人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）平行及角平分类相似 8页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 相似 了解比例的基本性质吧，了解线 段的比、成比例线段，会判断四 条线段是否成比例，会利用线段 的比例关系求未知线段；了解黄 金分割；知道相似多边形及其性 质；认识现实生活中物体的相似； 了解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题 相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似 会用相似多边形的性质解决简 单问题 模块一 平行线类相似 平行线类相似的基本模型有 【例 1】 如图，在 ABCD 中，点 E 在线段 DC 上，若 1 2DE EC ∶ ∶ ，则 BF BE ∶ ． 平行线及角平分线类相似 2 【巩固】如图，在 ABC△ 中， , ,DE BC DG AC CF AB∥ ∥ ∥ ，则图中与 ABC△ 相似的三角形（ ABC△ 除 外）有哪些？ 【拓展】如图，点 1 2 3 4, , ,A A A A 在射线 OA上，点 1 2 3, ,B B B 射线 OB 上，且 1 1 2 2 3 3A B A B A B∥ ∥ ， 2 1A B ∥ 3 2A B 4 3A B∥ ．若 2 1 2 3 2 3,A B B A B B△ △ 的面积分别为1,4 ，则图中三个阴影三角形面积之和为 ． 【例 2】 如图，已知 DE AB∥ ， 2OA OC OE  ，求证： AD BC∥ ． D O E C B A 【巩固】在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE ，交 AC 于点 F ，则 AF CF∶ =（ ） 【巩固】如图，在 ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 取一点 E ，使 AD AE ，直线 DE 和 BC 的延长线相 3 交于 P ，求证： BP BD CP CE  ． P E D C B A 【拓展】如图，在 ABC△ 中，M 是 AC 的中点，E 是 AB 上一点，且 1 4AE AB ，连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC CD  ____ ___． 【拓展】如图， AD 是 ABC△ 的中线，点 E 在 AD 上， F 是 BE 延长线与 AC 的交点． （1）如果 E 是 AD 的中点，求证： 1 2 AF FC  ； （2）由（1）知，当 E 是 AD 中点时， 1 2 AF AE FC ED   成立，若 E 是 AD 上任意一点（ E 与 A 、 D 不 重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由． 模块二 角平分线类相似问题 4 角平分线类的相似模型如下： 方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这 部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样 的辅助线，基本都可以解决． 【例 1】 如图， AD 是 ABC△ 的角平分线，求证： AB BD AC CD  D C B A 【巩固】 已知 ABC△ 中， BAC 的外角平分线交对边 BC 的延长线于 D ，求证： AB BD AC CD  D C B A 【巩固】在 Rt ABC△ 中，线段 CE 平分 ACB 交 AB 于点 E ，交斜边上的高 AD 于点 O ，过 O 引 BC 的平 行线交于 F ．求证： AE BF ． 5 【拓展】在 ABC 中， 120BAC   ， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ，求证： 1 1 1 AD AB AC   ． D C B A 【拓展】如图，已知 A 是 XOY 的平分线上的定点，过点 A 任作一条直线分别交OX 、OY 于 P 、 Q . ⑴ 证明： 1 1 OP OQ  是定值；⑵求 2 2 1 1 OP OQ  的最小值 Q P Y X O A 课堂检测 1． 如图，在 ABC△ 中， D 为 BC 边的中点， E 为 AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点 O ． （1）当 1 A 2 AE C  时，求 AO AD 的值； （2）当 1 1 A 3 4 AE C  、 时，求 AO AD 的值； 6 （3）试猜想 1 A 1 AE C n   时 AO AD 的值，并证明你的猜想． 3. 已知 ABC 中， BAC 的外角平分线交对边 BC 的延长线于 D ，求证： AC BD AB DC   ． D C B A 总结复习 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1．如图， ABC△ 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，延长 AB 交 CE 的延长线于 P ．若 2AD DE ， 求证： 3AP AB ． 7 2. 如图，在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 1 4AE AB ，连接 EM 并延长，交 BC 的延 长线于 D ，则 BC CD 的长为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3. 如图 1， ABC△ 中， ,AI BI 分别平分 ,BAC ABC  ．CE 是 ABC△ 的外角 ACD 的平分线，交 BI 延长 线于 E ，连接 CI ． （1） ABC△ 变化时，设 2BAC   ．若用 表示 BIC 和 E ，那么 BIC = ，∠E= ； （2）若 1AB  ，且 ABC△ 与 ICE△ 相似，求相应 AC 长； （3）如图 2，延长 AI 交 EC 延长线于 F ．当 ABC△ 形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与 AIB△ 相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 8 4. 如图，在直角 ABC△ 中（ 90C   ），放置边长分别 3,4, x 的三个正方形，则 x 的值为 ． 5. 如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外），分别以 ,AC BC 为斜边并且在 AB 的同一侧作等腰 直角 ACD△ 和 BCE△ ，连接 AE 交 CD 于点 M ，连接 BD 交CE 于点 N ，给出以下三个结论： ① MN AB∥ ；② 1 1 1 MN AC BC   ；③ 1 4MN AB ，其中正确结论的个数是（ ） A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3