中考卷-2020中考数学试题（解析版）（110） 25页

湖北省咸宁市 2020 年中考数学试题 一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1.早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计 算结果为负数的是（ ） A. 3 ( 2)  B. 3 ( 2)  C. 3 ( 2)  D. ( 3) ( 2)   【答案】C 【解析】 【分析】 各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、3 ( 2)  =1，故选项不符合； B、3 ( 2)  =5，故选项不符合； C、3 ( 2)  =-6，故选项符合； D、 ( 3) ( 2)   = 3 2 ，故选项不符合； 故选 C. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2.中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片 化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计 2020 年中国在线教育用户规模将达到 305000000 人．将 305000000 用科学记数法表示为（ ） A. 110.305 10 B. 83.05 10 C. 63.05 10 D. 8305 10 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数 的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【详解】解：305000000 用科学记数法表示为 3.05×108， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3.下列计算正确的是（ ） A. 3 2a a  B. 2 3a a a  C. 6 2 3a a a  D.  22 43 6a a 【答案】B 【解析】 【分析】 利用合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可. 【详解】解：A、3 2a a a  ，故选项不符合； B、 2 3a a a  ，故选项符合； C、 6 2 4a a a  ，故选项不符合； D、  22 43 9a a ，故选项不符合； 故选 B. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是关 键. 4.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视 图． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选 A. 【点睛】本题考查了三视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5.如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A. 乙的最好成绩比甲高 B. 乙的成绩的平均数比甲小 C. 乙的成绩的中位数比甲小 D. 乙的成绩比甲稳定 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线统计图得出甲乙成绩的各项数据，从而判断各选项. 【详解】解：由图可知： 甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9， 乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8， A、甲的最好成绩为 10 环，乙的最好成绩为 9 环，故选项错误； B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）÷5=8， 乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）÷5=8， 一样大，故选项错误； C、甲的成绩的中位数为 8，乙的成绩的中位数为 8，一样大，故选项错误； D、甲的成绩的方差为          2 2 2 2 21 6 8 7 8 8 8 9 8 10 8 5            =2， 乙的成绩的方差为          2 2 2 2 21 8 8 9 8 8 8 7 8 8 8 5            =0.4， 0.4＜2，所以乙的成绩比甲稳定，故选项正确； 故选 D. 【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差，关键是根据甲乙的成绩计算出各项数据. 6.如图，在 O 中， 2OA  ， 45C  ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 2   B. 2  C. 2 2   D. 2  【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用 S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB 算出结果. 【详解】解：∵∠C=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB= 290 2 1 2 2 360 2      = 2  ， 故选 D. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°. 7.在平面直角坐标系 xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是 （ ） A. y x  B. 2y x  C. 2y x  D. 2 2y x x  【答案】B 【解析】 【分析】 根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点，再各函数中令 y=x，对应方程无解即不存在“好点”. 【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线 y=x 上的点，令各函数中 y=x， A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合； B、 2x x  ，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合； C、 2x x  ，解得： 2x   ，经检验 2x   是原方程的解，即“好点”为（ 2 ， 2 ）和（- 2 ，- 2 ）， 故选项不符合； D、 2 2x x x  ，解得：x=0 或 3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； 故选 B. 【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解 题的关键是理解“好点”的定义. 8.如图，在矩形 ABCD中， 2AB  ， 2 5BC  ，E是 BC的中点，将 ABE△ 沿直线 AE翻折，点 B落 在点 F处，连结CF，则 cos ECF 的值为（ ） A. 2 3 B. 10 4 C. 5 3 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点 E 是 BC 中点可得 EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出 ∠ECF=∠AEB，求出cos AEB 即可得到结果. 【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF， ∵点 E 是 BC 中点， 2 5BC  ， ∴BE=CE=EF= 5 ， ∴∠EFC=∠ECF，AE=  2 22 5 3  ， ∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF， ∴∠ECF=∠AEB， ∴ cos ECF = cos AEB = 5 3 BE AE  ， 故选 C. 【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到 ∠ECF=∠AEB. 二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．请把答案填在答题卷相应题号 的横线上） 9.点 A在数轴上的位置如图所示，则点 A表示的数的相反数是________． 【答案】-3 【解析】 【分析】 点 A 在数轴上表示的数是 3，根据相反数的含义和求法，判断出点 A 表示的数的相反数是多少即可． 【详解】解：∵点 A 在数轴上表示的数是 3， ∴点 A 表示的数的相反数是-3． 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握． 10.因式分解： 2 2mx mx m   __________． 【答案】m（x-1）2 【解析】 【分析】 先提取公因式 m，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】 2 2mx mx m   2 2 1m x x    21m x  故答案为：  21m x  ． 【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键． 11.如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴ //a b ． 【答案】∠1=∠4（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据平行线的判定添加条件即可. 【详解】解：如图， 若∠1=∠4，则 a∥b， 故答案为：∠1=∠4（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答. 12.若关于 x的一元二次方程 2( 2)x n  有实数根，则 n的取值范围是__________． 【答案】n≥0 【解析】 【分析】 根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于 x的一元二次方程 2( 2)x n  有实数根， 而 2( 2) 0x   ， ∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 13.某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、 小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是________． 【答案】 1 6 【解析】 【分析】 先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求 解． 【详解】解：画树状图如下： 可知：共有 6 种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有 1 种， ∴小聪和小慧被同时选中的概率是 1 6 ， 故答案为： 1 6 . 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所 占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率． 14.如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A北偏东 60°方向上，一艘轮船从北小岛 A出发，由西向东航行 24nmile 到达 B处，这时测得灯塔 P在北偏东 30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P的距离是________ n mile ．（结果保留一位小数， 3 1.73 ） 【答案】20.8 【解析】 【分析】 证明△ABP 是等腰三角形，过 P 作 PD⊥AB，从而求得 PD 的长即可． 【详解】解：过 P 作 PD⊥AB 于 D， ∵AB=24， ∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°， ∴∠BPD=30°， ∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB， ∴AB=BP=24， 在直角△PBD 中，PD=BP•sin∠PBD=24× 3 2 =12 3 ≈20.8. 故答案为：20.8. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关 键． 15.按一定规律排列的一列数：3， 23 ， 13 ， 33 ， 43 ， 73 ， 113 ， 183 ，…，若 a，b，c表示这列数中的 连续三个数，猜想 a，b，c满足的关系式是__________． 【答案】bc=a 【解析】 【分析】 根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到 a，b，c之间满足的关系式． 【详解】解：∵一列数：3， 23 ， 13 ， 33 ， 43 ， 73 ， 113 ， 183 ，…， 可发现：第 n 个数等于前面两个数的商， ∵a，b，c表示这列数中的连续三个数， ∴bc=a， 故答案为：bc=a． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出 a，b，c 之间的关系式． 16.如图，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，点 E是边 BC上一动点（不与点 B，C重合）， 90AEF  ， 且 EF 交正方形外角的平分线CF 于点 F，交CD于点 G，连接 AF ，有下列结论： ① ABE ECG ∽ ； ② AE EF ； ③ DAF CFE  ； ④ CEF△ 的面积的最大值为 1． 其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD 可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在 BA 上截取 BM=BE，证明 △AME≌△ECF，可判断②；可得△AEF 为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF， ∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③；设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求 出△AME 面积的最大值即可判断④. 【详解】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CEG， ∴△ABE∽△ECG，故①正确； 在 BA 上截取 BM=BE， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=90°，BA=BC， ∴△BEM 为等腰直角三角形， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵BA-BM=BC-BE， ∴AM=CE， ∵CF 为正方形外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°=∠AME， ∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF，故②正确； ∴△AEF 为等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠EFA=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， 而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF， ∴ DAF CFE  ，故③正确； 设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x， S△AME= 1 2 •x•（2-x）= 21 2 x x  ， 当 x=1 时，S△AME有最大值 1 2 ， 而△AME≌△ECF， ∴S△AME=S△CEF， ∴S△CEF有最大值 1 2 ，所以④错误； 综上：正确结论的序号是：①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方 形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 2 分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17.（1）计算： 0|1 2 | 2sin 45 ( 2020)    ； （2）解不等式组： ( 1) 3, 2 9 3. x x       【答案】（1）0；（2）-3＜x＜-2 【解析】 【分析】 （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）分别解得两个不等式的解集，再合并即可. 【详解】解：（1）原式= 22 1 2 1 2     =0； （2） ( 1) 3 2 9 3 x x       ① ② ， 解不等式①得：x＜-2， 解不等式②得：x＞-3， ∴不等式组的解集为：-3＜x＜-2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算与解不等式组，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法 则. 18.如图，在 ABCD 中，以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点 E，在 AD上截取 AF BE ，连 接 EF ． （1）求证：四边形 ABEF是菱形； （2）请用无刻度的直尺．．．．．．在 ABCD 内找一点 P，使 90APB  （标出点 P的位置，保留作图痕迹，不写 作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 为平行四边形，得出 AF∥BE，由作图过程可知 AF=BE，结合 AB=BE 即可证明； （2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接 AE 和 BF，交点即为点 P. 【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AF∥BE， ∵AF=BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∵AB=BE， ∴平行四边形 ABEF 为菱形； （2）如图，点 P 即为所作图形， ∵四边形 ABEF 为菱形，则 BF⊥AE， ∴∠APB=90°. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图. 19.如图，已知一次函数 1y kx b  与反比例函数 2 my x  的图象在第一、三象限分别交于 (6,1)A ， ( , 3)B a  两点，连接OA，OB． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2） AOB 的面积为______； （3）直接写出 1 2y y 时 x的取值范围． 【答案】（1） 1 1 2 2 y x  ， 2 6y x  ；（2）8；（3）-2＜x＜0 或 x＞6. 【解析】 【分析】 （1）把 A 代入反比例函数，根据待定系数法即可求得 m，得到反比例函数的解析式，然后将 ( , 3)B a  代入， 求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与 x 轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的 x 取值范围． 【详解】解：（1）把 (6,1)A 代入反比例函数 2 my x  得： m=6， ∴反比例函数的解析式为 2 6y x  ， ∵ ( , 3)B a  点在反比例函数 2 my x  图像上， ∴-3a=6，解得 a=-2， ∴B（-2，-3）， ∵一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A 和 B， ∴ 1 6 3 2 k b k b       ，解得： 1 2 2 k b       ， ∴一次函数的解析式为 1 1 2 2 y x  ； （2）∵ (6,1)A ， ( 2, 3)B   ，一次函数的解析式为 1 1 2 2 y x  ， 令 y=0，解得：x=4，即一次函数图像与 x 轴交点为（4，0）， ∴S△AOB=  1 4 1 3 8 2     ， 故答案为：8； （3）由图象可知： 1 2y y 时，即一次函数图像在反比例函数图像上方， x 的取值范围是：-2＜x＜0 或 x＞6. 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反 比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活 运用． 20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情 况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位：min ），然后 利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 在线阅读时间频数分布表 组别 在线阅读时间 t （人数） A 10 30t „ 4 B 30 50t „ 8 C 50 70t „ a D 70 90t „ 16 E 90 110t „ 2 根据以上图表，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有______人， a ______，m  _____； （2）求扇形统计图中扇形 D的圆心角的度数； （3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min ? 【答案】（1）50，20，8；（2）115.2°；（3）722 【解析】 【分析】 （1）根据 B 组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据 C 组所占百分比求出 a 值，最后根据 A 组人数求出所占百分比； （2）求出 D 组所占百分比，再乘以 360°即可； （3）用样本中在线阅读时间不少于50 min的总人数除以 50，再乘以全校总人数即可. 【详解】解：（1）∵B 组的人数为 8 人，所占百分比为 16%， ∴被调查的同学共有 8÷16%=50 人， a=50×40%=20 人，4÷50×100%=8%， ∴m=8， 故答案为：50，20，8； （2）（1-40%-16%-8%-4%）×360°=115.2°， 则扇形统计图中扇形 D的圆心角的度数为：115.2°； （3）950× 20 16 2 50   =722 人， ∴全校有 722 学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min . 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答． 21.如图，在Rt ABC△ 中， 90 C ，点 O在 AC上，以OA为半径的半圆 O交 AB于点 D，交 AC于 点 E，过点 D作半圆 O的切线DF，交 BC于点 F． （1）求证： BF DF ； （2）若 4AC  ， 3BC  ， 1CF  ，求半圆 O的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 13 8 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可； （2）过 F 作 FG⊥BD 于 G，先利用三角函数求出 BG=DG，再过点 O 作 OH⊥AD 于 H，在△AOH 中，求 出 AO 即可. 【详解】解：（1）连接 OD， ∵DF 和半圆相切， ∴OD⊥DF， ∴∠BDF+∠ADO=90°， ∵∠ADO=∠OAD， ∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°， ∴∠OAD+∠B=90°， ∴∠BDF=∠B， ∴BF=DF； （2）过 F 作 FG⊥BD 于 G，则 GF 垂直平分 BD， ∵ 1CF  ， ∴BF=DF=2， ∵ 4AC  ， 3BC  ，∠C=90°， ∴AB= 2 23 4 5  ， ∴cos∠B= BC BG AB BF  = 3 5 ， ∴ 3 2 5 BG  ，解得：BG= 6 5 =DG， ∴AD=AB-BD= 13 5 ， 过点 O 作 OH⊥AD 于 H， ∴AH=DH= 1 2 AD= 13 10 ， ∵cos∠BAC= 4 5 AC AH AB AO   ， ∴AO= 13 8 ， 即半圆 O的半径长为 13 8 . 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形， 解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22.5 月 18 日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在 民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有 100 只，每盒水银体温计有 10 支，每盒 口罩价格比每盒水银体温计价格多 150 元．用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计所得盒数相 同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩 m盒 （m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 m的代数式表示． （3）在民联药店累计购医用品超过 1800 元后，超出 1800 元的部分可享受 8 折优惠．该校按（2）中的配 套方案购买，共支付 w元，求 w关于 m的函数关系式．若该校九年级有 900 名学生，需要购买口罩和水银 体温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元，50 元；（2）5m；（3）     450 4 360 360 4 w m m w m m        ， 需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. 【解析】 【分析】 （1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，根据用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计的盒数相 同列出方程，求解即可； （2）先用 m 表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数； （3）分当 m≤4 时，当 m＞4 时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有 900 名学生求出口罩的盒 数 m，从而得到体温计的盒数以及总费用. 【详解】解：（1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，则每盒口罩的价格是 x+150 元， 根据题意可得： 1200 300 150x x   ， 解得：x=50， 经检验：x=50 是原方程的解， 50+150=200 元， ∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元，50 元； （2）∵购买口罩 m 盒， ∴共有口罩 100m 个， ∵给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计， ∴需要发放 100 2 m 支水银体温计， ∴需要购买 100 10 5 2 m m  盒水银体温计； （3）由题意可得： 令 200m+5m×50=1800， 解得：m=4， 若未超过 1800 元，即当 m≤4 时， 则 w=200m+5m×50=450m， 若超过 1800 元，即当 m＞4 时， w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360， ∴w关于 m的函数关系式为     450 4 360 360 4 w m m w m m        ， 若该校九年级有 900 名学生，即 100 2 m =900， 解得：m=18， 则 360 360w m  =6840， 答：需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数 与体温计盒数的配套关系. 23.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形 ABCD是对余四边形，则 A 与 C 的度数之和为______； 证明： （2）如图 1，MN是 O 的直径，点 , ,A B C在 O 上， AM，CN 相交于点 D． 求证：四边形 ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图 2，在对余四边形 ABCD中， AB BC ， 60ABC   ，探究线段 AD，CD和 BD之间有怎 样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】（1）90°或 270°；（2）见解析；（3） 2 2 2CD AD BD  ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）分当∠A 和∠C 互余时，当∠B 和∠D 互余时，两种情况求解； （2）连接 BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可； （3）作△ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，先证明 GF 是圆 O 的直径，得到 2 2 2GE EF GF  ，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF， 可得 2 2 2 2 2 2 2 2AB CF AD GC AC EF AC GE   ， BC BD CD k GC GF CF    ，从而得出 2 2 2 2 2 2AB CD AD BC AC BD  ，根据△ABC 为等边三角形可得 AB=AC=BC，从而得到 2 2 2CD AD BD  . 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD是对余四边形， 当∠A 和∠C 互余时， ∠A+∠C=90°， 当∠B 与∠D 互余时， ∠B+∠D=90°， 则∠A+∠C=360°-90°=270°， 故答案为：90°或 270°； （2）如图，连接 BO， 可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A， 而∠BON+∠BOM=180°， ∴2∠C+2∠A=180°， ∴∠C+∠A=90°， ∴四边形 ABCD是对余四边形； （3）∵四边形 ABCD 为对于四边形，∠ABC=60°， ∴∠ADC=30°， 如图，作△ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF， 则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°， ∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°， ∴GF 是圆 O 的直径， ∵AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形， ∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF， ∴△ABC∽△FEC，得： AB AC BC EF FC EC   ，则 2 2 2 2AB CF AC EF ， 同理，△ACD∽△GCE，得： AC AD CD GC GE CE   ，则 2 2 2 2AC GE AD GC ， △BCD∽△GCF，得： BC BD CD k GC GF CF    ， 可得： 2 2 2 2 2 2 2 2AB CF AD GC AC EF AC GE   ， 而 2 2 2GE EF GF  ， ∴ 2 2 2 2 2 2AB CF AD GC AC GF  ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CD BC BDAB AD AC k k k   ， ∴ 2 2 2 2 2 2AB CD AD BC AC BD  ， ∵AB=BC=AC， ∴ 2 2 2CD AD BD  . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和 性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证. 24.如图，在平面直角坐标系中，直线 1 2 2 y x   与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，抛物线 22 3 y x bx c    过点 B且与直线相交于另一点 5 3, 2 4 C       ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P是抛物线上的一动点，当 PAO BAO   时，求点 P的坐标； （3）点 5( ,0) 0 2 N n n      在 x轴的正半轴上，点 (0, )M m 是 y轴正半轴上的一动点，且满足 90MNC   ． ①求 m与 n之间的函数关系式； ②当 m在什么范围时，符合条件的 N点的个数有 2 个？ 【答案】（1） 22 7 2 3 6 y x x    ；（2） 5 3, 2 4       或（3， 1 2  ）或（-2，-3）；（3）① 24 10 3 3 m n n   ； ②0＜m＜ 25 12 【解析】 【分析】 （1）利用一次函数求出 A 和 B 的坐标，结合点 C 坐标，求出二次函数表达式； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，当点 P 在 x 轴下方时，AP 与 y 轴交于点 Q，求出 AQ 表达 式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点 P； （3）①过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，证明△MNO∽△NCD，可得 MO NO ND CD  ，整理可得结果； ②作以 MC 为直径的圆 E，根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置，即可得到 m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵直线 1 2 2 y x   与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， 令 x=0，则 y=2，令 y=0，则 x=4， ∴A（4，0），B（0，2）， ∵抛物线 22 3 y x bx c    经过 B（0，2）， 5 3, 2 4 C       ， ∴ 2 3 2 25 5 4 3 4 2 c b c         ，解得： 7 6 2 b c      ， ∴抛物线的表达式为： 22 7 2 3 6 y x x    ； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，满足 PAO BAO   ， ∵ 5 3, 2 4 C       ， ∴ 5 3, 2 4 P       ， 当点 P 在 x 轴下方时，如图，AP 与 y 轴交于点 Q， ∵ PAO BAO   ， ∴B，Q 关于 x 轴对称， ∴Q（0，-2），又 A（4，0）， 设直线 AQ 的表达式为 y=px+q，代入， 2 0 4 q p q      ，解得： 1 2 2 p q       ， ∴直线 AQ 的表达式为： 1 2 2 y x  ，联立得： 2 1 2 2 2 7 2 3 6 y x y x x           ，解得：x=3 或-2， ∴点 P 的坐标为（3， 1 2  ）或（-2，-3）， 综上，当 PAO BAO   时，点 P的坐标为： 5 3, 2 4       或（3， 1 2  ）或（-2，-3）； （3）①如图，∠MNC=90°，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D， ∴∠MNO+∠CND=90°， ∵∠OMN+∠MNO=90°， ∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°， ∴△MNO∽△NCD， ∴ MO NO ND CD  ，即 5 3 2 4 m n n   ， 整理得： 24 10 3 3 m n n   ； ②如图，∵∠MNC=90°， 以 MC 为直径画圆 E， ∵ 5( ,0) 0 2 N n n      ， ∴点 N 在线段 OD 上（不含 O 和 D），即圆 E 与线段 OD 有两个交点（不含 O 和 D）， ∵点 M 在 y 轴正半轴， 当圆 E 与线段 OD 相切时， 有 NE= 1 2 MC，即 NE2= 1 4 MC2， ∵M（0，m）， 5 3, 2 4 C       ， ∴E（ 5 4 ， 3 8 2 m  ）， ∴ 23 8 2 m     = 2 21 5 3 4 2 4 m                 ， 解得：m= 25 12 ， 当点 M 与点 O 重合时，如图， 此时圆 E 与线段 OD（不含 O 和 D）有一个交点， ∴当 0＜m＜ 25 12 时，圆 E 与线段 OD 有两个交点， 故 m 的取值范围是：0＜m＜ 25 12 . 【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次 函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.