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- 2021-11-10 发布
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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 二次函数专题详解
专题 02 二次函数 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。
22.1 二次函数基本性质 .................................................................................................................................... 2
知识框架 ..................................................................................................................................................... 2
一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 2
知识点 1 二次函数的概念 ................................................................................................................ 2
知识点 2 二次函数 y=ax2的图像和性质 .......................................................................................... 3
知识点 3 二次函数 y=a(푥 − ℎ)2
+ k(a ≠ 0)的性质 ............................................................... 4
知识点 4 用配方法求y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ........................................................................... 5
知识点 5 二次函数性质总结 ............................................................................................................ 6
二、典型题型 ............................................................................................................................................. 8
题型 1 运用抛物线的对称性解题..................................................................................................... 8
题型 2 二次函数的图像 .................................................................................................................... 8
题型 3 由抛物线的图形确定系数的符号 ....................................................................................... 16
题型 4 二次函数的平移 .................................................................................................................. 19
题型 5 求二次函数的解析式 .......................................................................................................... 20
三、难点题型 ........................................................................................................................................... 29
题型 1 二次函数与面积 .................................................................................................................. 29
题型 2 二次函数全等问题 .............................................................................................................. 32
题型 3 二次函数与角度 .................................................................................................................. 34
22.2 二次函数与一元二次方程 ...................................................................................................................... 37
知识框架 ................................................................................................................................................... 37
一、基础知识点 ....................................................................................................................................... 37
知识点 1 二次函数图像与一元二次方程的关系 ........................................................................... 37
二、典型题型 ........................................................................................................................................... 39
题型 1 二次函数与判别式 .............................................................................................................. 39
题型 2 二次函数与不等式 .............................................................................................................. 40
题型 3 一元二次方程的近似解....................................................................................................... 41
三、难点题型 ........................................................................................................................................... 43
题型 1 图像信息题 .......................................................................................................................... 43
题型 2 抛物线与直线交点问题....................................................................................................... 44
题型 3 二次函数与一元二次方程的综合应用 ............................................................................... 46
22.1 二次函数基本性质
知识框架
{
基础知识点
{
二次函数概念
二次函数 y = ax2的图像和性质
二次函数 y = a(x − h)2 + k(a ≠ 0)的性质
用配方法求y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)
二次函数的性质总结
典型题型
{
运用抛物线的对称性解题
二次函数的图像及性质
{
顶点、对称轴
位置
最值
比较大小
由抛物线的图形确定系数的符号
二次函数的平移
求二次函数的解析式
{
二次函数解析式的形式{
一般式
顶点式
交点式
点与解析式
{
待定系数法
已知解析式,求点坐标
已知对称轴或顶点
隐藏对称轴或顶点
几何图形与解析式{
面积
其他几何条件
难点题型
{
二次函数与面积{
铅垂法
割补法
平移法
二次函数全等问题
二次函数与角度{
利用角度构造全等三角形
利用角度关系转化为坐标关系
一、基础知识点
知识点 1 二次函数的概念
1)形如 y=ax2 + bx + c(a≠0)的函数叫作二次函数。
注:①a、b、c 为常数,且 a≠0,即二次项必须有,一次项和常数项可以没有
②二次函数为函数的一种,满足函数的所有性质。即在定义域内,自变量 x 有且仅有唯一应变量 y
与之对应
例 1.下列各项中,y 一定是 x 的二次函数的有:
①y=√2x2 − x + 5; ② y=(푚 − 1)x2 + x + 1(m 为常数);
③y=2x2 + 4x − m(m 为常数); ④ y=(2푥 + 1)(3푥 − 2) − 6x2
【答案】①、③
【解析】①是二次函数,二次项系数不为 0;
②不一定,当 m=1 时,二次项系数为 0,则不是二次函数;
③是二次函数,二次项系数不为 0;
④化简得:-x-2,因此不是二次函数
例 2.已知 y=(푘 + 3)x푘2+푘−4是二次函数,求 k 的值。
【答案】k=2
【解析】∵y=(k + 3)xk2+k−4是二次函数
∴二次项系数不为 0,即:k+3≠0
二次项的次数为 2,即:k2 + k − 4 = 2
解得:k=2
知识点 2 二次函数 y=퐚퐱ퟐ的图像和性质
1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,即一次项和常数项皆为 0)的图形如下:
①形状:图形为抛物线形状
②开口:a>0,开口向上;a<0,开口向下
③顶点:原点(0,0),顶点纵坐标为函数最大值或最小值(由 a 的正负决定)
④对称轴:关于 y 轴对称,即关于 x=0 对称
⑤开口大小:|a|越大,开口越小,即上升或下降越快
⑥增减性:a>0 时,当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大。
a<0 时,当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>0 时,y 随 x 的减小而减小。
注:①关于 y 轴对称的前提条件是:函数定义域关于 y 轴对称;
②抛物线图形的性质都与顶点坐标有关系,顶点坐标需要牢记,其他性质通过画草图来分析,不可
强记。
例 1.根据抛物线 y=ax2(a≠0)的性质回答下列问题;
(1)抛物线的开口向上,则 a:
(2)当 x<0 时,抛物线 y 值随 x 的增大而减小,则 a:
(3)除顶点外,抛物线上的点都在 x 轴的下方,则 a:
(4)当 x>0 且 a<0 时,则抛物线的 y 值随 x 的增大而:
【答案】(1)a>0
(2)a>0
(3)a<0
(4)减小
【解析】(1)∵抛物线开口向上
∴a>0
(2)∵当 x<0 时,抛物线 y 值随 x 的增大而减小
∴抛物线开口向上
∴a>0
(3)∵除顶点外,抛物线上的点都在 x 轴的下方
∴抛物线开口向下
∴a<0
(4)∵a<0
∴抛物线开口向下
∵x>0
∴y 随 x 的增大而减小
例 2.如图所示的四个二次函数的图像分别对应:(1)y=ax2;( 2)y=bx2;( 3)y=cx2;( 4)y=dx2,求 a、b、
c、d 的大小关系:
【答案】a>b>c>d
【解析】根据 y=ax2的图像开口方向的性质可知:
a>0,b>0,c<0,d<0
根据二次函数开口大小的性质(|a|越大,开口越小)可知:
|a|>|b|,|d|>|푐|
综上得:a>b>c>d
知识点 3 二次函数 y=a(퐱 − 퐡)ퟐ
+ 퐤(퐚 ≠ ퟎ)的性质
1)二次函数y = ax2 + bx + c通过配方,可得 y=a(x − h)2
+ k的形式
①形状:抛物线形状
②开口:a>0,开口向上;a<0,开口向下
③顶点:(h,k),顶点纵坐标 y=k 为函数最值(最大值或最小值)
④对称轴:关于 x=h 对称
⑤开口大小:|a|越大,开口越小
⑥增减性:a>0 时,当 x<h 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>h 时,y 随 x 的增大而增大。
a<0 时,当 x<h 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>h 时,y 随 x 的减小而减小。
⑦关系:当 h=0,k=0 时,y=a(x − h)2
+ k即为 y=ax2形式
即:y=a(x − h)2
+ k通过平移可得到 y=ax2(形状不变,开口不变)
在图形平移过程中,可以通过特殊点(如顶点)分析平移过程:向左或右平移|h|,向上或下平移|k|。
其中,“左加右减,上加下减”。无需记忆,通过画图,利用特殊点判断。
例 1.已知 y=-2(x + 1)2
− 3
(1)抛物线 y=-2(x + 1)2
− 3的顶点坐标是: ,对称轴方程是: ,y 有最 值,
为 ;
(2)将二次函数 y=−2x2的图像向 平移 个单位,再向 平移 个单位,可得二次
函数 y=-2(x + 1)2
− 3的图像。
【答案】见解析
【解析】(1)顶点坐标是:(-1,-3)
对称轴方程是:x=-1
y 有最大值,为-3
(2)向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位
例 2.抛物线 y=(x + 3)2
− 2时由抛物线由抛物线 y=x2经过平移得到的,求其平移过程。
答案:向左平移 3 个单位,向下平移 2 个单位
知识点 4 用配方法求퐲 = 퐚퐱ퟐ + 퐛퐱 + 퐜(퐚 ≠ ퟎ)
1)y = ax2 + bx + c利用配方法,化简得:y = a(x + b
2a
)
2
+ 4ac−b2
4a
故以顶点式的形式来看:h=- b
2a
,k=4ac−b2
4a
①形状:抛物线形状
②开口方向:a>0,开口向上;a<0,开口向下
③顶点:(- b
2a
,4ac−b2
4a
),顶点纵坐标 y=4ac−b2
4a
为最值(最大值或最小值)
④对称轴:关于 x=- b
2a
对称
⑤开口大小:|a|越大,开口越小
⑥增减性:
a>0 时,当 x<- b
2a
时,y 随 x 的增大而减小;当 x>- b
2a
时,y 随 x 的增大而增大。
a<0 时,当 x<- b
2a
时,y 随 x 的增大而增大;当 x>- b
2a
时,y 随 x 的减小而减小。
注:建议学会配方法,若实在无法掌握,则需记住一般式的顶点坐标,在解题过程中直接使用结论即可。
例 1.用配方法写出下列抛物线的对称轴方程和顶点坐标。
(1)y = 2x2 − 4x + 1;
(2)y = − 1
2 x2 + x − 4
【答案】(1)对称轴方程为:x=1,顶点坐标为:(1,-1)
(2)对称轴方程为:x=1,顶点坐标为:(1,− 7
2
)
【解析】(1)y = 2x2 − 4x + 1
=2(x2 −2x)+1
=2(x2 − 2푥 + 1)-2×1+1
=2(푥 − 1)2
− 1
∴抛物线的对称轴方程为:x=1,顶点坐标为:(1,-1)
(2)方法一:配方法
y = − 1
2 x2 + x − 4
=− 1
2 (x2 − 2푥) − 4
=− 1
2 (x2 − 2푥 + 1) + 1
2 − 4
=− 1
2
(푥 − 1)2
− 7
2
∴抛物线的对称轴方程为:x=1,顶点坐标为:(1,− 7
2
)
方法二:直接用结论
在函数y = − 1
2 x2 + x − 4中
a=− 1
2
,b=1,c=-4
顶点坐标为:(- b
2a
,4ac−b2
4a
),即:(- 1
2∙(−1
2)
,4∙(−1
2)∙(−4)−12
4∙(−1
2)
)
化简得顶点坐标为:(1,− 7
2
)
∴对称轴为:x=1
知识点 5 二次函数性质总结
1)二次函数图像性质总结如下:
①形状:抛物线形状
②开口方向:a>0,开口向上;a<0,开口向下
③开口大小:|a|越大,开口越小
y=ax2 y=a(x − h)2
+ k y = ax2 + bx + c
④顶点 (0,0) (h,k) (− b
2a
,4ac−b2
4a
)
⑤函数最值:{a>0,开口向上,函数有最小值
a<0,开口向下,函数有最大值 ⟹最值为顶点纵坐标
即: y=0 y=k y=4ac−b2
4a
⑥对称轴:x=顶点横坐标
即: x=0(y 轴) x=h x=− b
2a
⑦增减性:根据图像性质和判断,具体步骤为:
(1)根据 a 判断开口方向;
(2)根据顶点横坐标求出对称轴,判断增减性的分界点;
(3)画图判断增减性
i.a>0,x=n ii.a<0,x=n
即:i.a>0,对称轴为 x=n,则{x<n,y 随 x 的增大而减小
x>n,y 随 x 的增大而增大
ii.a<0,对称轴为 x=n,则{x<n,y 随 x 的增大而增大
x>n,y 随 x 的增大而减小
补充:
⑧对称性点性质:P1(x1,y1)与P2(x2,y2)是抛物线上的点,且关于对称轴 x=n 对称。则 {x1 + x2 = 2n
y1 = y2
⑨与 y 轴交点为(0,c)
二、典型题型
题型 1 运用抛物线的对称性解题
解题技巧:抛物线上纵坐标相同的两点是对称点,利用抛物线的对称性可以快速的解决一些问题。
①抛物线上有两点 A(푥1,푦1), B(푥2,푦2),若푦1 = 푦2,则 A、B 两点是抛物线上的对称点,则抛物线的
对称轴为 x=푥1+푥2
2
②若 A(푥1,푦1), B(푥2,푦2)两点关于对称轴 x=m 对称,则푦1 = 푦2,且푥1+푥2
2 = 푚
例 1.已知点 A(4,푦1), B(√2,푦2), C(-2,푦3)都在二次函数 y=(푥 − 2)2
− 1的图像上,求푦1、푦2、
푦3的大小关系。
【答案】y3>y1>y2
【解析】二次函数 y=(x − 2)2
− 1的对称轴为:x=2
题干中的 A、B、C 三点分布在对称轴的两侧,我们利用对称的性质,将这三个点转化到同一侧,则可利用
同一侧函数的增减性判断大小。
点 A 在对称轴的右侧,点 B、点 C 在对称轴的左侧,将点 A 利用对称性转化到对称轴左侧
设 A(4,푦1)关于对称轴 x=2 对称的点퐴1(푥,푦1)
∴4+푥
2 = 2,解得:x=0
∴퐴1(0,푦1)
∵a=1>0,∴抛物线开口向上
∴在 x<2 的范围内,函数值 y 随 x 的增大而减小
∵-2<0<√2
∴y3>y1>y2
例 2.已知 A(푥1,2015), B(푥2,2015)时二次函数y = ax2 + bx + 5的图像上的两点,则当 x=푥1+푥2时,
求二次函数的值。
【答案】5
【解析】∵A,B 两点的纵坐标相同
∴A,B 两点横坐标关于对称轴 x=− 푏
2푎
对称
∵푥1+푥2
2 = − 푏
2푎
∴x=x1+x2=− 푏
푎
,代入方程得:
y=a( − b
a
)
2
+ b( − b
a
) + 5=5
题型 2 二次函数的图像
二次函数的图像及性质
{
顶点、对称轴
经过的象限
最值
比较大小
一、顶点、对称轴
解题技巧:二次函数不同形式,其顶点求法不同:
(1)顶点式 y=a(x − h)2
+ k中,可直接读出顶点坐标为(h,k),对称轴为 x=h。在顶点式中,h 前
面的符号是“-”,这点需要额外关注。
(2)一般式y = ax2 + bx + c中,顶点坐标为(− b
2a
,4ac−b2
4a
),对称轴为 x=− b
2a
。在一般式中,需要注意若
题干中的形式不是一般式,需要先边形成一般式,再利用顶点坐标公式。
注:①建议牢记一般式的顶点坐标,用配方法也可推导,但在解题过程中比较耗时,不推荐;
②对称轴无需额外记忆,无论是何形式的二次函数,对称轴为:x=顶点横坐标。
例 1.求抛物线 y=2(푥 + 3)2
+ 5的顶点坐标和对称轴。
【答案】(-3,5); x=-3
【解析】抛物线是顶点式,顶点坐标为(h,k)
在二次函数 y=2(푥 + 3)2
+5 中,h 前面的符号为“+”,因此 h=-3。在函数中,k=5
顶点坐标为(-3,5)
∴对称轴为:x=-3
例 2.已知抛物线 y=− 1
2 푥2 − 3푥 − 5
2
,求顶点坐标和对称轴。
【答案】(-3,2); x=-3
【解析】抛物线是一般式,顶点坐标为(− b
2a
,4ac−b2
4a
)
其中,a=− 1
2
,b=−3,c=− 5
2
顶点坐标为:(- b
2a
,4ac−b2
4a
),即:(- −3
2∙(−1
2)
,4∙(−1
2)∙(−5
2)−(−3)2
4∙(−1
2)
)
化简得顶点坐标为:(-3,2)
∴对称轴为 x=-3
二、位置
解题技巧:判断二次函数经过的象限,通过绘制草图进行分析,其中主要关注:
①开口方向(a 的正负);
②顶点的位置((− 푏
2푎,4푎푐−푏2
4푎 ))
③与 y 轴的交点((0,c))
通过上述 3 个条件,即可绘制出图形的草图。
例 1.已知二次函数 y=1
2 푥2 + 6푥 + 10,试确定其图像经过哪几个象限。
【答案】抛物线过一、二、三象限
【解析】抛物线中,a=1
2
,b=6,c=10
∵a>0,∴抛物线开口向上
顶点坐标为:(− 푏
2푎,4푎푐−푏2
4푎 ),即:(−6,-8)
与 y 轴的交点为:(0,c),即:(0,10)
根据上述 3 条信息,二次函数草图如下:
根据草图得:函数进过一、二、三象限
例 2.设 a 为实数,且 a≠0,确定二次函数y = 푥2 − 2푎2푥 − 푎4的图像经过哪几个象限。
【答案】抛物线过一、二、三、四象限
【解析】抛物线中,a=1,b=−2푎2,c=−푎4
∵a>0,∴抛物线开口向上
顶点坐标为:(− 푏
2푎,4푎푐−푏2
4푎 ),即:(푎2,−2푎4)
与 y 轴的交点为:(0,c),即:(0,−푎4)
根据上述 3 条信息,二次函数草图如下:
根据草图得:函数进过一、二、三、四象限
例 3.已知抛物线 y=a푥2 − (푎 + 푐)푥 + 푐(其中 a≠c)的图像不经过第二象限。求这条抛物线的顶点所在的
象限。
【答案】第一象限
【解析】∵二次函数函数不经过第二象限
∴二次函数的草图如下:
其中:
a<0
与 y 轴的交点在 y 轴负半轴或为原点
∴c≤0
顶点坐标为:(푎+푐
2푎
,4푎푐−(푎+푐)2
4푎
)
则:푎+푐
2푎
>0,4푎푐−(푎+푐)2
4푎
<0
∴顶点经过第一象限
三、最值
解题技巧:最值即最大值或最小值。在二次函数中,最值会出现在 3 处位置,下面以y = ax2 + bx + c(a
<0),取值范围为 m<x<n,求函数最大值为例分析,则 a>0 时,最小值有相同的分析方法。
注:若二次函数不是一般式,而是顶点式式,分析方法类似。下述分析中,主要是分析顶点处的情况,则
顶点式一样,也是分析顶点处情况。即:x=h(x=− 푏
2푎);最值:y=k(y=4푎푐−푏2
4푎 )
(1)当对称轴 x=− 푏
2푎在取值范围内,即 m<− 푏
2푎<n 时,如下图所示,则最大值为顶点纵坐标,y=4푎푐−푏2
4푎 。
(2)当对称轴 x=− 푏
2푎在取值范围左侧,即− 푏
2푎 <푚,如下图所示,则顶点处的最大值不在函数取值范围
内。根据图像,在 m<x<n 的范围内,函数值随 x 的增大而增大,则最大值为当 x=m 时。
(3)当对称轴 x=− 푏
2푎在取值范围右侧,即− 푏
2푎 >푛,如下图所示,则顶点处的最大值不在函数取值范围
内。根据图像,,在 m<x<n 的范围内,函数值随 x 的增大而减小,则最大值为当 x=n 时。
在求最值问题时,题干若未明确给出对称轴与取值范围的关系,我们需要分上述 3 中情况进行分析讨论。
若题干已明确对称轴与取值范围关系,则根据关系,可明确为上述 3 中情况中的一种,直接可求解出最值。
技巧:在选填题中,我们知道,最值必定在上述 3 处中得出,我们可以直接求出上述 3 处的值,然后比
较这 3 个值的大小,从而得出最值。
例 1.二次函数 y=2(푥 − 3)2
-6( )
A.最小值为-6 B.最大值为-6 C.最小值为 3 D.最大值为 3
【答案】A
【解析】二次函数 a>0,开口向上,则函数有最小值
题干中未限定取值范围,则最小值为当 x=3 时,最小值为顶点纵坐标,即 y=-6
∴答案为 A
例 2.二次函数 y=-푥2-2x+c 在-3≤x≤2 的范围内有最小值-5,则 c 的值是( )
A.-6 B.-2 C.2 D.3
【答案】D
【解析】对称轴 x=− −2
2×(−1) = 1,对称轴在取值范围内。
但因为二次函数 a<0,则开口向下,顶点为最大值,不满足题意。
则最值在 x=-3 或 x=2 处取得(具体分析思路在比较大小题型中列举),此处,我们按照小技巧的方式,
分别求出 x=-3 和 x=2 处的值,比较二者的大小,从而得出最小值。
当 x=-3 时,y=-(-3)2-2×(-3)+c=-3+c
当 x=2 时,y=-22-2×2+c=-8+c
因为-3+c>-8+c
所以最小值为当 x=2 时,y=-8+c
则-8+c=-5
解得:c=3
例 3.已知 y=(1+m)푥푚2+푚是关于 x 的二次函数,当 m 为何值时,抛物线有最高点?
【答案】m=-2
【解析】∵抛物线有最高点
∴开口向下,即(1+m)<0,m<-1
∵y=(1+m)xm2+m是关于 x 的二次函数
∴m2 + m = 2
解得 m=-2
例 4.已知关于 x 的二次函数 y=(x − h)2+3,当 1≤x≤3 时,函数有最小值 2h,则 h 的值为( )
A. 3
2 B.3
2
或 2 C.3
2
或 6 D.2、3
2
或 6
【答案】C
【解析】函数的对称轴为 h,此题不确定 h 是否在取值范围内,因此要分 3 类进行讨论。
情况一:当 h 在取值范围内,即 1≤h≤3 时,函数的最小值为顶纵坐标,为:3.
则 3=2h,解得:h=3
2
∵h=3
2
满足 1≤h≤3
∴h=3
2
成立
情况二:当 h 在取值范围左侧时,即 h<1,根据前面分析值:函数最小值为当 x=1 时
当 x=1 时,最小值 y=(1 − h)2+3
则 y=(1 − h)2+3=2h
一元二次方程解得:h=2
∵h=2 不满足 h<1
∴h=2 不成立,舍去
情况三:当 h 在取值范围右侧时,即 h>3 时,函数最小值为当 x=3 时
当 x=3 时,最小值 y=(3 − ℎ)2+3
则 y=(3 − ℎ)2+3=2h
一元二次方程解得:ℎ1=2,ℎ2=6
ℎ1=2 不满足 h>3,舍去;ℎ2=6 满足 h>3,成立
综上得:当 h=3
2
或 h=6 时,条件成立
∴答案为:C
例 5.已知二次函数 y=푥2-2hx+h,当自变量 x 的取值在-1≤x≤1 的范围中时,函数有最小值 n.则 n 的
最大值是 __________ .
【答案】1
4
【解析】对称轴 x=− −2ℎ
2×1=h
情况一:当-1≤h≤1 时,对称轴在取值范围内,则最小值为顶点纵坐标
即 y=4푎푐−푏2
4푎 = 4×1×ℎ−(−2ℎ)2
4×1 =−ℎ2 + ℎ = 푛
二次函数−ℎ2 + ℎ开口向下,最大值为顶点纵坐标,即当 h=− 1
2×(−1) = 1
2
时
而 h=1
2
在取值范围-1≤h≤1 内,求得当 h=1
2
时,−ℎ2 + ℎ=1
4
所以当-1≤h≤1 时,n 的最大值为1
4
情况二:当 h<-1 时,对称轴在取值范围左侧,则函数最小值为当 x=-1 时
当 x=-1 时,y=(-1)2-2h×(-1)+h=3h+1=n
3h+1 为一次函数,最大值为当 h=-1 时,求得最大值 n=-2
情况三:当 x>1 时,对称轴在取值范围右侧,则函数最小值为当 x=1 时
当 x=1 时,y=12-2h×1+h=-h+1=n
-h+1 为一次函数,最大值为当 h=1 时,求得最大值 n=0
综合上述 3 中情况,则 n 能够取到的最大值为 n=1
4
四、比较大小
解题技巧:在二次函数中,函数值随 x 的变化与开口方向和对称轴位置有关系,下面以y = ax2 + bx + c(a
<0),比较 A(푥1,푦1), B(푥2,푦2), C(푥3,푦3)三点中 y 值的大小为例。则 a>0 时,大小比较有相
同的分析方法。
解题步骤:
(1)判断抛物线开口方向:因为 a<0,则抛物线开口向下
(2)求对称轴位置:对称轴 x=− 푏
2푎
,则函数草图如下:
(3)求 A、B、C 三点与对称轴距离:
A 与对称轴的距离푑1 = |− 푏
2푎 − 푥1|
B 与对称轴的距离푑2 = |− 푏
2푎 − 푥2|
C 与对称轴的距离푑3 = |− 푏
2푎 − 푥3|
(4)比较三个距离的大小:假设푑1>푑2>푑3
(5)判断 y 值的大小:如草图,函数开口向下,则对称轴处取得最大值,离对称轴距离越远,则 y 值越小。
因为푑1>푑2>푑3,所以푦1<푦2<푦3
例 1.已知 A(-1,푦1), B(2,푦2)是抛物线 y=-(푥 + 2)2
+ 3上的点,则푦1、푦2之间的大小关系为:
【答案】푦1>푦2
【解析】∵a=-1
∴抛物线开口向下
对称轴为 x=-2
A 与对称轴距离푑1 = |−2 − ( − 1)| = 1
B 与对称轴距离푑2 = |−2 − 2| = 4
∴푑2>푑1
∵开口向下,所以在对称轴处取得最大值,则离对称轴越远,取值 y 越小
∴푦1>푦2
例 2.在抛物线 y=a푥2 − 2푎푥 − 3푎上有 A(-0.5,푦1), B(2,푦2), C(3,푦3)三点,若抛物线与 y 轴的
交点在正半轴,则푦1,푦2和푦3的大小关系为( )
A. 푦3<푦1<푦2 B. 푦3<푦2<푦1 A.푦2 <푦1<푦3 A. 푦1<푦2<푦3
【答案】A
【解析】∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上
∴c=-3a>0,即 a<0,开口向下
对称轴 x=− −2푎
2푎 =1
A 与对称轴距离푑1 = |1 − ( − 0.5)| = 1.5
B 与对称轴距离푑2 = |1 − 2| = 1
C 与对称轴距离푑3 = |1 − 3| = 2
∴푑2<푑1<푑3
∵开口向下,则在对称轴处有最大值,离对称轴越远,则取值 y 越小
∴푦3<푦1<푦2
题型 3 由抛物线的图形确定系数的符号
解题技巧:通过抛物线的图形判断系数的符号题型中,通常关注图形中的一下几点:
①抛物线开口的方向可确定 a 的符号:抛物线开口向上,a>0;
抛物线开口向下,a<0
②对称轴可确定 b 的符号:对称轴在 x 轴负半轴,则 x=− b
2a
<0,即 ab>0;
对称轴在 x 轴正半轴,则 x=− b
2a
>0,即 ab<0
③与 y 轴交点可确定 c 的符号:与 y 轴检点坐标为(0,c),交于 y 轴负半轴,则 c<0;
交于 y 轴正半轴,则 c>0
其他辅助判定条件:
④顶点坐标(- b
2푎
, 4푎푐−b2
4푎
)
⑤与 x 轴交点(푥1/푥2,0)确定对称轴:对称轴 x=푥1+푥2
2
⑥韦达定理:푥1 + 푥2 = − 푏
푎
,푥1푥2 = 푐
푎
具体要考虑哪些量,需要视图形告知的条件而定。
例 1 二次函数y = ax2 + bx + c的图像如图所示,则点 M(b,푐
푎
)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】∵开口向下,∴a<0
∵与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上,∴c>0
∵对称轴大于 0,∴− b
2a
>0,∴b>0
∴M(b,c
a
)在第四象限
∴答案为:D
例 2.已知二次函数y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:其中正确的个数是( )
①a、b 同号;②当 x=1 和 x=3 时,函数值相等;
③4a+b=0;④当 y=-2 时,x 的值只能取 0.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上,∴a>0
∵与 y 轴交点在 y 轴负半轴(0,-2),∴c=-2
∵对称轴大于 0,∴− b
2a
>0,即 b<0
∴①错误;
∵抛物线与 x 轴交点为(-1,0),( 5,0)
∴抛物线对称轴为:x=5+(−1)
2 =2
∵x=1 和 x=3 关于 x=2 对称
∴②正确
∵抛物线与 x 轴交点为(-1,0),( 5,0)
∴代入得:{ 0 = 푎 − 푏 − 2
0 = 25푎 + 5푏 − 2,解得{
푎 = 2
5
푏 = − 8
5
∴③正确
④错误。因为当 y=-2 时,作 y=-2 的直线,与抛物线有 2 个交点,即有 2 个值
例 3.已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象与 x 轴交于点(-2,0)、(푥1,0),且 1<푥1<2,与 y 轴的正半轴的交
点在点(0,2)的下方.下列结论:①a0;③4a+c0,其中正确结论的个数
为( )
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
【答案】D
【解析】
∵抛物线与 x 轴两交点为(-2,0),( 푥1,0),且 1<푥1<2
∴对称轴 x=−2+푥1
2 = − 푏
2푎
∵1<푥1<2
∴− 1
2
< − 푏
2푎
<0
∵抛物线与 x 轴的交点为(-2,0)、(푥1,0),与 y 轴交点在 y 轴正半轴
∴抛物线一定开口向上,∴a<0
解不等式− 1
2
< − 푏
2푎
<0得:a<b<0
∵抛物线与 y 轴的正半轴上,∴c>0
∴a<b<c,①正确;
根据韦达定理:-2∙ 푥1=푐
푎
∴-4<푐
푎
<-2
∴2a+c>0,4a+c<0.
∴②③正确
∵抛物线过(-2,0),∴4a-2b+c=0
∵c<2,∴4a-2b+2>0,即 2a-b+1>0.④正确.
∴答案为:D
例 4.二次函数y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线 x=1.下列结论:
①abc﹤0;②3a+c﹥0;③(푎 + 푐)2
− b2<0;④a+b≤m(am+b)(m 为实数).
其中结论正确的个数为( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】∵二次函数开口向上,∴a>0
∵对称轴为 1,∴− b
2a = 1>0,∴b<0
∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴,∴c<0
∴abc>0,①错误
由图像可知 x=-1 时,y>0,∴代入得:a-b+c>0
当 x=1 时,y<0,∴代入得: a+b+c<0
∴(a-b+c)(a+b+c)=(a + c)2
− b2<0,③正确
∵对称轴为 1,∴− b
2a = 1,∴b=-2a
∵a-b+c>0,将 b=-2a 代入得:
3a+c>0,∴②正确
∵ 当 x=1 时,y 最小=a+b+c,又当 x=m 时,y=a푚2+bm+c
∴a+b+c≤a푚2+bm+c,得 a+b≤m(am+b),④正确
2. (2018 湖北荆州)二次函数y = ax2 + bx + c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(﹣2,﹣9a),下列
结论:①4a+2b+c>0;②5a﹣b+c=0;③若方程 a(x+5)( x﹣1)=﹣1 有两个根푥1和푥2,且푥1<푥2,则﹣5
<푥1<푥2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根,则这四个根的和为﹣4.其中正确的结论有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】∵抛物线的开口向上
∴a>0,
∵抛物线的顶点坐标(﹣2,﹣9a),
∴﹣ 푏
2푎 =﹣2, 4푎푐−b2
4푎 =﹣9a,
∴b=4a,c=-5a,
∴抛物线的解析式为y = ax2+4ax﹣5a,
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a>0,故①正确,
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a<0,故②错误,
∵抛物线y = ax2+4ax﹣5a 交 x 轴于(﹣5,0),( 1,0),
∴若方程 a(x+5)( x﹣1)=﹣1 有两个根푥1和푥2,且푥1<푥2,则﹣5<푥1<푥2<1,正确,故③正确,
若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根,则这四个根的和为﹣8,故④错误,
故答案为:B.
题型 4 二次函数的平移
解题技巧:二次函数平移的具体方法如下:
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”
概括成八个字“左加右减,上加下减”
注:左右移动时针对“x”,函数中的所有 x 值都要相应变化。
例 1.抛物线 y=-(푥 − 2)2向右平移 2 个单位得到抛物线的解析式为( )
A.y=-푥2 B.y=-(푥 − 4)2
C.y=-(푥 − 2)2
+ 2 D.y=-(푥 − 2)2
− 2
【答案】B
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2
y=ax 2+ky=ax2
【解析】向右平移 2 个单位,则针对 x 减 2
即 y=-(푥 − 2 − 2)2
=-(푥 − 4)2
例 2.把抛物线 y=2푥2先向下平移 1 个单位,再向左平移 2 个单位,得到的抛物线的解析式是 ___
_
【答案】y=2(푥 + 2)2
− 1
【解析】先将函数向下平移 1 个单位,即针对 y 减 1
得:y=2푥2 − 1
再向左平移 2 个单位,即再针对 x 加 2
得:y=2(푥 + 2)2
− 1
例 3.若将抛物线 y=푥2先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,就得到抛物线( )
A.y=(푥 − 1)2
+ 2 B.y=(푥 − 1)2
− 2 C.y=(푥 + 1)2
+ 2 D.y=(푥 + 1)2
− 2
【答案】A
【解析】将抛物线向右平移 1 个单位,即针对 x 减 1
得:y=(푥 − 1)2
再向上平移 2 个单位,即针对 y 加 2
得:y=(푥 − 1)2
+ 2
例 4.已知抛物线 C1:y=(푥 − 1)2-4 和 C2:y=푥2,如何将抛物线 C1 平移得到抛物线 C2?
【答案】先将 C1 向左平移 1 个单位,再将函数向上平移 4 个单位。
【解析】要想将 C1 变为 C2 形式,则 x 处需要变化,后面的“-4”也需去掉
首先先变 x,需要加 1,则将函数向左平移 1 个单位
然后需要针对 y 加 4,即将函数向上平移 4 个单位
题型 5 求二次函数的解析式
一、二次函数解析式的形式
二次函数解析式的形式{
一般式
顶点式
交点式
二次函数解析式的形式有:
①一般式:y = ax2 + bx + c(a,b,c 为常数,a≠0);
②顶点式:y=a(x − h)2 + k(a,h,k 为常数,a≠0);
③两根式:y=a(x−푥1)( x−푥2)( a≠0,푥1,푥2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).
注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有
抛物线与 x 轴有交点,即푏2 − 4푎푐 ≥ 0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三
种形式可以互化。
(1)一般式
解题技巧:若题干告知坐标点为非特殊点,则通常用一般式。二次函数y = ax2 + bx + c有 3 个未知数,所
以需要 3 个方程,即需要 3 个点。若题干中告知了 a(b 或 c)的值,那么久只有 2 个未知数,所需 2 个方
程,即需要 2 个点即可。
例 1.已知二次函数的图像经过(1,-1),(0,1),(-1,13)三点,求次二次函数的解析式。
【答案】y = 5x2 − 7x + 1
【解析】告知的点为非特殊点,用一般式
设二次函数的解析式为y = ax2 + bx + c
代入 3 点得:{
−1 = 푎 + 푏 + 푐
1 = 푐
13 = 푎 − 푏 + 푐
解得:{
푎 = 5
푏 = −7
푐 = 1
∴二次函数为:y = 5x2 − 7x + 1
(2)顶点式
解题技巧:若题干告知顶点坐标,则利用顶点式求解解析式,只需在告知 1 个点的坐标即可。一般式需要 3
个点信息,而顶点式中,只需顶点坐标和另 1 个点信息,可理解为顶点横、纵坐标分别表示 1 个需要的信
息。
注:若题干告知与顶点坐标相关的信息,也可以考虑用顶点式,如:对称轴(顶点横坐标),最值(顶点
纵坐标)等。
例 2.已知某二次函数在 x=1 处有最大值-6,且其图像经过点(2,-8),求次二次函数的解析式。
【答案】y=−2(x − 1)2 + 6
【解析】∵告知了最值与对称轴,即告知了顶点坐标
∴用顶点式求解析式
设二次函数解析式为:y=a(x − 1)2 + 6
将经过点(2,-8)代入得:-8= a(2 − 1)2 + 6
解得 a=-2
所以二次函数解析式为:y=−2(x − 1)2 + 6
(3)交点式
解题技巧:已知抛物线与 x 轴的两个交点为 A(푥1,0), B(푥2,0),则此抛物线可表示为:y=a(x-푥1)( x
-푥2),其中 a 为不为 0 的常数。
已知抛物线与 x 轴的两个交点,用交点式,还只需要知道一个点的坐标即可。
注:此类题型,用一般式也可解决,但交点式计算量小一些。
例 3.已知二次函数的图像交 x 轴于点 A(-2,0), B(3,0),且函数经过点(2,-4),求函数解析式。
【答案】y=(x+2)( x-3)
【解析】∵已知与 x 轴的两交点坐标
∴用交点式
设函数解析式为:y=a(x+2)( x-3)
将点(2,-4)代入得:
-4=a(2+2)( 2-3)
解得:a=1
∴函数解析式为:y=(x+2)( x-3)
二、点与解析式
点与解析式
{
待定系数法
已知解析式,求点坐标
已知对称轴或顶点
隐藏对称轴或顶点
(1)待定系数法
解题技巧:设二次函数为一般式:y=a푥2 + 푏푥 + 푐,将已知点代入,联立方程求解。
例 1.已知点 A(-1,1)、 B(4,6)在抛物线 y=a푥2 + 푏푥上。求抛物线的解析式。
【答案】y=1
2 푥2 − 1
2 푥
【分析】:题干中函数为一般式,且仅有 2 个未知数 a,b
所以仅需要 2 个点,列写 2 个方程即可。
将 A(-1,1)、 B(4,6)代入抛物线,可得方程
{1 = a × (-1)2
+ 푏 × (-1)
6 = a × 42 + 푏 × 4
解得:{
푎 = 1
2
푏 = − 1
2
∴函数为:y=1
2 푥2 − 1
2 푥
例 2.已知抛物线 y=a푥2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,求抛物线的解析式
【答案】y=−푥2 + 2푥 − 3
【解析】已知与 x 轴的 2 个交点,可用交点式
∵题干已帮我们设了一般式,∴此题直接用一般式完成待定系数法
将 A(-1,0)、 B(3,0)代入抛物线,可得方程
{0 = a × (-1)2
+ 2 × (-1) + 푐
0 = a × 32 + 2 × 3 + 푐
解得:{푎 = −1
푐 = −3
所以函数为:y=−푥2 + 2푥 − 3
(2)已知解析式,求点坐标
解题技巧:该类题型,题干会告知函数的解析式,我们需要根据题干内容求出相应点的坐标。最常见的题
型是求函数与 x 轴的交点,则与 x 轴的交点即为当 y=0 时,x 的值,转化为求一元二次方程。另外,求与 y
轴的交点,则该点的横坐标为 0,代入即可求解出对应纵坐标。或根据函数图像特点,与 y 轴的交点坐标为
(0,c)
例 3.已知抛物线 y=1
2 푥2 + 푚푥 − 2푚 − 2(m≥0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左边,与 y 轴交于
点 C.当 m=1 时,求点 A 和点 B 的坐标。
【答案】A(-4,0), B(2,0)
【解析】当 m=1 时,抛物线为 y=1
2 푥2 + 푥 − 4
求与 x 轴的交点,则交点纵坐标为 0,即求1
2 푥2 + 푥 − 4 = 0
根据一元二次方程的十字相乘法,化简为:(x-2)( x+4)=0
解得:푥1 = 2,푥2 = −4
∵点 A 在点 B 的左边
∴A(-4,0), B(2,0)
例 4.在平面直角坐标系中,抛物线 y=1
2 푥2经过点 A(푥1,푦1)、C(푥2,푦2),其中푥1、푥2是方程푥2-2x-8 的两
根,且푥1<푥2,过点 A 的直线 l 与抛物线只有一个公共点。求 A、C 两点的坐标
【答案】A(-2,2)、 B(4,8)
【解析】∵푥1、푥2是方程푥2-2x-8 的两根
先求解푥2-2x-8=0
化简得:(x+2)( x-4)=0
解得:푥1 = −2,푥2 = 4
将푥1 = −2代入函数,求得푦1 = 1
2 × ( − 2)2
= 2
∴A(-2,2)
将푥2 = 4代入函数,求得:푦2 = 1
2 × 42 =8
∴B(4,8)
例 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=푥2+(1-m)x-m 交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),
交 y 轴负半轴于点 C。当 m=3 时,直接写出 A,B,C 三点的坐标
【答案】A(-1,0)、 B(3,0)、 C(0,-3)
【解析】当 m=3 时,抛物线为:y=푥2-2x-3
A,B 两点为抛物线与 x 轴的交点,则纵坐标为 0
即:푥2-2x-3=0
化简得:(x-3)( x+1)=0
解得:푥1 = 3,푥2 = −1
∵点 A 在点 B 的左边
∴A(-1,0)、 B(3,0)
点 C 的坐标为与 y 轴的交点,即(0,-3)
(3)已知对称轴或顶点
解题技巧:已知顶点(h,k)用顶点式:y=a(x − h)2 + k。相当于知道了两个未知数,仅还需一个点就可确
定抛物线方程。
其他与顶点相关条件:
①抛物线最大值/最小值为 m,相当于顶点纵坐标 k:m=4ac−b2
4a
②抛物线关于 x=n 对称,相当于顶点横坐标 h:n=− b
2a
例 6.抛物线 y=a푥2 − 4푎푥 + 푐的最大值为 1,其图像经过点(-2,-15),求二次函数的解析式。
【答案】y=−푥2 + 4푥 − 3
【解析】∵抛物线的最大值为 1
∴4ac−b2
4a = 4ac−(−4푎)2
4a = 1
∵抛物线过点(-2,-15),代入 y=a푥2 − 4푎푥 + 푐得:
-15=a× ( − 2)2
− 4푎 × ( − 2) + 푐
联立 2 个方程得:a=-1,c=-3
∴抛物线解析式为:y=−푥2 + 4푥 − 3
例 7.抛物线 L:y=-푥2+bx+c 经过点 A(0,1),与它的对称轴直线 x=1 交于点 B。直接写出抛物线 L 的
解析式
【答案】y=−푥2 + 2푥 + 1
【解析】∵已知对称轴 x=1
∴− b
2a = − b
2×(−1) = 1,解得:b=2
再将点 A(0,1)代入方程得:1=c
∴函数为:y=−푥2 + 2푥 + 1
(4)隐藏对称轴或顶点
解题技巧:此类题型虽然未告知顶点坐标,但会有关于顶底或对称轴的一些隐含条件,我们需要根据函数
的性质,挖掘分析这个条件,将这个条件转化为方程,最终求解出函数。
常用到的性质有:
①对称性:P1(x1,y1), P2(x2,y2),关于 x=m 对称,则{x1 + x2 = 2m
y1 = y2
②韦达定理:P1(x1,0), P2(x2,0)为抛物线与 x 轴交点,则{
x1 + x2 = − 푏
푎
x1x2 = 푐
푎
例 8.已知抛物线 y=a(푥 + 2)2
− 1交 x 轴于 A、B 两点(A 点在 B 点的左边),且 AB=2,求解析式。
【答案】y=(푥 + 2)2
− 1
【解析】函数有一个未知数 a,但未直接告知点的坐标,仅告知 AB=2
∴需要根据这个条件挖掘出一个条件,并列写出一个方程
函数的对称轴 x=−2
∵A、B 两点交于 x 轴
则 A、B 两点关于对称轴对称,且两点到对称轴的距离都是:2
2 = 1
∴A(-3,0), B(-1,0)
将点 A 的坐标代入函数得:0=a( − 3 + 2)2
− 1
解得:a=1
∴函数为:y=(푥 + 2)2
− 1
例 9.已知:二次函数 y=a푥2 −(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4,10),交 x 轴于퐴(푥1, 0),퐵(푥2,0)两点(푥1 < 푥2),
交 y 轴负半轴于 C 点,且满足 3AO=OB.求二次函数的解析式。
【答案】y=2푥2-4x-6
【解析】如图
∵抛物线交 x 轴于点 A(푥1,0),B(푥2,O),则푥1·푥2=3<0
∵푥1<푥2
∴푥2>O,푥10 ∆=0 ∆<0
图像
与 x 轴交点 2 个(2 解) 1 个(1 解) 0 个(无解)
方程的解 푥1 = 푚,푥2 = 푛 푥1 = 푥2 = 푚 无 解
例 1.同一坐标系中有函数y = x2 + x − 2,y = x2 − 6x + 9及y = x2 − x + 1,请填写下表。
二次函数 函数图像与 x 轴的交点 一元二次方程的解 判别式∆的情况
y = x2 + x − 2
y = x2 − 6x + 9
y = x2 − x + 1
【答案】见解析
【解析】如下表所示
二次函数 函数图像与 x 轴的交点 一元二次方程的解 判别式∆的情况
y = x2 + x − 2 (-2,0),( 1,0) 푥1 = −2,푥2 = 1 ∆>0
y = x2 − 6x + 9 (3,0) 푥1 = 푥2 = 3 ∆= 0
y = x2 − x + 1 无交点 无解 ∆<0
例 2.已知一元二次方程2x2 − 3푥 − 5 = 0的两个根为5
2
,-1,则抛物线 y=2x2 − 3푥 − 5与 x 轴的交点坐标
是多少?
【答案】(5
2
,0)和(-1,0)
【解析】一元二次方程的解即对应二次函数与 x 轴交点的横坐标
∴二次函数与 x 轴交点的横坐标为:(5
2
,0)和(-1,0)
二、典型题型
题型 1 二次函数与判别式
解题技巧:抛物线与 x 轴的交点情况与判别式△ (푏2 − 4푎푐)的符号有关,△ {
>0,2 个交点
= 0,1 个交点
<0,无交点
注:如二次函数与一元二次方程形式不同时,需要先将二次函数边形成相同形式,才可利用根与函数交
点的关系。
例 1.抛物线 y=−3푥2 − 푥 + 4与 x 轴的交点个数是 个。
【答案】2
【解析】要求抛物线与 x 轴的交点个数,只需判断△的正负即可
△=푏2 − 4푎푐 = (−1)2 − 4 × (−3) × 4 = 49>0
∴函数与 x 轴的的交点有 2 个
例 2.若抛物线 y=푥2 + 4푥 + 푘的顶点在 x 轴上,求 k 的值。
【答案】k=4
【解析】∵抛物线的顶点在 x 轴上
∴抛物线与 x 轴的交点是 1 个
∴△=푏2 − 4푎푐 = 0,即:42 − 4푘 = 0
解得:k=4
例 3.已知函数 y=(k-3)푥2 +2x+1 的图像与 x 轴有交点,求 k 的取值范围。
【答案】k≤4
【解析】需要讨论函数是否是二次函数,有 2 种情况
情况一:当 k-3=0 时,一次函数与 x 轴有交点,符合
情况二:当 k-3≠0 时,则△≥0,即22 − 4(푘 − 3) ≥ 0
解得 k≤4,且 k≠3
综上得:k≤4
例 4.下列关于二次函数 y=푎푥2 − 2푎푥 + 1(a>1)的图像与 x 轴交点的判断,正确的是( )
A.没有交点 B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧
C.有两个交点,且它们位于 y 轴左侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧
【答案】D
【解析】△=( − 2a)2
− 4a = 4a(a − 1)
∵a>1
∴4a(a − 1)>0
∴函数与 x 轴有两个交点,设为(x1,0),( x2,0)
根据韦达定理:则x1 + x2 = 2>0,x1x2 = 1
a
>0
∴x1>0,x2>0
∴答案为 D
例 5.已知函数 y=(m-1)푥2 − 푚푥 − 푚的图像如图所示,求 m 的取值范围。
【答案】0<m< 4
5
【解析】∵函数与 x 轴无交点
∴△=( − m)2
− 4(m − 1) ∙ (−푚)<0
∵函数开口向下,∴a=m-1<0
∵对称轴在负半轴,∴− 푏
2푎 = − −푚
2∙(m−1) <0
∵函数交 y 轴于负半轴,∴c=-m<0
综上解得:0<m< 4
5
例 6.抛物线 y=a푥2+bx+c 经过点 A(-3,0)、B(4,0)两点,则关于 x 的一元二次方程 a(푥 − 1)2+c=b
-bx 的解是___________
【答案】{푥1 = −2
푥2 = 3
【解析】一元二次方程 a(푥 − 1)2+c=b-bx 化简得:
a(푥 − 1)2+b(x-1)+c=0
该一元二次方程形式是二次函数向右平移 1 个单位所得
原抛物线对应一元二次方程的根为{푥1 = −3
푥2 = 4
将原方程的根向右平移 1 个单位即为 a(푥 − 1)2+c=b-bx 的解
为{푥1 = −2
푥2 = 3
题型 2 二次函数与不等式
解题技巧:二次函数y = ax2 + bx + c的图像在 x 轴下方的自变量取值范围就是ax2 + bx + c<0的解集;在 x
轴上方的自变量的取回范围就是ax2 + bx + c>0的解集。
此类题型,往往还需要结合二次函数的增减性对不等式进行判断。
例 1.已知抛物线 y= ax2+bx+c(a<0)的部分图像如图所示,求不等式 ax2+bx+c>0 的解集。
【答案】−4<푥<2
【解析】∵二次函数的对称轴是:x=-1
又∵二次函数与 x 轴的交点 A(2,0)
∴二次函数与 x 轴的另一个交点为 B(-4,0)
∴函数在 x 轴上部分的取值范围为:−4<푥<0
∵ax2+bx+c<0 的解集即函数在 x 轴上部分的取值范围
∴不等式的解集为:−4<푥<2
例 2.如下图所示是二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,其对称轴为直线 x=1,与 x 轴交点 A(3,
0),则根据图像,求不等式 ax2+bx+c<0 的解集。
【答案】−1<푥<3
【解析】∵二次函数的对称轴是:x=1
又∵二次函数与 x 轴的交点 A(3,0)
∴二次函数与 x 轴的另一个交点为 B(-1,0)
∴函数在 x 轴下部分的取值范围为:−1<푥<3
∵ax2+bx+c<0 的解集即函数在 x 轴下部分的取值范围
∴不等式的解集为:−1<푥<3
题型 3 一元二次方程的近似解
解题技巧:一元二次方程的根即为对应二次函数与 x 轴交点的横坐标,近似根即函数值比较接近 0 处横坐
标的值。如图,通过题干信息,找出与 x 轴交点 M 前后 2 点 A(푥1,m), B(푥2,n)的横坐标,则一元二
次方程的根满足:푥1<푥<푥2。其中,一定存在푥1푥2<0关系式。
注:如果要求在一个取值范围内更进一步确定根的近似值,则通过判断点与 x 轴的距离,与 x 轴距离越
近,则这个点的横坐标越接近方程的根。
例 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c 是常数)中,自变量 x 与函数值 y 的对应值如下表:
x -1 − 1
2 0 1
2 1 3
2 2 5
2 3
y -2 − 1
4 1 7
4 2 7
4 1 − 1
4 −2
求一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c 是常数)的两个根푥1,푥2的取值范围( )
【答案】− 1
2
<x1<0;2<x2<5
2
【解析】根据表格可知:
①二次函数是开口向下的图像
②函数与 x 的的交点在− 1
2
<푥<0和 2<x<5
2
之间
∵函数与 x 轴的交点即为对应一元二次方程的解
∴− 1
2
<x1<0;2<x2<5
2
例 2.下表是一组二次函数 y=x2+3x﹣5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程 x2+3x﹣5=0 的一个近似根是( )
A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3
【答案】C
【解析】观察表格得,可得:方程的根取值范围为:1.1<x<1.2
∵当 x=1.1 时,y=-0.49,即与 x 轴的距离为 0.49
当 x=1.2 时,y=0.04,即与 x 轴的距离为 0.04
∵0.04<0.49,即 x=1.2 的点离 x 轴更近
∴x≈1.2
∴答案为 C
三、难点题型
题型 1 图像信息题
解题技巧:解读图像中关键点与解析式 a,b,c 的联系,从而推导正确结论。
例 1.如图,二次函数 y=푎푥2 + 푏푥 + 푐(a≠0)的图像的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结
论正确的有:
①ab<0;②푏2>4푎푐;③0<a+b+c<2;
④0<b<1;⑤当 x>-1 时,y>0
【答案】①、②、③、④
【解析】由图形可知:c=1,a-b+1=0
∴b=1+a
∵抛物线开口向下
∴a<0
∵对称轴在 x 轴正半轴
∴− 푏
2푎
>0
∴b>0
∴ab<0,①正确
∵抛物线与 x 轴有两个不同交点
∴b2 − 4ac>0,②正确
当 x=1 时,代入得 y>0,,即 a+b+c>0
∵a+b+c=2+2a<2,则③正确
∵b=a+1<1,且 b>0,则④正确
y 也可以小于等于 0,则⑤不正确
例 2.如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线 y=a푥2 + 푏푥 + 푐经过点(-1,-4),则下列结论正确的有:
①푏2>4푎푐;②a푥2 + 푏푥 + 푐 ≥ −6;
③若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则 m>n;
④关于 x 的一元二次方程a푥2 + 푏푥 + 푐 = −4的两根为-5 和-1
【答案】①、②、④
【解析】∵抛物线与 x 轴有 2 个交点
∴b2 − 4ac>0
∴①正确
抛物线开口向上,顶点坐标为(-3,-6)
∴最小值为-6
∴②正确
∵x=-2 离对称轴 x=-3 的距离为 1;x=-5 例对称轴 x=-3 的距离为 2,
∴n>m,即③错误
ax2 + bx + c = −4的两个根即抛物线与直线 y=-4 的连个交点横坐标
由图像知分别为-5 和-1,即④正确
题型 2 抛物线与直线交点问题
解题技巧:通过联立方程,求解二元一次方程组来找出交点,从而解决问题。
例 1.已知直线 y=ax+b 过抛物线 y=−푥2 − 2푥 + 3的顶点 P,如图所示。
(1)顶点 P 的坐标是。
(2)若直线 y=ax+b 经过另外一点 A(0,11),求出该直线的表达式。
(3)在(2)的条件下,若有一条直线 y=mx+n 与直线 y=ax+b 关于 x 轴对称,求直线 y=mx+n 与抛物线 y=−푥2 −
2푥 + 3的交点坐标。
【答案】(1)P(-1,4)
(2)y=7x+11
(3)( 7,60)或(-2,3)
【解析】(1)y=−x2 − 2x + 3化简为
y=−(푥 + 1)2 + 4
∴P 的坐标为(-1,4)
2)将点 P(-1,4), A(0,11)代入 y=ax+b 中得:
{−푎 + 푏 = 4
푏 = 11 ,解得:{ 푎 = 7
푏 = 11
直线解析式为:y=7x+11
(3)∵直线 y=mx+n 的解析式为 y=-(7x+11)
联立{y = -(7x + 11)
y = −x2 − 2x + 3
得:{ 푥 = 7
푦 = −60或{푥 = −2
푦 = 3
∴交点坐标为(7,60)或(-2,3)
例 2.如图,点 P 是直线 l:y=-2x-2 上的点,过点 P 的另一条直线 n 交抛物线 y=푥2于 A,B 两点。
(1)若直线 n 的解析式为:y=− 1
2 푥 + 3
2
,求 A,B 两点的坐标。
(2)求证:对于直线 l 上任意一点 P,在抛物线上都能找到两个点 A,使得 PA=AB 成立。
【答案】(1)A(− 3
2
, 9
4
),点 B(1,1)
(2)见解析
【解析】(1)由题意得:{
y = x2
y = − 1
2 x + 3
2
解得:{푥1 = 1
푦1 = 1或{
푥2 = − 3
2
푦2 = 9
4
∴点 A(− 3
2
, 9
4
),点 B(1,1)
(2)如下图所示,过点 P,B 分别作点 A 平行 x 轴的直线的垂线,垂足分别为点 G,H。设 P(a,- 2a-2),
A(m,푚2)
∵PA=PB
∴△PAG≌△BAH
∴AG=AH,PG=BH
∴B(2m-a,2푚2 + 2푎 + 2)
将点 B(2m-a,2푚2 + 2푎 + 2)代入y = x2得:
2푚2 + 2푎 + 2 = (2m-a)2
化简得:2푚2 − 4푎푚 + 푎2 − 2푎 − 2=0
∵△=16푎2 − 8(푎2 − 2푎 − 2)=8>0
∴无论 a 取何值,总有两个点满足:PA=PB
题型 3 二次函数与一元二次方程的综合应用
解题技巧:此类题型,多需要结合图形进行分析。我们通常将函数中的字母当作常数进行计算,求解出函
数值后,再根据题干特殊条件来求解字母的值或取值范围。
例 1.已知关于 x 的二次函数 y=a푥2 + (푎2 − 1)푥 − 푎的图像与 x 轴的一个交点坐标为(m,0)。若 2<m<3,
则 a 的取值范围是
【答案】1
3
<푎< 1
2
或-3<a<-2
【解析】因为函数与 x 轴交于点(m,0),可将点直接代入函数中得:
0=a푚2 + (푎2 − 1)푚 − 푎
解得:{ 푚1 = 1
푎
푚2 = −푎
情况一:当푚1 = 1
푎
时函数与 x 轴检点横坐标时,则 2<1
푎
<3
解得:1
3
<푎< 1
2
情况二:当푚2 = −푎时函数与 x 轴检点横坐标时,则 2<−푎<3
解得:-3<a<-2
综上得:1
3
<푎< 1
2
或-3<a<-2
例 2.已知抛物线 y=a푥2+bx+c(a<0)的对称轴为 x=-1,与 x 轴的一个交点为(2,0).若关于 x 的一元
二次方程 a푥2+bx+c=p(p>0)有整数根,则 p 的值有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】B
【解析】因为函数的对称轴 x=-1,与 x 轴的一个交点为(2,0)
所以与 x 轴的另一个交点为(-4,0)
则函数草图如下
a푥2+bx+c=p 有整数解,即当 y=p 时,函数 x 为整数
如上图,x 为整数的点有 x=-3(x=1)、 x=-2(x=0)、 x=-1 则 3 个点
所以 p 的值有 3 个
例 3.将函数 y=푥2﹣2x(x≥0)的图象沿 y 轴翻折得到一个新的图象,前后两个图象其实就是函数 y=푥2﹣
2|x|的图象,关于 x 的方程푥2﹣2|x|=a,在﹣2<x<2 的范围内恰有两个实数根时,a 的值为( )
A.1 B.0 C.− 1
2
. D.﹣1
【答案】D
【解析】草图如下
在﹣2<x<2 的范围内,要想方程푥2﹣2|x|=a 恰有 2 个根
则必须要求函数 y=푥2﹣2|x|与 y=a 的横线交点为 2 个
则如图所示,a=-1