2021年中考数学专题复习 专题24 矩形（学生版） 8页

专题 24 矩形问题 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2．矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角； (2)矩形的对角线平分且相等。 3．矩形判定定理 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4．矩形的面积：S=ab(a、b 分别表示矩形的长、宽) 【例题 1】(2020•湘西州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，矩形的 另一个顶点 D 在 y 轴的正半轴上，矩形的边 AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点 C 到 x 轴的距离等于( ) A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx 【对点练习】(2019•贵州省铜仁市)如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边 形的内角和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是( ) A．360° B．540° C．630° D．720° 【例题 2】(2020•菏泽)如图，矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝12，点 P 在对角线 BD 上，且 BP＝BA，连接 AP 并 延长，交 DC 的延长线于点 Q，连接 BQ，则 BQ 的长为 ． 【对点练习】(2019 内蒙古通辽)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝8，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂 足为点 E，且 AE 平分∠BAC，则 AB 的长为 ． 【例题 3】(2020•聊城)如图，在▱ ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF， AC，若 AD＝AF，求证：四边形 ABFC 是矩形． 【对点练习】(2019•湖北省鄂州市)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分别交 AB、CD 边于点 E、F． (1)求证：四边形 DEBF 是平行四边形； (2)当 DE＝DF 时，求 EF 的长． 一、选择题 1．(2020•怀化)在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若△AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 2．(2020•达州)如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC、BD 交于点 E， 连接 OE 交 AD 于点 F．下列 4 个判断：①OE 平分∠BOD；②OF＝BD；③DF AF；④若点 G 是线段 OF 的中 点，则△AEG 为等腰直角三角形．正确判断的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 3.(2019•广东广州)如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE＝3，AF＝5，则 AC 的长为( ) A．4 B．4 C．10 D．8 4．(2019•山东泰安)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点， 连接 PB，则 PB 的最小值是( ) A．2 B．4 C． D． 5.(2019 湖北荆州)如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在∠MON 的边 OM，ON 上，若 OA＝OC，要求只用 无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE 平分∠MON．有 以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小 明的作法依据是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．(2020•绍兴)将两条邻边长分别为 ，1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪 出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 (填序号)． ① ， ②1， ③ 1， ④ ， ⑤ ． 7．(2020•泸州)如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，BF 与 EC、ED 分别交于点 M，N．已 知 AB＝4，BC＝6，则 MN 的长为 ． 8．(2020•黔东南州)如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC ，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 交于点 P，过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q，则 PQ＝ ． 9.(2019湖南娄底)如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 (添加一个条 件即可)． 10.(2019 黑龙江省龙东地区)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S△PAB＝ 1 2 S△PCD，则 PC＋PD 的最小值是________． 11.(2019 贵州省安顺市) 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点 D 为斜边 BC 上的一个动 点，过 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，作 DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 . B D M N C A 12.(2019•湖北省咸宁市)如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 于 点 Q，连接 CM．下列结论： ①CQ＝CD； ②四边形 CMPN 是菱形； ③P，A 重合时，MN＝2 ； ④△PQM 的面积 S 的取值范围是 3≤S≤5． 其中正确的是 (把正确结论的序号都填上)． 13.(2019·贵州贵阳)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动 过程中，点 E 的运动路径长是 ． 14．(2019•山东潍坊)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB＝ ． 15.(2019 北京市)在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点(不与端点重合)．对于任 意矩形 ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是_______． 三、解答题 16．(2020•苏州)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DF⊥AE，垂足为 F． (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若 AB＝6，BC＝4，求 DF 的长． 17．(2020•贵阳)如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF＝BE． (1)求证：四边形 AEFD 是平行四边形； (2)连接 ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形 AEFD 的面积． 18．(2020•遂宁)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形 ADCF 为矩形． 19．(2019 湖南怀化)已知：如图，在▱ ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形 AECF 是矩形．