重庆市2021年中考数学模拟试题含答案（三） 15页

重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学 模拟题(三) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1．7 的倒数是 （C） A．－1 7 B．－7 C．1 7 D．7 2．(2020·重庆大渡口期末)在下列几何体中，从正面看到为三角形的 是 （D） A B C D 3．如图，直线 a∥b，△ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直 b 上，把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 长度的一半得到 △A′B′C′(如图①)：持续以上的平移得到图②，再持续以上的平移得 到图③，…，第 2021 个图形中等边三角形的个数 （A） A．8 084 B．6 063 C．4 042 D．2 021 4．(2020·泰安)如图，PA 是⊙O 的切线，点 A 为切点，OP 交⊙O 于 点 B，∠P＝10°，点 C 在⊙O 上，OC∥AB.则∠BAC 等于 （B） A．20° B．25° C．30° D．50° 5．下列运算正确的是 （D） A．a2＋a2＝a4 B．a3·a2＝a6 C．a8÷a4＝a2 D．(a2)3＝a6 6．下列说法正确的是 （ B） A．直线外一点到这条直线的垂线叫做点到直线的距离 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同旁内角互补是真命题 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．今年，重庆市南岸区广阳镇一果农李灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨，现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销 售．已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装 枇把和桃子各 2 吨．李灿安排甲、乙两种货车一次性地将水果运到销 售地的方案数有 （C） A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 8．按如图所示的运算程序，能使输出 m 的值为 1 的是 （ D） A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 9．如图，一无人机在建筑物 AB 上空点 P 处测得建筑物底端点 A 的 俯角比顶端点 B 的俯角大 37°，已知建筑物 AB 位于水平地面 AC 上， 小明在 A 处测得无人机的仰角为 53°，小明从 A 处出发沿着 AC 走了 24 米后到达点 C 处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，小明 和建筑物的剖面在同一平面内．小明身高忽略不计．小明，建筑物 AB 都与水平面垂直．则建筑物 AB 的高度为(参考数据：sin 37°≈3 5 ， cos 37°≈4 5 ，tan 37°≈3 4 ) （C） A.100 3 米 B．75 4 米 C．25 米 D．28 米 10．若关于 x 的分式方程 x x－2 －m－1 2－x ＝3 的解为正整数，且关于 y 的不等式组 2 y－m 2 ≤5， 1＋y 2>y＋2 6 至多有六个整数解，则符合条件的所有整 数 m 的取值之和为 （A） A．1 B．0 C．5 D．6 11．如图，将△ABC 沿 DE，EF 翻折，使其顶点 A，B 均落在点 O 处，若∠CDO＋∠CFO＝72°，则∠C 的度数为 （B） A．36° B．54° C．64° D．72° 第 11 题图 第 12 题图 12．★如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝1 2 x－1 分别 交 x 轴，y 轴于点 A 和点 B，分别交反比例函数 y1＝k x (k＞0，x＞0)， y2＝2k x (x＜0)的图象于点 C 和点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，连 接 OC，OD，若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则 k 的值是（C） A．1 B．3 2 C．2 D．4 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 13．计算：3 8 ＋|1－ 2 |－(π－3)0＝ 2 ． 14．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了 26 000 人，将 26 000 用科学记数法表示为 2.6×104． 15．为积极响应“无偿献血，传递温暖”的号召，某高校一寝室的 4 个同学也用实际行动参与到爱心献血的活动中，他们其中有 2 个 A 型血，1 个 B 型血，还有 1 个 O 型血，现从该寝室随机抽取两个同学 参与第一批次献血，则两个同学都是 A 型血的概率为1 6 ． 16．(2020·十堰)如图，圆心角为 90°的扇形 ACB 内，以 BC 为直径作 半圆，连接 AB.若阴影部分的面积为(π－1)，则 AC＝2． 第 16 题图 第 17 题图 17．(2020·上海)小明从家步行到学校需走的路程为 1 800 米．如图， 折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟) 的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 350 米． 18．★重庆市某中学举行全校文艺汇报演出，部分班级需要参与准备 工作．这些班级平均每班有 36 名同学参加，其中参加人数低于 30 人 的班级平均每班有 28 人参加，参加人数不低于 30 人的班级平均每班 有 42 人参加．正式开始后，由于工作比较复杂，参与准备工作的班 级每个班增加了 5 人，此时参加人数低于 30 人的班级平均每班有 29 人参加，参加人数不低于 30 人的班级平均每班有 45 人参加．已知参 加的班级个数不低于 25，且不高于 35，那么参加准备工作的班级共 有 28 个． 三、解答题(本大题共 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分) 19．(本题满分 10 分，每小题 5 分)化简： (1)(x－2y)2－3x(x－y)； 解：原式＝x2－4xy＋4y2－3x2＋3xy ＝4y2－xy－2x2. (2)(2019·重庆一外三模) 4a＋1 a－2 ＋a ÷a2－1 a－2 . 解：原式＝ 4a＋1 a－2 ＋a（a－2） a－2 ÷ （a＋1）（a－1） a－2 ＝（a＋1）2 a－2 · a－2 （a＋1）（a－1） ＝a＋1 a－1 . 20．(本小题满分 10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝ 36°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E. (1)求∠CBE 的度数； (2)点 F 是 AE 延长线上一点，过点 F 作∠AFD＝27°，交 AB 的延长 线于点 D.求证：BE∥DF. (1)解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝36°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝54°， ∴∠CBD＝180°－54°＝126°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝1 2 ∠CBD＝63°； (2)证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°， ∴∠CEB＝90°－63°＝27°. 又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°， ∴DF∥BE. 21．(本小题满分 10 分)中考将近，同学们需要花更多的时间来进行自 我反思和总结，消化白天的学习内容，提高学习效率，因此，每个班 都在积极地进行自我调整．我校 A 班和 B 班的同学也积极响应号召， 调查了本班的自习情况以供老师参考． A 班同学在班级抽样调查中，调查了十名同学的学习情况，将这十名 同学在一周内每天用于自主复习的总时间四舍五入后，分别记录如 下：(单位：分) 18 11 22 25 25 18 27 25 22 27 B 班的同学采取的普查方式，让每位同学自己写出平均每天的自主复 习时间，将数据收集整理后得到以下数据： 平均数 中位数 众数 极差 方差 22 23 30 30 59.7 B 班的同学还将自主复习时间分为四大类：第一类为时间小于 10 分 钟以下，第二类为时间大于或等于 10 分钟且小于 20 分钟，第三类为 时间大于或等于 20 分钟且小于 30 分钟，第四类为时间大于或等于 30 分钟，并得到如下的扇形图． (1)在扇形图中，第一类所对的圆心角度数为 14.4°. (2)写出 A 班被调查同学的以下数据． 平均数 中位数 众数 极差 方差 22 23.5 25 16 23 (3)从上面的数据，我们可以得到 A 班的自主复习情况要好一些，其 理由为(至少两条)：A 班中位数高于 B 班，故整体情况好一些；A、 B 班平均数相同，但 A 班的方差较小，故学生的复习时间更加整齐， 说明 A 班学习状态差异较小． 22．(本小题满分 10 分)一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的 数为“称心数”，如 5，44，666，2 222，…，对任意一个三位数 n， 如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 “相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得 到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为 S(n)，如 n＝123， 对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和 S(123) ＝213＋321＋132＝666，是一个“称心数”． (1)计算：S(432)，S(617)，并判断是否为“称心数”； (2)若“相异数”n＝100＋10p＋q(其中正整数 p，q 满足 1≤p≤9，1 ≤q≤9)，且 S(n)为最大的三位“称心数”，求 n 的值． 解：(1)∵S(432)＝342＋234＋423＝999， ∴S(432)是称心数； ∵S(617)＝167＋716＋671＝1 554， ∴S(617)不是称心数； (2)∵相异数 n＝100＋10p＋q， ∴n＝100×1＋10p＋q， 又∵1≤p≤9，1≤q≤9(p，q 为正整数)， S(n)为最大的三位“称心数”， ∴S(n)＝999 且 1＋p＋q＝9，p≠q≠1， ∴p，q 取值如下： p＝6， q＝2， 或 p＝5， q＝3， 或 p＝3， q＝5 或 p＝2， q＝6， 由上可知符合条件三位“相异数”n 为 162 或 153 或 135 或 126. 23．(本小题满分 10 分)借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y ＝|x2－2x－3|－2 图象和性质，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 m －2 1 n 1 －2 3 10 … 其中，m＝ ，n＝ ； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数 图象； (3)观察函数图象： ①当方程|x2－2x－3|＝b＋2 有且仅有两个不相等的实数根时，根据函 数图象直接写出 b 的取值范围为 ． ②在该平面直角坐标系中画出直线 y＝1 2 x＋2 的图象，根据图象直接 写出该直线与函数 y＝|x2－2x－3|－2 的交点横坐标为： (结 果保留一位小数). 解：(1)把 x＝－2 代入 y＝|x2－2x－3|－2， 得 y＝3，∴m＝3， 把 x＝1 代入 y＝|x2－2x－3|－2， 得 y＝2，∴n＝2， 故答案为 3，2； (2)如图所示； (3)①由图象可知，当 b＝－2 或 b＞2 时，函数 y＝|x2－2x－3|－2 图 象与直线 y＝b 有两个交点， ∴当方程|x2－2x－3|＝b＋2 有且仅有两个不相等的实数根时，b＝－2 或 b＞2， 故答案为 b＝－2 或 b＞2； ②如图：直线与函数 y＝|x2－2x－3|－2 的交点横坐标为－1.7 和 4.2， 故答案为－1.7 和 4.2. 24．(本小题满分 10 分)武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成城 抗疫救灾．某公司筹集了抗疫物资 120 吨打算运往武汉疫区，现有甲、 乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 (1)全部物资一次性运送可用甲型车 8 辆，乙型车 5 辆，丙型车 辆； (2)若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费 9 600 元，求 甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数 为 14 辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？ 此时的总运费为多少元？ 解：(1)(120－5×8－8×5)÷10＝4(辆). 答：丙型车 4 辆． (2) 设 甲 种 车 型 需 x 辆 ， 乙 种 车 型 需 y 辆 ， 根 据 题 意 得 5x＋8y＝120， 450x＋600y＝9 600， 解得 x＝8， y＝10. 答：甲种车型需 8 辆，乙种车型需 10 辆． (3)能，设甲车有 a 辆，乙车有 b 辆，则丙车有(14－a－b)辆，由题意 得 5a＋8b＋10(14－a－b)＝120，即 a＝4－2 5 b，∵a，b，14－a－b 均为正整数，∴b 只能等于 5，∴a＝2，14－a－b＝7， ∴甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆． 则需运费 450×2＋600×5＋700×7＝8 800(元). 答：能分别找出三种车型的辆数， 其中：甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆，此时的总运费为 8 800 元． 25．(本小题满分 10 分)(2020·重庆一中期末检测)如图所示，在平面直 角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 x 轴交于点 A(－2，0)，B(8， 0)，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标； (2)连接 AC，BC，点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，连接 PC， PB，若有 S△PBC＝1 2 S△ABC，求出点 P 的横坐标； (3)若将抛物线沿直线 AC 方向平移一定距离得到新抛物线 L，且抛物 线 L 满足当 1≤x≤3 时，有最大值为 0，直接写出抛物线 L 的对称轴． 解：(1)将点 A(－2，0)和点 B(8，0)代入抛物线得 4a－2b＋4＝0， 64a＋8b＋4＝0， 解得 a＝－1 4 ， b＝3 2 ， ∴抛物线解析式为 y＝－1 4 x2＋3 2 x＋4. 令 x＝0，得 y＝4∴C(0，4). (2)设直线 BC 解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， 将点 C(0，4)和点 B(8，0)代入解析式得 b＝4， 8k＋b＝0， 解得 b＝4， k＝－1 2 ， ∴直线 BC：y＝－1 2 x＋4. 过点 P 作 PE∥y 轴交直线 BC 于点 E. 设 p m，－1 4m2＋3 2m＋4 ， 则 E m，－1 2m＋4 ，∵S△PBC＝1 2 S△ABC， ∴(xB－xC)·PE＝1 2 AB·OC 即 8 －1 4m2＋3 2m＋4＋1 2m－4 ＝1 2 ×10×4， 解得 m1＝4＋ 6 ，m2＝4－ 6 ， ∴p 点横坐标为 4＋ 6 或 4－ 6 . (3)抛物线 L 的对称轴为直线 x＝0 或 x＝4＋ 41 . 四、解答题(本大题 1 个小题，共 8 分) 26．(本小题满分 8 分)在矩形 ABCD 中，点 F 为对角线 BD 上一点， 点 E 在 BA 延长线上． (1)如图①，若点 F 为矩形对角线 AC，BD 交点，BE＝BD，连接 DE， 点 G 是 DE 的中点，连接 FG，若 BC＝12，FG＝15 2 ，求线段 DE 的 长； (2)如图②，连接 EF，点 E，F 所在位置恰好满足 EF⊥BD，且交 AD 于点 H，连接 AF，当 FD＝FE 时，求证：HA＋CD＝ 2 AF. 图① 图② (1) 解：∵四边形 ABCD 是矩形，点 F 为对角线 AC，BD 的交点， ∴BF＝DF.∵点 G 是 DE 的中点， ∴BE＝2GF＝2×15 2 ＝15.∴BD＝15. ∴AB＝ BD2－AD2 ＝ 152－122 ＝9. ∴AE＝BE－AB＝15－9＝6. ∴在 Rt△ADE 中，DE＝ AE2＋AD2 ＝6 5 ； (2)证明：如图②，过点 F 作 FN⊥AF 交 AB 的延长线于点 N， ∵EF⊥DF，EA⊥AD， ∴∠E＋∠AHE＝90°，∠ADF＋∠DHF＝90°. ∴∠E＝∠ADF. ∵∠AFN＝∠EFD＝90°， ∴∠AFD＝∠EFN，∠E＝∠ADF，且 EF＝DF. ∴△EFN≌△DFA(ASA). ∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°. ∴AN＝ 2 AF. ∵∠AFN＝∠EFB＝90°， ∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN. ∴△AHF≌△NBF(ASA).∴AH＝BN. ∵AN＝ 2 AF，∴AB＋BN＝CD＋AH＝ 2 AF. 即 HA＋CD＝ 2 AF.