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  • 2021-11-10 发布

2021年中考数学专题复习 专题29 几何问题辅助线添加技巧(教师版含解析)

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专题 29 几何问题辅助线添加技巧 全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题,在解答试题过程中,我们发现当题 设条件不够,必须添加辅助线,把分散条件集中,建立已知和未知的桥梁,结合学过的知识,采用一定的 数学方法,把问题转化为自己能解决的问题。学会添加辅助线技巧,是培养学生科学思维、科学探究的重 要途径。所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。 一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略 1.三角形问题 方法 1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方 法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。 方法 2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角 形,从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法 就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形问题 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅 助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问 题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下: (1)连对角线或平移对角线: (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形; (3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线; (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形; (5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。 3.梯形问题 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题 化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线 有: (1)在梯形内部平移一腰; (2)梯形外平移一腰; (3)梯形内平移两腰; (4)延长两腰; (5)过梯形上底的两端点向下底作高; (6)平移对角线; (7)连接梯形一顶点及一腰的中点; (8)过一腰的中点作另一腰的平行线; (9)作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥 梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从 而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生 分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距。有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通 题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是 直角"这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性 质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线。对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切 线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又 可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 二、添加辅助线的重要方法总结 1.中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线 作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到 应用某个定理或造成全等的目的。 2.垂线、分角线,翻转全等。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其 他条件,而旋转 180 度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴是垂线或角的平分线。 3. 边边若相等,旋转。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转 一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中 心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 4. 造角、平移、相似,和、差、积、商。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和 差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于 已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。” 5.两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。 6.两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么, 辅助线往往是连心线或内外公切线。 7. 切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角; 相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那 么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 8. 弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇 平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等, 所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆 内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 9.面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积), 往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;反之, 亦成立。 三、初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。 辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。 假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。 解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。 分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 【例题 1】(2020 广东梅州模拟)如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若 EC=1,则 EF= . 【答案】2 【分析】作 EG⊥OA 于 F, ∵EF∥OB,∴∠OEF=∠COE=15°, ∵∠AOE=15°,∴∠EFG=15°+15°=30°。 ∵EG=CE=1,∴EF=2×1=2。 【点拨】角平分线的性质,平行的性质,三角形外角性质,含 30 度角的直角三角形的性质。 【对点练习】如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D。求证:∠DBC= 1 2 ∠BAC. 【答案】 见解析。 【解析】证明:如图,作 AE⊥BC 于 E,则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 1 2 ∠BAC ∵BD⊥AC 于 D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等) 即∠DBC= 1 2 ∠BAC。 E C A B D C A B D 【点拨】∠DBC、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC”中含有角的倍、 半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解; 也可以把∠DBC 沿 BD 翻折构造 2∠DBC 求解。 【例题 2】(2019 江苏常熟)如图,在矩形 ABCD 中,AD=3AB=3 ,点 P 是 AD 的中点,点 E 在 BC 上,CE =2BE,点 M、N 在线段 BD 上.若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等,则 MN= . 【答案】6. 【解析】作 PF⊥MN 于 F,如图所示: 则∠PFM=∠PFN=90°, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD,BC=AD=3AB=3 ,∠A=∠C=90°, ∴AB=CD= ,BD= =10, ∵点 P 是 AD 的中点, ∴PD= AD= , ∵∠PDF=∠BDA, ∴△PDF∽△BDA, ∴ = ,即 = , 解得:PF= , ∵CE=2BE, ∴BC=AD=3BE, ∴BE=CD, ∴CE=2CD, ∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等,PF⊥MN, ∴MF=NF,∠PNF=∠DEC, ∵∠PFN=∠C=90°, ∴△PNF∽△DEC, ∴ = =2, ∴NF=2PF=3, ∴MN=2NF=6 【对点练习】已知,如图,在□ABCD 中,AB = 2BC,M 为 AB 中点 求证:CM⊥DM 【答案】见解析。 【解析】证明:延长 DM、CB 交于 N 3 2 1 N M B A D C ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AD = BC,AD∥BC ∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC ∵AB = 2BC,AM = BM ∴BM = BC = BN ∴∠1 =∠2,∠3 =∠N ∵∠1+∠2+∠3+∠N = 180o, ∴∠1+∠3 = 90o ∴CM⊥DM 【点拨】有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 【例题 3】(2020•金华)如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切 AB,BC,AC 于点 E,F,D,P 是 〲 上一 点,则∠EPF 的度数是( ) A.65° B.60° C.58° D.50° 【答案】B 【解析】如图,连接 OE,OF.求出∠EOF 的度数即可解决问题. 如图,连接 OE,OF. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点, ∴OE⊥AB,OF⊥BC, ∴∠OEB=∠OFB=90°, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°, ∴∠EOF=120°, ∴∠EPF ∠EOF=60°. 【对点练习】(2019 江苏徐州)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 为 的中点.过点 D 作直线 AC 的垂线,垂足为 E,连接 OD. (1)求证:∠A=∠DOB; (2)DE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明:连接 OC, ∵D 为 的中点,∴ = ,∴∠BCD= BOC, ∵∠BAC= BOC,∴∠A=∠DOB; (2)解:DE 与⊙O 相切, 理由:∵∠A=∠DOB,∴AE∥OD, ∵DE⊥AE,∴OD⊥DE,∴DE 与⊙O 相切. 【点拨】涉及圆的直径的问题,辅助线一般是连接半径。 一、选择题 1.(2020•黔东南州)如图,⊙O 的直径 CD=20,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,OM:OC=3:5,则 AB 的长为( ) A.8 B.12 C.16 D.2 【答案】C 【解析】连接 OA,先根据⊙O 的直径 CD=20,OM:OD=3:5 求出 OD 及 OM 的长,再根据勾股定理可求出 AM 的长,进而得出结论. 连接 OA, ∵⊙O 的直径 CD=20,OM:OD=3:5, ∴OD=10,OM=6, ∵AB⊥CD, ∴AM 8, ∴AB=2AM=16. 2.(2020•滨州)在⊙O 中,直径 AB=15,弦 DE⊥AB 于点 C,若 OC:OB=3:5,则 DE 的长为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【解析】直接根据题意画出图形,再利用垂径定理以及勾股定理得出答案. 如图所示:∵直径 AB=15, ∴BO=7.5, ∵OC:OB=3:5, ∴CO=4.5, ∴DC 6, ∴DE=2DC=12. 3.(2020•天水)如图所示,PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点,点 C 为⊙O 上一点,连接 AC、BC,若∠P =70°,则∠ACB 的度数为( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】B 【分析】连接 OA、OB,如图,根据切线的性质得 OA⊥PA,OB⊥PB,则利用四边形内角和计算出∠AOB=110°, 然后根据圆周角定理得到∠ACB 的度数. 【解析】连接 OA、OB,如图, ∵PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点, ∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°, ∴∠AOB+∠P=180°, ∵∠P=70°, ∴∠AOB=110°, ∴∠ACB ∠AOB=55°. 4.如图,直线 a∥b,将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放,若∠1=52°,则∠2 的度数为( ) A.38° B.52° C.48° D.62° 【答案】A 【解析】先利用平行线的性质得出∠3,进而利用三角板的特征求出∠4,最后利用平行线的性质即可. 如图,过点 A 作 AB∥b, ∴∠3=∠1=52°, ∵∠3+∠4=90°, ∴∠4=90°﹣∠3=38°, ∵a∥b,AB∥b, ∴AB∥a, ∴∠2=∠4=38° 5.(2020 浙江金华模拟)如图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O,EF 与 BC,CD 分别相交于点 G,H, 则 EF GH 的值是( ) A. 2 6 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C. 【解析】如答图,连接 AC, EC , AC 与 EF 交于点 M . 则根据对称性质, AC 经过圆心 O , ∴ AC 垂直 平分 EF , 01EAC FAC EAF 302       . 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,则 AC 2 2 . ∵ AC 是⊙O 的直径,∴ 0AEC 90  . 在 Rt ACE 中, 3AE AC cos EAC 2 2 62       , 1CE AC sin EAC 2 2 22       . 在 Rt MCE 中,∵ 0FEC FAC 30    ,∴ 1 2CM CE sin EAC 2 2 2       . 易知 GCH 是等腰直角三角形,∴ GF 2CM 2  . 又∵ AEF 是等边三角形,∴ EF AE 6  . ∴ EF 6 3GH 2   . 二、填空题 6.(2019 内蒙古呼和浩特)已知正方形 ABCD 的面积是 2,E 为正方形一边 BC 在从 B 到 C 方向的延长线上的 一点,若 CE= ,连接 AE,与正方形另外一边 CD 交于点 F,连接 BF 并延长,与线段 DE 交于点 G,则 BG 的长为 . 【答案】 【解析】如图:延长 AD、BG 相交于点 H, ∵正方形 ABCD 的面积是 2, ∴AB=BC=CDA= , 又∵CE= ,△EFC∽△EAB, ∴ , 即:F 是 CD 的中点, ∵AH∥BE, ∴∠H=∠FBC, ∠BCF=∠HDF=90° ∴△BCF≌△HDF (AAS), ∴DH=BC= , ∵AH∥BE, ∴∠H=∠FBC,∠H DG=∠BEG ∴△HDG∽△BEG, ∴ , 在 Rt△ABH 中,BH= , ∴BG= 7.(2019 江苏常熟)如图,半径为 的⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切,连接 OC, 则 tan∠OCB= . 【答案】 . 【解析】根据切线长定理得出∠OBC=∠OBA= ∠ABC=30°,解直角三角形求得 BD,即可求得 CD,然后 解直角三角形 OCD 即可求得 tan∠OCB 的值. 连接 OB,作 OD⊥BC 于 D, ∵⊙O 与等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切, ∴∠OBC=∠OBA= ∠ABC=30°, ∴tan∠OBC= , ∴BD= = =3, ∴CD=BC﹣BD=8﹣3=5, ∴tan∠OCB= = . 8.(2019 湖北咸宁)如图,半圆的直径 AB=6,点 C 在半圆上,∠BAC=30°,则阴影部分的面积为 (结 果保留π). 【答案】3π﹣ . 【解析】根据题意,作出合适的辅助线,即可求得 CD 和∠COB 的度数,即可得到阴影部分的面积是半圆的 面积减去△AOC 和扇形 BOC 的面积. 解:连接 OC、BC,作 CD⊥AB 于点 D, ∵直径 AB=6,点 C 在半圆上,∠BAC=30°, ∴∠ACB=90°,∠COB=60°, ∴AC=3 , ∵∠CDA=90°, ∴CD= , ∴阴影部分的面积是: =3π﹣ 三、解答题 9.(2020•菏泽)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D,过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E. (1)求证:DE⊥AC; (2)若⊙O 的半径为 5,BC=16,求 DE 的长. 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 AD、OD.先证明∠ADB=90°,∠EDO=90°,从而可证明∠EDA=∠ODB,由 OD=OB 可得 到∠EDA=∠OBD,由等腰三角形的性质可知∠CAD=∠BAD,故此∠EAD+∠EDA=90°,由三角形的内角和定 理可知∠DEA=90°,于是可得到 DE⊥AC. (2)由等腰三角形的性质求出 BD=CD=8,由勾股定理求出 AD 的长,根据三角形的面积得出答案. 【解析】(1)证明:连接 AD、OD. ∵AB 是圆 O 的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADO+∠ODB=90°. ∵DE 是圆 O 的切线,∴OD⊥DE.∴∠EDA+∠ADO=90°.∴∠EDA=∠ODB. ∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.∴∠EDA=∠OBD. ∵AC=AB,AD⊥BC, ∴∠CAD=∠BAD. ∵∠DBA+∠DAB=90°, ∴∠EAD+∠EDA=90°. ∴∠DEA=90°.∴DE⊥AC. (2)解:∵∠ADB=90°,AB=AC,∴BD=CD, ∵⊙O 的半径为 5,BC=16,∴AC=10,CD=8, ∴AD 6, ∵S△ADC AC•DE, ∴DE . 10.(2020•福建)如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 交⊙O 于点 C,AO 的延长线交⊙O 于点 D,E 是 上不与 B,D 重合的点,sinA . (1)求∠BED 的大小; (2)若⊙O 的半径为 3,点 F 在 AB 的延长线上,且 BF=3 ,求证:DF 与⊙O 相切. 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 OB,由切线求出∠ABO 的度数,再由三角函数求出∠A,由三角形的外角性质求得∠BOD, 最后由圆周解与圆心角的关系求得结果; (2)连接 OF,OB,证明△BOF≌△DOF,得∠ODF=∠OBF=90°,便可得结论. 【解析】(1)连接 OB,如图 1, ∵AB 与⊙O 相切于点 B, ∴∠ABO=90°, ∵sinA , ∴∠A=30°, ∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°, ∴∠BED ∠BOD=60°; (2)连接 OF,OB,如图 2, ∵AB 是切线, ∴∠OBF=90°, ∵BF=3 ,OB=3, ∴ 㐠㌳ ∠ 〲 〲 , ∴∠BOF=60°, ∵∠BOD=120°, ∴∠BOF=∠DOF=60°, 在△BOF 和△DOF 中, 〲 〲 〲 〲 , ∴△BOF≌△DOF(SAS), ∴∠OBF=∠ODF=90°, ∴DF 与⊙O 相切. 11.在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,P 是线段 BC 上一动点(与点 B、C 不重合),连接 AP,延长 BC 至点 Q, 使得 CQ=CP,过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H,交 AB 于点 M. (1)若∠PAC=α,求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示). (2)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系,并证明. 【答案】见解析。 【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,由直角三角形的性质即可得 出结论; (2)连接 AQ,作 ME⊥QB,由 AAS 证明△APC≌△QME,得出 PC=ME,△AEB 是等腰直角三角形,由等腰直角三 角形的性质即可得出结论. 解:(1)∠AMQ=45°+α;理由如下: ∵∠PAC=α,△ACB 是等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α, ∵QH⊥AP, ∴∠AHM=90°, ∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α; (2)PQ= MB;理由如下: 连接 AQ,作 ME⊥QB,如图所示: ∵AC⊥QP,CQ=CP, ∴∠QAC=∠PAC=α, ∴∠QAM=45°+α=∠AMQ, ∴AP=AQ=QM, 在△APC 和△QME 中, , ∴△APC≌△QME(AAS), ∴PC=ME, ∴△AEB 是等腰直角三角形, ∴ PQ= MB, ∴PQ= MB. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握等腰 直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键. 12.(2020 铜仁模拟)已知,如图,点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上,点 F 在边 AC 上,连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E,EF=FD. 求证:AD=CE. 【答案】见解析。 【解析】作 DG∥BC 交 AC 于 G,先证明△DFG≌△EFC,得出 GD=CE,再证明△ADG 是等边三角形,得出 AD=GD, 即可得出结论. 证明:作 DG∥BC 交 AC 于 G,如图所示: 则∠DGF=∠ECF, 在△DFG 和△EFC 中, , ∴△DFG≌△EFC(AAS),∴GD=CE, ∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°, ∵DG∥BC, ∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB, ∴∠A=∠ADG=∠AGD, ∴△ADG 是等边三角形,∴AD=GD,∴AD=CE. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握等边三角形的判定与 性质,并能进行推理论证是解决问题的关键. 13.(2020 江苏镇江模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中点,连接 DE 并延长交 CB 的延长线 于点 F,点 G 在 BC 边上,且∠GDF=∠ADF。 (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)连接 EG,判断 EG 与 DF 的位置关系,并说明理由。 【答案】见解析。 【解析】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE(两直线平行,内错角相等)。 ∵E 是 AB 的中点,∴AE=BE。 又∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE(AAS)。 (2)EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF。理由如下: ∵∠ADE=∠BFE,∠GDF=∠ADF, ∴∠GDF=∠BFE(等量代换)。 ∴GD=GF(等角对等边)。 又∵△ADE≌△BFE, ∴DE=EF(全等三角形对应边相等)。 ∴EG⊥DF(等腰三角形三线合一)。 【点拨】平行的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质。 (1)由已知,应用 AAS 即可证明△ADE≌△BFE。 (2)由∠ADE=∠BFE,∠GDF=∠ADF 可得∠GDF=∠BFE,从而根据等角对等边得 GD=GF;由(1)△ADE≌△BFE 可 得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EG⊥DF。