初三数学上册基础知识讲解练习 公式法求解一元二次方程 4页

公式法求解一元二次方程 【知识点总结】 一、公式法解一元二次方程的解 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02  acbxax 的 1、求根公式 x＝ 2 4 2 b b ac a    （b2－4ac≥0）[来源:Z§xx§k.Com] 2、有实数根的条件 ：b2－4ac≥0，无实数根的条件：b2－4ac＜0； 二、一元二次方程的求根公式的推导 一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的 过程． ∵a≠0，∴方程的两边都除以 a，得 x 2＋ 0.bcxaa配方，得 x2＋ 22()(),22 bbcbxaaaa 即 2 2 2 4( ) ,24 b b acx aa  ∵a≠0，∴a2＞0；∴4a2＞0，∴当 b2－4ac≥0 时， 2 2 4 4 bac a  是非负数． 根据平方根的定义，得 x＋ 2 b a ＝ 2 4 2 bac a  ∴x＝ 2 4 2 bbac a  三、一元二次方程的求根公式的推导拓展 （1）被开方数 b2－4ac 必须是非负数，否则 2 4b ac 没有意义． （2 ）在 x＋ ＝ 2 2 4 4 bac a  ＝ 2 4 2 b ac a  这步中， 24 a 应等于±2 ｜a｜，但因为式子前面有双重符 号“±”，所以无论 a＞0，还是 a＜0，最终结果都是 x＋ ＝ 2 4 2 b ac a  由于分类讨论的书写过程比较麻 烦，所以这里就省略了讨论的过程． （3）由求根公式可知，一元二次方程的根是由其系数 a，b，c 决定的，只要确定了 a，b，c 的值，就可代 入公式求一元二次方程的根． 公式法． 求根公式：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当 b2－4ac≥0 时，它的根是 x＝ 2 4 2 b b a c a    上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 拓展 （1）求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有当确定方程是一元二次方程时，才可使用． （2）应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项， 且要注意它们的符号． （3）b2－4ac≥0 是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分． 【例题精讲】 1、如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么 x1，x2 与 a，b，c 之间有怎样的关系 呢? 解析 由一元二次方程的求根公式可知： x1＝ 2 4 2 b b a c a    ，x2＝ 2 4 2 b b a c a    则 x1＋x2＝ + ＝ 2 2 bb aa   x1·x2＝ · ＝ 22 2 (4) 4 bbac a  ＝ 2 4 4 acc aa 即 x1＋x2＝— b a ，x1·x2＝ c a 这就是一元二次方程的根与系数之间的关系． 2、用公式法解下列方程． （1）x2＋2x－2＝0； （2）x2＋3＝2 2 x； （3）n2－ 2 2 n+ 1 8 =0． 1、分析 方程（1）（ 3）可直接确定 a，b，c 的值，方程（2）需先化为一般形式，再确定 a，b，c 的值．[来 源:Zxxk.Com] 解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝—2，[来源:学科网 ZXXK] ∴b2－4ac＝22－4×1×（－2）＝12＞0． x＝ 2 12 132     ∴x1＝—1＋ 3 ，x2＝—1－ （2）将方程化为一般形式，得 x2－ 22x＋3＝0．∵a＝1，b＝—2 ，c＝3，∴b2－4ac＝（ ）2－4×1×3 ＝－4＜0，∴原方程没有实数根． （3）∵a＝l，b＝— 2 2 ，c= 1 8 ∴b2－4ac＝（－ ）2 －4×1× ＝0． ∴n＝ 2 0 22 24   n1＝n2＝ 2 4 规律·方法（1）用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定 a，b，c 的值．（ 2） b2－4ac≥0 是公式中的一个重要组成部分，当 b2－4ac＜0 时，直接得到原方程没有实数根．（3）当 b2－4ac ＝0 时，应把方程的根写成 x1＝x2＝－ 2 b a 的形式，从而说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根． 3、不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3 x2＋2＝2 6 （2） 3 2 x2＋1= x （3）－2 x2－3x＋4＝0． 分析 利用一元二次方程求根公式中有根的条件 b2－4ac≥0 来判断． 解：（1）原方程可变形为 3 x2－2 x＋2＝0，其中，a＝3，b＝—2 ，c＝2． b2－4ac＝（－2 6 ）2－ 4×3×2＝0，所以原方程有两个相等的实数根． （2）原方程可变形为 2 3 x2－ ＋1＝0．去分母，得 3 x2－ 2 x＋2＝0，其中，a＝ 3 ，b＝－ 2 ，c ＝2， b2－4ac＝（－ ）2－4×3×2＝2－8 ＜0，所以原方程没有实数根． （3）原方程可变形为 2x2＋3x－4＝0，其中，a＝2，b＝3，c＝－4， b2－4ac＝32－4×2×（－4）＝41＞0，所以原方程有两个不相等的实数根． 规律·方法 将方程先整理成一般形式，有分母的往往要去分母，这样做可简化运算．正确确定 a，b，c 的值后，即可利用根的判别式 b2－4ac 判断方程根的情况．当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根． 4、解方程：x2-3x-1=0．[来源:学科网] 思路分析：利于求根公式 x= 2 4 2 b b ac a    来解方程． 解：关于 x 的方程x2-3x-1=0 的二次项系数 a=1，一次项系数 b=-3，常数项 c=-1，则 x═ 2 4 2 b b a c a    = 3 13 2  ， 解得，x1= 3 13 2  ，x2= 3 13 2  ．[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 点评：本题考 查了解一元二次方程--公式法．利于公式 x= 来解方程时，需要弄清楚公式 中的字母 a、b、c 所表示的含义．