2021年中考数学核心考点强化突破：阅读理解、新定义问题 5页

‎2021年中考数学核心考点强化突破：阅读理解、新定义问题 类型1　新定义问题 ‎1．在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，规定运算：①A⊕B＝(x1＋x2，y1＋y2)；②A⊗B＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A⊕B＝(3，1)，A⊗B＝0；(2)若A⊕B＝B⊕C，则A＝C；(3)若A⊗B＝B⊗C，则A＝C；(4)对任意点A、B、C，均有(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)成立．其中正确命题的个数为( C )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)A⊕B＝(1＋2，2－1)＝(3，1)，A⊗B＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(1)正确；(2)设C(x3，y3)，A⊕B＝(x1＋x2，y1＋y2)，B⊕C＝(x2＋x3，y2＋y3)，而A⊕B＝B⊕C，所以x1＋x2＝x2＋x3，y1＋y2＝y2＋y3，则x1＝x3，y1＝y3，所以A＝C，所以(2)正确；(3)A⊗B＝x1x2＋y1y2，B⊗C＝x2x3＋y2y3，而A⊗B＝B⊗C，则x1x2＋y1y2＝x2x3＋y2y3，不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C，所以(3)不正确；(4)因为(A⊕B)⊕C＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)，A⊕(B⊕C)＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)，所以(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)，所以(4)正确．[来源:学&科&网]‎ ‎2．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：‎ ‎(1)f(m，n)＝(m，－n)，如f(2，1)＝(2，－1)；‎ ‎(2)g(m，n)＝(－m，－n)，如g(2，1)＝(－2，－1)‎ 按照以上变换有：f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)，那么g[f(－3，2)]＝__(3，2)__．[来源:学科网]‎ 解：∵f(－3，2)＝(－3，－2)，∴g[f(－3，2)]＝g(－3，－2)＝(3，2)．‎ ‎3．平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__(1，8)__．‎ 解析：已知以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点C的坐标为(2－1，5＋3)，即C(1，8)‎ ‎4．已知抛物线y1＝a1x2＋b1x＋c1，y2＝a2x2＋b2x＋c2，且满足＝＝＝k(k≠0，1)．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法正确的是( D )‎ A．y1，y2开口方向，开口大小不一定相同．‎ B．y1，y2的对称轴相同．‎ C．如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴也有两个不同的交点．‎ D．如果y2的最大值为m，则y1的最大值为km.‎ 解析：由已知可知：a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，A、a1、a2的符号不一定相同，故错误；B、因为a1/a2＝b1/b2＝k，代入－b/2a得到对称轴相同，故错误；C.因为开口方向、开口大小不一定相同，所以如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴不一定有两个不同的交点，故错误；D.如果y2的最值是m，则y1的最值是＝k＝km，故正确．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为(m，n)，向量可以用点P的坐标表示为＝(m，n)．‎ 已知：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如果x1·x2＋y1·y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量：‎ ‎①＝(2，1)，＝(－1，2)；‎ ‎②＝(cos30°，tan45°)，＝(1，sin60°)；‎ ‎③＝(－，－2)，＝(＋，)；‎ ‎④＝(π0，2)，＝(2，－1)．‎ 其中互相垂直的是__①③④__(填上所有正确答案的符号)．[来源:学#科#网]‎ 解：①因为2×(－1)＋1×2＝0，所以与互相垂直；②因为cos30°×1＋tan45°·sin60°＝×1＋1×≠0，所以与不互相垂直；③因为(－)(＋)＋(－2)×＝3－2－1＝0，所以与互相垂直；④因为π0×2＋2×(－1)＝2－2＝0，所以与互相垂直．综上所述，①③④互相垂直．‎ 类型2　阅读理解型问题 ‎6．已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算．‎ 例如：求点P(－2，1)到直线y＝x＋1的距离．‎ 解：因为直线y＝x＋1可变形为x－y＋1＝0，其中k＝1，b＝1，所以点P(－2，1)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝＝＝.‎ 根据以上材料，求：‎ ‎(1)点P(1，1)到直线y＝3x－2的距离，并说明P与直线的位置关系；‎ ‎(2)点P(2，－1)到直线y＝2x－1的距离；‎ ‎(3)已知直线y＝－x＋1与y＝－x＋3平行，求两条直线的距离．‎ 解：(1)∵直线y＝3x－2，其中k＝3，b＝－2，∴点P(1，1)到直线y＝3x－2的距离为d＝＝‎ ＝0，∴点P在直线y＝3x－2上；(2)∵直线y＝2x－1，其中k＝2，b＝－1，∴点P(2，－1)到直线的距离为d＝＝＝＝；(3)在直线y＝－x＋1上取点P(0，1)(点P的坐标是满足该直线的任意点)，直线y＝－x＋3，其中k＝－1，b＝3，则点P到直线y＝－x＋3的距离为d＝＝＝＝.所以两平行线间的距离为.‎ ‎7．阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：‎ sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，[来源:学科网]‎ tan(α±β)＝.‎ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．‎ 例：tan15°＝tan(45°－30°)＝ ‎＝＝＝＝2－.‎ 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题．‎ ‎(1)计算：sin15°；‎ ‎(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1)，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．(精确到0.1米，参考数据＝1.732，＝1.414)‎ 解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝－＝；(2)在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7米，∴BE＝DE·tan∠BDE＝DE·tan75°.∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋，∴BE＝7(2＋)＝14＋7.∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7(米)．‎ 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．‎ ‎8．学习感知：‎ 在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．‎ 初步运用：‎ 填空：‎ ‎(1)已知筝状四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(5，1)，C(8，2)，则顶点D的坐标为__(5，3)__；‎ ‎(2)如果筝状四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(－6，－3)，B(－4，－6)，C(－2，－3)，则顶点D纵坐标y的取值范围是__y＞－3__．‎ 延伸拓展：‎ 已知面积为30的筝状四边形ABCD相邻两个顶点的坐标分别为A(3，1)，B(6，3)，其中一条对角线长为6，M、N分别是AB、BC的中点，P为对角线上一动点，连结MN，MP，NP，试求△MNP周长的最小值．‎ 解：延伸拓展：‎ ‎∵筝形四边形ABCD的面积为30，其中一条对角线长为6，则可得另一条对角线的长为10，以下分两种情况：‎ ‎①当AC＝6，BD＝10时，a.如图，若动点P在对角线BD上，则△MNP的周长不存在最小值；b.若动点P在对角线AC上，∵A(3，1)，B(6，3)，∴由题意M、N分别是AB、BC的中点，故可得：C(9，1)，M(，2)，N(，2)，作M点关于直线AC的对称点M′，则M′(，0)，连结M′N交AC于点P，此时的△MNP的周长最小．∵MN＝3，MP＋NP＝M′P＋NP＝M′N.而M′N＝＝，∴△MNP周长的最小值为＋3.[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎②当AC＝10，BD＝6时．a.如图，若动点P在对角线BD上，则△MNP的周长不存在最小值；b.若动 点P在对角线AC上，∵A(3，1)，B(6，3)，∴由题意M、N分别是AB、BC的中点，故可得：C(3，11)，M(，2)，N(，7)．作M点关于直线AC的对称点M′，则M′(，2)，连结M′N交AC于点P，此时△MNP周长最小．∵MN＝5，MP＋NP＝M′P＋NP＝M′N.而M′N＝＝，∴△MNP周长的最小值为＋5.综上，△MNP周长的最小值为＋3.‎