【精品】人教版 九年级下册数学 26 13页

第 1 页 共 13 页 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第 2 课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重 点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综 合运用能力. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 1.反比例函数的图象是什么？ 2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 合作探究 一、要点探究 探究点 1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ (2) 点 B(3，4)，C( 2 12 ， 5 44 )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 第 2 页 共 13 页 【针对训练】已知反比例函数 x ky  的图象经过点 A (2，3)． （1）求这个函数的表达式； （2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 探究点 2：反比例函数图象和性质的综合 例 2 如图，是反比例函数 x my 5 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样 的大小关系？ 【针对训练】如图，是反比例函数 x ky  1 的图象，则 k 的值可以是 （ ） A．－1 B．3 C．1 D．0 探究点 3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 操作 1. 在反比例函数 xy 4 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1， S2 的矩形， 第 3 页 共 13 页 填写下列表格： S1 的值 S2 的值 S1 与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (2，2) ，Q (4，1) 2. 若在反比例函数 xy 4 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： S1 的值 S2 的值 S1 与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)，Q (－2，2) 猜想 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 x ky  图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBP=|k|. 证明 我们就 k < 0 的情况给出证明： 第 4 页 共 13 页 【要点归纳】对于反比例函数 x ky  ，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂 直于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ= |k|. 推理：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= 2 k . 【针对训练】如图，在函数 xy 1 (x＞0)的图象上有三点 A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂 线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA ，SB，SC，则（ ） A. SA >SB>SC B. SA0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积 为 S1，则(1) S1 = ；(2）梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；（3） △POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3. （填“＞”，“＜”或者“＝”） 【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的 面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 . 例 5 如图，点 A 是反比例函数 xy 2 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 xy 3 (x ＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___. 第 6 页 共 13 页 【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求 面积的图形. 【针对训练】如图，函数 y＝－x 与函数 xy 4 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴 的垂线，垂足分别为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 探究点 4：反比例函数与一次函数的综合 思考 在同一坐标系中，函数 x ky 1 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b 各应满足什么条件？ 例 6 函数 y=kx－k 与 x ky  （k≠0）的图象大致是（ ） 【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的 答案. 【针对训练】在同一直角坐标系中，函数 x ay  与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（ ） 第 7 页 共 13 页 例 7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 x my 2 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范 围为 . 【针对训练】如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 x ky 2 2  的图象交于 A，B 两点， 观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是 ． 例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出 图象. 想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 【针对训练】反比例函数 xy 12 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． 第 8 页 共 13 页 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图， P 是反比例函数 x ky  的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接 O P ， 且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 2. 反比例函数 x ky  的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式 是____ ___． 3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 x ky 2 (x＞0)交于 A，B 两点，其横坐标分别为 1 和 5，则不 等式 k1x +b ＞ x k2 的解集是__________． 4. 已知反比例函数 x ky  的图象经过点 A (2，－4). 第 9 页 共 13 页 （1）求 k 的值； （2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? （3）画出该函数的图象； （4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 x ky  交于 A(1，2)，B(m，－4)两点， （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求不等式 ax + b＞ x k 的解集. 6. 如图，反比例函数 xy 8 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积. 参考答案 第 10 页 共 13 页 自主学习 一、知识链接 1.解：反比例函数的图象是双曲线 2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 合作探究 一、要点探究 探究点 1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例 1 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. （2）设这个反比例函数的解析式为 x ky  ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 26 k ，解得 k =12. 所以反比例函数的解析式为 xy 12 . 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数 x ky  的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 23 k ，解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为 xy 6 . （2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的 坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． （3）∵ 当 x = －3 时，y =－2；当 x = －1 时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点 2：反比例函数图象和性质的综合 例 2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5. （2）因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小， 因此当 x1＞x2 时，y1＜y2. 【针对训练】B 探究点 3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 第 11 页 共 13 页 证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数 x ky  的图象上，∴ a kb  ，即 ab=k. 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S 矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 同理，∴ S 矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.综上，S 矩形 AOBP=|k|. 【针对训练】C 【典例精析】 例 3 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点 A 在反比例函数 x ky  的图象上，∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC＝ 2 1 xA·yA = 2 1 ·k＝2，∴ k＝4.∴反比例函数的表达式为 xy 4 . 【针对训练】1.-12 2. xyxy 33  或 例 4 (1) 2 (2） > （3）= 【针对训练】S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 < S3 例 5 5 【针对训练】D 探究点 4：反比例函数与一次函数的综合 例 6 D 【针对训练】B 例 7 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 【针对训练】 -1< x <0 或 x >2 例 8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 x ky 2 . 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐 标分别满足这两个函数解析式.所以 4=-3k1， 34 2  k .解得 3 4 1 k ，k2=-12 则这两个函数的解析式分别为 xy 3 4 和 xy 12 ， 它们的图象如图所示. 第 12 页 共 13 页 【针对训练】（2,6）或（-2,-6） 当堂检测 1. A 2. xy 3 3. 1＜x＜5 4. 解：（1）∵ 反比例函数 x ky  的图象经过点 A (2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 24 k ，解得 k = －8. （2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. （3）如图所示： （4）该反比例函数的解析式为 xy 8 . 因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. 5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为 xy 2 . 当 y =－4 时，m= 2 1 ,∴ B（ 2 1 ，－4）.将 A(1，2)，B（ 2 1 ，－4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2; ∴直线的解析式为 y=4x-2. （2）根据图象可知，若 ax + b＞ x k ，则 x＞1 或 2 1 ＜x＜0. 6. 解:（1）联立两个解析式，解得      4 ,2 y x 或      .2 ,4 y x 所以 A(－2，4)，B(4，－2). （2）一次函数与 x 轴的交点为 M (2，0)，∴OM=2. 第 13 页 共 13 页 作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 AC=4，BD=2. ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.