苏教版数学九年级上册课件2-2圆的对称性（2） 23页

2.2圆的对称性（2） 问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？ 【导入新课】 问题：任意画一个圆及它的一条直径，沿着所画直径的直 线折叠，你又发现了什么？ 圆是轴对称形，过圆心的任意一条直 线都是它的对称轴. 圆有无数条对称轴. 【讲授新课】 做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直 于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着， 比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？⌒ ⌒ ·O A B D P 线段: AP=BP 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP 重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D P C 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ ·O A B D C P 试一试 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD， 垂足为P. 求证：AP=BP，⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP. 又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC， ∴AC=BC， ⌒ ⌒∴ AC =BC.（同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等） ⌒ ⌒AD =BD.由此易得 u垂径定理 ·O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. 归纳总结 u推导格式： 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 议一议 Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C ·O A B D C P 1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直 径），与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD，⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 试一试 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵P是AB的中点， ∴AB⊥CD.即AP=BP， ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD.（垂径定理） ·O A B D C P 2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦， 求证：CD垂直平分AB. ⌒ ⌒ AC =BC, 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ⌒ ⌒ AC =BC,∵ ∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等， 那么它们所对的弦相等.） ∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC， ∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的角平分线. ∴CD垂直平分AB. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举 出反例. 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不 是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣 弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“ 知二推三”） u垂径定理的推论 ·OA B C D Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= cm. ·O A BE解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 【例题讲解】 例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4(cm)2 2AD AB    设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股 定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗? 试一试 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱， 设AB所在圆的圆心为O，半径 为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂 足为D，与弧AB交于点C，则D 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. R2=18.52+(R-7.23)2 2 2 2OA AD OD ∵ 如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径 为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 练一练 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心 到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常 通过连半径或作弦心距构造直角三角形， 利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 a 2 2 2 2 ar d      d+h=r O A BC · 1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 .5cm 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm 【练习】 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ ,CDOE  1 1 600 300(m).2 2CF CD     2 2 2 ,OC CF OF   22 2300 90 .R R   设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 拓展提升： 如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点， 那么OP长的取值范围 .3cm≤OP≤5cm BA O P 垂径定理 内 容 推 论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件 就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦以及弦 所 对 的 两 条 弧 . 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程. 基本图形及 变 式 图 形 【小结】