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北京市2008-2019年中考数学分类汇编圆pdf含解析

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第 1页(共 23页) 2008~2019 北京中考数学分类(圆) 一.解答题(共 12 小题) 1.在平面内,给定不在同一条直线上的点 A,B,C,如图所示,点 O 到点 A,B,C 的距 离均等于 a(a 为常数),到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G,∠ABC 的平分线交 图形 G 于点 D,连接 AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点 D 作 DE⊥BA,垂足为 E,作 DF⊥BC,垂足为 F,延长 DF 交图形 G 于点 M, 连接 CM.若 AD=CM,求直线 DE 与图形 G 的公共点个数. 2.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,过 ⊙ O 外一点 P 作 ⊙ O 的两条切线 PC,PD,切点分别为 C, D,连接 OP,CD. (1)求证:OP⊥CD; (2)连接 AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求 OP 的长. 第 2页(共 23页) 3.如图,AB 是 ⊙ O 的一条弦,E 是 AB 的中点,过点 E 作 EC⊥OA 于点 C,过点 B 作 ⊙ O 的切线交 CE 的延长线于点 D. (1)求证:DB=DE; (2)若 AB=12,BD=5,求 ⊙ O 的半径. 4.如图,AB 为 ⊙ O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交 于点 D,过点 D 作 ⊙ O 的切线,交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 CD,若 OA=AE=a,写出求四边形 ACDE 面积的思路. 5.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,过点 B 作 ⊙ O 的切线 BM,弦 CD∥BM,交 AB 于点 F,且 = ,连接 AC,AD,延长 AD 交 BM 于点 E. (1)求证:△ACD 是等边三角形; (2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长. 6.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 的中点, ⊙ O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D,E 是 第 3页(共 23页) OB 的中点,CE 的延长线交切线 BD 于点 F,AF 交 ⊙ O 于点 H,连接 BH. (1)求证:AC=CD; (2)若 OB=2,求 BH 的长. 7.如图 AB 是 ⊙ O 的直径,PA,PC 与 ⊙ O 分别相切于点 A,C,PC 交 AB 的延长线于点 D, DE⊥PO 交 PO 的延长线于点 E. (1)求证:∠EPD=∠EDO; (2)若 PC=6,tan∠PDA= ,求 OE 的长. 8.已知:如图,AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作 ⊙ O 的切 线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE. (1)求证:BE 与 ⊙ O 相切; (2)连接 AD 并延长交 BE 于点 F,若 OB=9,sin∠ABC= ,求 BF 的长. 9.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的 ⊙ O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 第 4页(共 23页) 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线 BF 是 ⊙ O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长. 10.已知:如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,圆 O 过 D、B、C 三点,∠DOC=2∠ ACD=90°. (1)求证:直线 AC 是圆 O 的切线; (2)如果∠ACB=75°,圆 O 的半径为 2,求 BD 的长. 11.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M, 经过 B,M 两点的 ⊙ O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为 ⊙ O 的直径. (1)求证:AE 与 ⊙ O 相切; (2)当 BC=4,cosC= 时,求 ⊙ O 的半径. 12.已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心,OA 长为半径 的圆与 AC,AB 分别交于点 D,E,且∠CBD=∠A. (1)判断直线 BD 与 ⊙ O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 AD:AO=8:5,BC=2,求 BD 的长. 第 5页(共 23页) 第 6页(共 23页) 2008~2019 北京中考数学分类(圆) 参考答案与试题解析 一.解答题(共 12 小题) 1.在平面内,给定不在同一条直线上的点 A,B,C,如图所示,点 O 到点 A,B,C 的距 离均等于 a(a 为常数),到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G,∠ABC 的平分线交 图形 G 于点 D,连接 AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点 D 作 DE⊥BA,垂足为 E,作 DF⊥BC,垂足为 F,延长 DF 交图形 G 于点 M, 连接 CM.若 AD=CM,求直线 DE 与图形 G 的公共点个数. 【解答】(1)证明:∵到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G, ∴图形 G 为△ABC 的外接圆 ⊙ O, ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴ = , ∴AD=CD; (2)如图,∵AD=CM,AD=CD, ∴CD=CM, ∵DM⊥BC, ∴BC 垂直平分 DM, ∴BC 为直径, ∴∠BAC=90°, ∵ = , ∴OD⊥AC, ∴OD∥AB, 第 7页(共 23页) ∵DE⊥AB, ∴OD⊥DE, ∴DE 为 ⊙ O 的切线, ∴直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 1. 2.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,过 ⊙ O 外一点 P 作 ⊙ O 的两条切线 PC,PD,切点分别为 C, D,连接 OP,CD. (1)求证:OP⊥CD; (2)连接 AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求 OP 的长. 【解答】解:(1)方法 1、连接 OC,OD, ∴OC=OD, ∵PD,PC 是 ⊙ O 的切线, ∵∠ODP=∠OCP=90°, 在 Rt△ODP 和 Rt△OCP 中, , ∴Rt△ODP≌Rt△OCP, ∴∠DOP=∠COP, 第 8页(共 23页) ∵OD=OC, ∴OP⊥CD; 方法 2、∵PD,PC 是 ⊙ O 的切线, ∴PD=PC, ∵OD=OC, ∴P,O 在 CD 的中垂线上, ∴OP⊥CD (2)如图,连接 OD,OC, ∴OA=OD=OC=OB=2, ∴∠ADO=∠DAO=50°,∠BCO=∠CBO=70°, ∴∠AOD=80°,∠BOC=40°, ∴∠COD=60°, ∵OD=OC, ∴△COD 是等边三角形, 由(1)知,∠DOP=∠COP=30°, 在 Rt△ODP 中,OP= = . 3.如图,AB 是 ⊙ O 的一条弦,E 是 AB 的中点,过点 E 作 EC⊥OA 于点 C,过点 B 作 ⊙ O 的切线交 CE 的延长线于点 D. (1)求证:DB=DE; (2)若 AB=12,BD=5,求 ⊙ O 的半径. 第 9页(共 23页) 【解答】(1)证明:∵AO=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∵BD 是切线, ∴OB⊥BD, ∴∠OBD=90°, ∴∠OBE+∠EBD=90°, ∵EC⊥OA, ∴∠CAE+∠CEA=90°, ∵∠CEA=∠DEB, ∴∠EBD=∠BED, ∴DB=DE. (2)作 DF⊥AB 于 F,连接 OE. ∵DB=DE,AE=EB=6, ∴EF= BE=3,OE⊥AB, 在 Rt△EDF 中,DE=BD=5,EF=3, ∴DF= =4, ∵∠AOE+∠A=90°,∠DEF+∠A=90°, ∴∠AOE=∠DEF, ∴sin∠DEF=sin∠AOE= = , ∵AE=6, ∴AO= . 第 10页(共 23页) ∴ ⊙ O 的半径为 . 4.如图,AB 为 ⊙ O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交 于点 D,过点 D 作 ⊙ O 的切线,交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 CD,若 OA=AE=a,写出求四边形 ACDE 面积的思路. 【解答】(1)证明:∵ED 与 ⊙ O 相切于 D, ∴OD⊥DE, ∵F 为弦 AC 中点, ∴OD⊥AC, ∴AC∥DE. (2)解:作 DM⊥OA 于 M,连接 CD,CO,AD. 首先证明四边形 ACDE 是平行四边形,根据 S 平行四边形 ACDE=AE•DM,只要求出 DM 即 可.(方法二:证明△ADE 的面积等于四边形 ACDE 的面积的一半) ∵AC∥DE,AE=AO, ∴OF=DF, ∵AF⊥DO, ∴AD=AO, ∴AD=AO=OD, ∴△ADO 是等边三角形,同理△CDO 也是等边三角形, ∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DO=a, 第 11页(共 23页) ∴AO∥CD,又 AE=CD, ∴四边形 ACDE 是平行四边形,易知 DM= a, ∴平行四边形 ACDE 面积= a2. 5.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,过点 B 作 ⊙ O 的切线 BM,弦 CD∥BM,交 AB 于点 F,且 = ,连接 AC,AD,延长 AD 交 BM 于点 E. (1)求证:△ACD 是等边三角形; (2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长. 【解答】(1)证明:∵AB 是 ⊙ O 的直径,BM 是 ⊙ O 的切线, ∴AB⊥BE, ∵CD∥BE, ∴CD⊥AB, ∴ , ∵ = , ∴ , ∴AD=AC=CD, ∴△ACD 是等边三角形; (2)解:连接 OE,过 O 作 ON⊥AD 于 N,由(1)知,△ACD 是等边三角形, 第 12页(共 23页) ∴∠DAC=60° ∵AD=AC,CD⊥AB, ∴∠DAB=30°, ∴BE= AE,ON= AO, 设 ⊙ O 的半径为:r, ∴ON= r,AN=DN= r, ∴EN=2+ ,BE= AE= , 在 Rt△NEO 与 Rt△BEO 中, OE2=ON2+NE2=OB2+BE2, 即( )2+(2+ )2=r2+ , ∴r=2 , ∴OE2= +25=28, ∴OE=2 . 6.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 的中点, ⊙ O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D,E 是 OB 的中点,CE 的延长线交切线 BD 于点 F,AF 交 ⊙ O 于点 H,连接 BH. (1)求证:AC=CD; (2)若 OB=2,求 BH 的长. 第 13页(共 23页) 【解答】(1)证明:连接 OC, ∵C 是 的中点,AB 是 ⊙ O 的直径, ∴CO⊥AB, ∵BD 是 ⊙ O 的切线, ∴BD⊥AB, ∴OC∥BD, ∵OA=OB, ∴AC=CD; (2)解:∵E 是 OB 的中点, ∴OE=BE, 在△COE 和△FBE 中, , ∴△COE≌△FBE(ASA), ∴BF=CO, ∵OB=2, ∴BF=2, ∴AF= =2 , ∵AB 是直径, ∴BH⊥AF, ∴△ABF∽△BHF, 第 14页(共 23页) ∴ = , ∴AB•BF=AF•BH, ∴BH= = = . 7.如图 AB 是 ⊙ O 的直径,PA,PC 与 ⊙ O 分别相切于点 A,C,PC 交 AB 的延长线于点 D, DE⊥PO 交 PO 的延长线于点 E. (1)求证:∠EPD=∠EDO; (2)若 PC=6,tan∠PDA= ,求 OE 的长. 【解答】(1)证明:PA,PC 与 ⊙ O 分别相切于点 A,C, ∴∠APO=∠EPD 且 PA⊥AO, ∴∠PAO=90°, ∵∠AOP=∠EOD,∠PAO=∠E=90°, ∴∠APO=∠EDO, ∴∠EPD=∠EDO; (2)解:连接 OC, ∴PA=PC=6, ∵tan∠PDA= , 第 15页(共 23页) ∴在 Rt△PAD 中,AD=8,PD=10, ∴CD=4, ∵tan∠PDA= , ∴在 Rt△OCD 中,OC=OA=3,OD=5, ∵∠EPD=∠ODE, ∴△DEP∽△OED, ∴ = = =2, ∴DE=2OE 在 Rt△OED 中,OE2+DE2=OD2,即 5OE2=52, ∴OE= . 8.已知:如图,AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作 ⊙ O 的切 线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE. (1)求证:BE 与 ⊙ O 相切; (2)连接 AD 并延长交 BE 于点 F,若 OB=9,sin∠ABC= ,求 BF 的长. 【解答】证明:(1)连接 OC, 第 16页(共 23页) ∵OD⊥BC, ∴∠COE=∠BOE, 在△OCE 和△OBE 中, ∵ , ∴△OCE≌△OBE, ∴∠OBE=∠OCE=90°,即 OB⊥BE, ∵OB 是 ⊙ O 半径, ∴BE 与 ⊙ O 相切. (2)过点 D 作 DH⊥AB,连接 AD 并延长交 BE 于点 F, ∵∠DOH=∠BOD,∠DHO=∠BDO=90°, ∴△ODH∽△OBD, ∴ = = 又∵sin∠ABC= ,OB=9, ∴OD=6, 易得∠ABC=∠ODH, ∴sin∠ODH= ,即 = , ∴OH=4, ∴DH= =2 , 又∵△ADH∽△AFB, ∴ = , = , ∴FB= . 第 17页(共 23页) 9.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的 ⊙ O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线 BF 是 ⊙ O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长. 【解答】(1)证明:连接 AE, ∵AB 是 ⊙ O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC, ∴∠1= ∠CAB. ∵∠CBF= ∠CAB, ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB 是 ⊙ O 的直径, ∴直线 BF 是 ⊙ O 的切线. (2)解:过点 C 作 CG⊥AB 于 G. ∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF, ∴sin∠1= , ∵在 Rt△AEB 中,∠AEB=90°,AB=5, ∴BE=AB•sin∠1= , ∵AB=AC,∠AEB=90°, 第 18页(共 23页) ∴BC=2BE=2 , 在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 AE= =2 , ∴sin∠2= = = ,cos∠2= = = , 在 Rt△CBG 中,可求得 GC=4,GB=2, ∴AG=3, ∵GC∥BF, ∴△AGC∽△ABF, ∴ ∴BF= = 10.已知:如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,圆 O 过 D、B、C 三点,∠DOC=2∠ ACD=90°. (1)求证:直线 AC 是圆 O 的切线; (2)如果∠ACB=75°,圆 O 的半径为 2,求 BD 的长. 【解答】(1)证明:∵OD=OC,∠DOC=90°, ∴∠ODC=∠OCD=45°. ∵∠DOC=2∠ACD=90°, ∴∠ACD=45°. ∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°. ∵点 C 在圆 O 上, 第 19页(共 23页) ∴直线 AC 是圆 O 的切线. (2)解:方法 1:∵OD=OC=2,∠DOC=90°, ∴CD=2 . ∵∠ACB=75°,∠ACD=45°, ∴∠BCD=30°, 作 DE⊥BC 于点 E,则∠DEC=90°, ∴DE=DCsin30°= . ∵∠B=45°, ∴DB=2. 方法 2:连接 BO ∵∠ACB=75°,∠ACD=45°, ∴∠BCD=30°,∴∠BOD=60° ∵OD=OB=2 ∴△BOD 是等边三角形 ∴BD=OD=2. 11.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M, 经过 B,M 两点的 ⊙ O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为 ⊙ O 的直径. (1)求证:AE 与 ⊙ O 相切; (2)当 BC=4,cosC= 时,求 ⊙ O 的半径. 第 20页(共 23页) 【解答】(1)证明:连接 OM,则 OM=OB ∴∠1=∠2 ∵BM 平分∠ABC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴OM∥BC ∴∠AMO=∠AEB 在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线 ∴AE⊥BC ∴∠AEB=90° ∴∠AMO=90° ∴OM⊥AE ∵点 M 在圆 O 上, ∴AE 与 ⊙ O 相切; (2)解:在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线 ∴BE= BC,∠ABC=∠C ∵BC=4,cosC= ∴BE=2,cos∠ABC= 在△ABE 中,∠AEB=90° ∴AB= =6 设 ⊙ O 的半径为 r,则 AO=6﹣r ∵OM∥BC ∴△AOM∽△ABE 第 21页(共 23页) ∴ ∴ 解得 ∴ ⊙ O 的半径为 . 12.已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心,OA 长为半径 的圆与 AC,AB 分别交于点 D,E,且∠CBD=∠A. (1)判断直线 BD 与 ⊙ O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 AD:AO=8:5,BC=2,求 BD 的长. 【解答】解:(1)直线 BD 与 ⊙ O 相切. 证明:如图,连接 OD. ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90° 又∵∠CBD=∠A ∴∠ADO+∠CDB=90° ∴∠ODB=90° ∴直线 BD 与 ⊙ O 相切. (2)解法一:如图,连接 DE. ∵AE 是 ⊙ O 的直径,∴∠ADE=90° 第 22页(共 23页) ∵AD:AO=8:5 ∴ ∵∠C=90°,∠CBD=∠A ∵BC=2, ∴ 解法二:如图,过点 O 作 OH⊥AD 于点 H. ∴AH=DH= ∵AD:AO=8:5 ∴cosA= ∵∠C=90°,∠CBD=∠A ∴ ∵BC=2 ∴ 第 23页(共 23页) 声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布 日期:2020/1/19 9:13:48 ;用户: 金雨教育;邮 箱:309593466@qq.com ;学号: 335385