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- 2021-11-10 发布
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2020年中考数学选择填空压轴题汇编:函数综合结论
1.(2020•福建)设A,B,C,D是反比例函数y=kx图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形ABCD可以是平行四边形;
②四边形ABCD可以是菱形;
③四边形ABCD不可能是矩形;
④四边形ABCD不可能是正方形.
其中正确的是 ①④ .(写出所有正确结论的序号)
【解答】解:如图,过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A,C,B,D,得到四边形ABCD.
由对称性可知,OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
当OA=OC=OB=OD时,四边形ABCD是矩形.
∵反比例函数的图象在一,三象限,
∴直线AC与直线BD不可能垂直,
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形,
故选项①④正确,
故答案为①④
2.(2020•广东)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:
①abc>0;②b2﹣4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0,
正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解答】解:由抛物线的开口向下可得:a<0,
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得:a,b异号,所以b>0,
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c>0,
∴abc<0,故①错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故②正确;
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以-b2a=1,可得b=﹣2a,
由图象可知,当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0,
∴4a﹣2×(﹣2a)+c<0,
即8a+c<0,故③正确;
由图象可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0;当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
两式相加得,5a+b+2c>0,故④正确;
∴结论正确的是②③④3个,
故选:B.
3.(2020•玉林)已知:函数y1=|x|与函数y2=1|x|的部分图象如图所示,有以下结论:
①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;
②当x<﹣1时,y1>y2;
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;
④函数y=y1+y2的最小值是2.
则所有正确结论的序号是 ②③④ .
【解答】解:补全函数图象如图:
①当x<0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小;
故①错误;
②当x<﹣1时,y1>y2;
故②正确;
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;
故③正确;
④由图象可知,函数y=y1+y2的最小值是2,
故④正确.
综上所述,正确的结论是②③④.
故答案为②③④.
4.(2020•遵义)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点(﹣4,0)和点(﹣3,0)之间,其部分图象如图所示,下列结论中正确的个数有( )
①4a﹣b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根;④b2+2b>4ac.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2,
∴4a﹣b=0,所以①正确;
∵与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,
∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,
∴x=﹣1时y>0,且b=4a,
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,
∴c>3a,所以②错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,且顶点为(﹣2,3),
∴抛物线与直线y=2有两个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根,所以③正确;
∵抛物线的顶点坐标为(﹣2,3),
∴4ac-b24a=3,
∴b2+12a=4ac,
∵4a﹣b=0,
∴b=4a,
∴b2+3b=4ac,
∵a<0,
∴b=4a<0,
∴b2+2b>4ac,所以④正确;
故选:C.
5.(2020•大兴安岭)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③当x>2时,y随x的增大而增大;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:抛物线开口向上,因此a>0,与y轴交于负半轴,因此c<0,故ac<0,所以①正确;
抛物线对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,所以②不正确;
x>1时,y随x的增大而增大,所以③正确;
抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以④正确;
综上所述,正确的结论有:①③④,
故选:C.
6.(2020•牡丹江)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B(4,0),则下列结论中,正确的个数是( )
①abc>0;
②4a+b>0;
③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0<x1<x2,则y1>y2;
④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m);⑤若AB≥3,则4b+3c>0.
A.5 B.4 C.3 D.2
【解答】解:如图,抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,
∴a<0,c<0,-b2a>0,∴b>0,
∴abc>0,故①正确;
如图,∵抛物线过点B(4,0),点A在x轴正半轴,
∴对称轴在直线x=2右侧,即-b2a>2,
∴2+b2a=4a+b2a<0,又a<0,∴4a+b>0,故②正确;
∵M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,0<x1<x2,
可得:抛物线y=ax2+bx+c在0<x<-b2a上,y随x的增大而增大,
在x>-b2a上,y随x的增大而减小,
∴y1>y2不一定成立,故③错误;
若抛物线对称轴为直线x=3,则-b2a=3,即b=﹣6a,
则a(m﹣3)(m+3)﹣b(3﹣m)=a(m﹣3)2≤0,
∴a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m),故④正确;∵AB≥3,则点A的横坐标大于0或小于等于1,
当x=1时,代入,y=a+b+c≥0,
当x=4时,16a+4b+c=0,
∴a=4b+c-16,
则4b+c-16+b+c≥0,整理得:4b+5c≥0,则4b+3c≥﹣2c,又c<0,
﹣2c>0,
∴4b+3c>0,故⑤正确,
故正确的有4个.
故选:B.
7.(2020•恩施州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0)两点.则以下结论:①ac>0;②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=﹣1;③2a+c=0;④a﹣b+c>0.其中正确的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:对于①:二次函数开口向下,故a<0,与y轴的交点在y的正半轴,故c>0,故ac<0,因此①错误;
对于②:二次函数的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0),由对称性可知,其对称轴为:x=-2+12=-12,因此②错误;
对于③:设二次函数y=ax2+bx+c的交点式为y=a(x+2)(x﹣1)=ax2+ax﹣2a,比较一般式与交点式的系数可知:b=a,c=﹣2a,故2a+c=0,因此③正确;
对于④:当x=﹣1时对应的y=a﹣b+c,观察图象可知x=﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方,故a﹣b+c>0,因此④正确.
∴只有③④是正确的.
故选:C.
8.(2020•荆门)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B,顶点为C,对称轴为直线x=1,给出下列结论:①abc<0;②若点C的坐标为(1,2),则△ABC的面积可以等于2;③M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x2),若x1+x2>2,则y1<y2; ④若抛物线经过点(3,﹣1),则方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3.其中正确结论的序号为 ①④ .
【解答】解:①抛物线的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c>0,故abc<0,正确,符合题意;
②△ABC的面积=12AB•yC=12×AB×2=2,解得:AB=2,则点A(0,0),即c=0与图象不符,故②错误,不符合题意;
③函数的对称轴为x=1,若x1+x2>2,则12(x1+x2)>1,则点N离函数对称轴远,故y1>y2,故②错误,不符合题意;
④抛物线经过点(3,﹣1),则y′=ax2+bx+c+1过点(3,0),
根据函数的对称轴该抛物线也过点(﹣1,0),故方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3,故④正确,符合题意;
故答案为:①④.
9.(2020•随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论:
①2a+b=0;
②2c<3b;
③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;
④当△BCD是直角三角形时,a=-22.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴对称轴为直线x=-b2a=1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0,故①正确,
当x=1时,0=a﹣b+c,
∴a+2a+c=0,
∴c=﹣3a,
∴2c=3b,故②错误;
∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a,(a<0)
∴点C(0,﹣3a),
当BC=AB时,4=9+9a2,
∴a=-73,
当AC=BC时,4=1+9a2,
∴a=-153,
∴当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个,故③正确;
∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
∴顶点D(1,4a),
∴BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2=a2+1,
若∠BDC=90°,可得BC2=BD2+CD2,
∴9+9a2=4+16a2+a2+1,
∴a=-22,
若∠DCB=90°,可得BD2=CD2+BC2,
∴4+16a2=9+9a2+a2+1,
∴a=﹣1,
∴当△BCD是直角三角形时,a=﹣1或-22,故④错误.
故选:B.
10.(2020•武汉)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,下列四个结论:
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=﹣4;
②若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;
③对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b;
④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.
其中正确的结论是 ①③ (填写序号).
【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,
∴当y=0时,0=ax2+bx+c的两个根为x1=2,x2=﹣4,故①正确;
该抛物线的对称轴为直线x=2+(-4)2=-1,函数图象开口向下,若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1>y2,故②错误;
当x=﹣1时,函数取得最大值y=a﹣b+c,故对于任意实数t,总有at2+bt+c≤a﹣b+c,即对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b,故③正确;
对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1,故p的值有三个,故④错误;
故答案为:①③.
11.(2020•襄阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①ac<0;②3a+c=0;③4ac﹣b2<0;④当x>﹣1时,y随x的增大而减小.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解答】解:①∵抛物线开口向上,且与y轴交于负半轴,
∴a>0,c<0,
∴ac<0,结论①正确;
②∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴-b2a=1,
∴b=﹣2a,
∵抛物线经过点(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,即3a+c=0,结论②正确;
③∵抛物线与x轴由两个交点,
∴b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,结论③正确;
④∵抛物线开口向上,且抛物线对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小,结论④错误;
故选:B.
12.(2020•湘西州)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,其图象如图所示,现有下列结论:
①abc>0,
②b﹣2a<0,
③a﹣b+c>0,
④a+b>n(an+b),(n≠1),
⑤2c<3b.
正确的是( )
A.①③ B.②⑤ C.③④ D.④⑤
【解答】解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项错误;
②由于a<0,所以﹣2a>0.
又b>0,
所以b﹣2a>0,
故此选项错误;
③当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故此选项错误;
④当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=n时,y=an2+bn+c,
所以a+b+c>an2+bn+c,
故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b),故此选项正确;
⑤当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线x=-b2a=1,即a=-b2,代入得9(-b2)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;
故④⑤正确.
故选:D.
13.(2020•南京)下列关于二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
【解答】解:①∵二次函数y=﹣(x﹣m)2+m+1(m为常数)与函数y=﹣x2的二次项系数相同,
∴该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同,故结论①正确;
②∵在函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1中,令x=0,则y=﹣m2+m2+1=1,
∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;
③∵y=﹣(x﹣m)2+m2+1,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;
④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,
∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确,
故答案为①②④.
14.(2020•烟台)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①ab>0;②a+b﹣1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为-1a.
其中正确结论的序号是 ②③④ .
【解答】解:①由二次函数的图象开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,
∴ab<0,故①错误;
②由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,﹣1),
∴c=﹣1,
∴a+b﹣1=0,故②正确;
③∵a+b﹣1=0,
∴a﹣1=﹣b,
∵b<0,
∴a﹣1>0,
∴a>1,故③正确;
④∵抛物线与与y轴的交点为(0,﹣1),
∴抛物线为y=ax2+bx﹣1,
∵抛物线与x轴的交点为(1,0),
∴ax2+bx﹣1=0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为-1a,故④正确;
故答案为②③④.
15.(2020•枣庄)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论:
①ac<0;
②b2﹣4ac>0;
③2a﹣b=0;
④a﹣b+c=0.
其中,正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:抛物线开口向下,a<0,对称轴为x=-b2a=1,因此b>0,与y轴交于正半轴,因此c>0,
于是有:ac<0,因此①正确;
由x=-b2a=1,得2a+b=0,因此③不正确,
抛物线与x轴有两个不同交点,因此b2﹣4ac>0,②正确,
由对称轴x=1,抛物线与x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为(﹣1,0),因此a﹣b+c=0,故④正确,
综上所述,正确的结论有①②④,
故选:C.
16.(2020•凉州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③3b﹣2c<0;
④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①∵对称轴在y轴右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0,
∵c<0
∴abc>0
故①正确;
②∵对称轴x=-b2a=1,
∴2a+b=0;
故②正确;
③∵2a+b=0,
∴a=-12b,
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴-12b﹣b+c>0
∴3b﹣2c<0
故③正确;
④根据图象知,当x=1时,y有最小值;
当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,
所以am2+bm≥a+b(m为实数).
故④正确.
本题正确的结论有:①②③④,4个;
故选:D.
17.(2020•南充)关于二次函数y=ax2﹣4ax﹣5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则-43<a≤﹣1或1≤a<43;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a<-54或a≥1.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=-4a2a=2,
∴x1=2+m与x2=2﹣m关于直线x=2对称,
∴对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;
故①正确;
当x=3时,y=﹣3a﹣5,当x=4时,y=﹣5,
若a>0时,当3≤x≤4时,﹣3a﹣5<y≤﹣5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
∴1≤a<43,
若a<0时,当3≤x≤4时,﹣5≤y<﹣3a﹣5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
∴-43<a≤﹣1,
故②正确;
若a>0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,
∴△>0,25a﹣20a﹣5≥0,
∴16a2+20a>05a-5≥0,
∴a≥1,
若a<0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,
∴△>0,25a﹣20a﹣5≤0,
∴16a2+20a>05a-5≤0,
∴a<-54,
综上所述:当a<-54或a≥1时,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6.
故选:D.
18.(2020•内江)已知抛物线y1=﹣x2+4x(如图)和直线y2=2x+b.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为y1和y2.若y1≠y2,取y1和y2中较大者为M;若y1=y2,记M=y1=y2.①当x=2
时,M的最大值为4;②当b=﹣3时,使M>y2的x的取值范围是﹣1<x<3;③当b=﹣5时,使M=3的x的值是x1=1,x2=3;④当b≥1时,M随x的增大而增大.上述结论正确的是 ②③④ .(填写所有正确结论的序号)
【解答】解:①当x=2时,y1=4,y2=4+b,无法判断4与4+b的大小,故①错误.
②如图1中,b=﹣3时,
由y=-x2+4xy=2x-3,解得x=-1y=-5或x=3y=3,
∴两个函数图象的交点坐标为(﹣1,﹣5)和(3,3),
观察图象可知,使M>y2的x的取值范围是﹣1<x<3,故②正确,
③如图2中,b=﹣5时,图象如图所示,
M=3时,y1=3,
∴﹣x2+4x=3,
解得x=1或3,故③正确,
④当b=1时,由y=2x+1y=-x2+4x,消去y得到,x2﹣2x+1=0,
∵△=0,
∴此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点,
∴b>1时,直线y=2x+b与抛物线没有交点,
∴M随x的增大而增大,故④正确.
19.(2020•宜宾)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.以下结论正确的是( )
①abc>0;
②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x=﹣2处的函数值相等;
③函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点;
④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值.
A.①③ B.①②③ C.①④ D.②③④
【解答】解:依照题意,画出图形如下:
∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.
∴a<0,c>0,对称轴为x=-b2a=-1,
∴b=2a<0,
∴abc>0,故①正确,
∵对称轴为x=﹣1,
∴x=1与x=﹣3的函数值是相等的,故②错误;
∵顶点为(﹣1,n),
∴抛物线解析式为;y=a(x+1)2+n=ax2+2ax+a+n,
联立方程组可得:y=kx+1y=ax2+2ax+a+n,
可得ax2+(2a﹣k)x+a+n﹣1=0,
∴△=(2a﹣k)2﹣4a(a+n﹣1)=k2﹣4ak+4a﹣4an,
∵无法判断△是否大于0,
∴无法判断函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象的交点个数,故③错误;
当﹣3≤x≤3时,
当x=﹣1时,y有最大值为n,当x=3时,y有最小值为16a+n,故④正确,
故选:C.
20.(2020•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=12.有下列结论:
①abc>0;
②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;
③a<-12.
其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=12,
而点(2,0)关于直线x=12的对称点的坐标为(﹣1,0),
∵c>1,
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为直线x=12,
∴-b2a=12,
∴b=﹣a>0,
∴abc<0,故①错误;
∵抛物线开口向下,与x轴有两个交点,
∴顶点在x轴的上方,
∵a<0,
∴抛物线与直线y=a有两个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;故②正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0),
∴4a+2b+c=0,
∵b=﹣a,
∴4a﹣2a+c=0,即2a+c=0,
∴﹣2a=c,
∵c>1,
∴﹣2a>1,
∴a<-12,故③正确,
故选:C.