹣m关于直线x=2对称,‎ ‎∴对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;‎ 故①正确;‎ 当x=3时,y=﹣3a﹣5,当x=4时,y=﹣5,‎ 若a>0时,当3≤x≤4时,﹣3a﹣5<y≤﹣5,‎ ‎∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,‎ ‎∴1≤a‎<‎‎4‎‎3‎,‎ 若a<0时,当3≤x≤4时,﹣5≤y<﹣3a﹣5,‎ ‎∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,‎ ‎∴‎-‎4‎‎3‎<‎a≤﹣1,‎ 故②正确;‎ 若a>0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,‎ ‎∴△>0,25a﹣20a﹣5≥0,‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a>0‎‎5a-5≥0‎,‎ ‎∴a≥1,‎ 若a<0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,‎ ‎∴△>0,25a﹣20a﹣5≤0,‎ ‎∴‎16a‎2‎+20a>0‎‎5a-5≤0‎,‎ ‎∴a‎<-‎‎5‎‎4‎,‎ 综上所述:当a‎<-‎‎5‎‎4‎或a≥1时,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6.‎ 故选:D.‎ ‎18.(2020•内江)已知抛物线y1=﹣x2+4x(如图)和直线y2=2x+b.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为y1和y2.若y1≠y2,取y1和y2中较大者为M;若y1=y2,记M=y1=y2.①当x=2‎ 时,M的最大值为4;②当b=﹣3时,使M>y2的x的取值范围是﹣1<x<3;③当b=﹣5时,使M=3的x的值是x1=1,x2=3;④当b≥1时,M随x的增大而增大.上述结论正确的是 ②③④ .(填写所有正确结论的序号)‎ ‎【解答】解:①当x=2时,y1=4,y2=4+b,无法判断4与4+b的大小,故①错误.‎ ‎②如图1中,b=﹣3时,‎ 由y=-x‎2‎+4xy=2x-3‎,解得x=-1‎y=-5‎或x=3‎y=3‎,‎ ‎∴两个函数图象的交点坐标为(﹣1,﹣5)和(3,3),‎ 观察图象可知,使M>y2的x的取值范围是﹣1<x<3,故②正确,‎ ‎③如图2中,b=﹣5时,图象如图所示,‎ M=3时,y1=3,‎ ‎∴﹣x2+4x=3,‎ 解得x=1或3,故③正确,‎ ‎④当b=1时,由y=2x+1‎y=-x‎2‎+4x,消去y得到,x2﹣2x+1=0,‎ ‎∵△=0,‎ ‎∴此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点,‎ ‎∴b>1时,直线y=2x+b与抛物线没有交点,‎ ‎∴M随x的增大而增大,故④正确.‎ ‎19.(2020•宜宾)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.以下结论正确的是(  )‎ ‎①abc>0;‎ ‎②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x=﹣2处的函数值相等;‎ ‎③函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点;‎ ‎④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值.‎ A.①③ B.①②③ C.①④ D.②③④‎ ‎【解答】解:依照题意,画出图形如下:‎ ‎∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.‎ ‎∴a<0,c>0,对称轴为x‎=-b‎2a=-‎1,‎ ‎∴b=2a<0,‎ ‎∴abc>0,故①正确,‎ ‎∵对称轴为x=﹣1,‎ ‎∴x=1与x=﹣3的函数值是相等的,故②错误;‎ ‎∵顶点为(﹣1,n),‎ ‎∴抛物线解析式为;y=a(x+1)2+n=ax2+2ax+a+n,‎ 联立方程组可得:y=kx+1‎y=ax‎2‎+2ax+a+n,‎ 可得ax2+(2a﹣k)x+a+n﹣1=0,‎ ‎∴△=(2a﹣k)2﹣4a(a+n﹣1)=k2﹣4ak+4a﹣4an,‎ ‎∵无法判断△是否大于0,‎ ‎∴无法判断函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象的交点个数,故③错误;‎ 当﹣3≤x≤3时,‎ 当x=﹣1时,y有最大值为n,当x=3时,y有最小值为16a+n,故④正确,‎ 故选:C.‎ ‎20.(2020•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x‎=‎‎1‎‎2‎.有下列结论:‎ ‎①abc>0;‎ ‎②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;‎ ‎③a‎<-‎‎1‎‎2‎.‎ 其中,正确结论的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 而点(2,0)关于直线x‎=‎‎1‎‎2‎的对称点的坐标为(﹣1,0),‎ ‎∵c>1,‎ ‎∵抛物线开口向下,‎ ‎∴a<0,‎ ‎∵抛物线对称轴为直线x‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴‎-b‎2a=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴b=﹣a>0,‎ ‎∴abc<0,故①错误;‎ ‎∵抛物线开口向下,与x轴有两个交点,‎ ‎∴顶点在x轴的上方,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴抛物线与直线y=a有两个交点,‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;故②正确;‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0),‎ ‎∴4a+2b+c=0,‎ ‎∵b=﹣a,‎ ‎∴4a﹣2a+c=0,即2a+c=0,‎ ‎∴﹣2a=c,‎ ‎∵c>1,‎ ‎∴﹣2a>1,‎ ‎∴a‎<-‎‎1‎‎2‎,故③正确,‎ 故选:C.‎