2019-2020学年江西九江九年级上数学期中试卷 13页

‎2019-2020学年江西九江九年级上数学期中试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 若从一长度分别为‎1‎、‎3‎、‎5‎、‎7‎的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎ ‎ ‎2. 下列各组中的四条线段成比例的是（        ） ‎ A.‎1cm，‎2cm，‎3cm，‎6cm B.‎1cm，‎2cm，‎4cm，‎6cm C.‎1cm，‎2cm，‎5cm，‎6cm D.‎3cm，‎4cm，‎5cm，‎6cm ‎ ‎ ‎ ‎3. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′‎处，若‎∠A=‎‎55‎‎∘‎，‎∠ABD=‎‎45‎‎∘‎，则‎∠A′BC=‎(        ) ‎ A.‎30‎‎∘‎ B.‎35‎‎∘‎ C.‎40‎‎∘‎ D.‎‎45‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，AD是‎△ABC的中线，BC=8‎，‎∠B=∠DAC，则AC的长为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎4‎ B.‎4‎‎2‎ C.‎6‎ D.‎‎4‎‎3‎ ‎ ‎ ‎5. 若b+c−aa‎=a+c−bb=a+b−cc=k，则k的值为(        ) ‎ A.‎1‎ B.‎−2‎ C.‎1‎或‎−2‎ D.以上都不对 ‎ ‎ ‎6. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是‎3‎和‎4‎，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(        ) ‎ A.‎6‎‎5‎ B.‎8‎‎5‎ C.‎12‎‎5‎ D.‎‎24‎‎5‎ 二、填空题 ‎ ‎ ‎ 如图，在 ‎△ABC   中，若 DE//BC，ADDB=‎‎2‎‎3‎ ，DE=4‎ ，则BC的长是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在一个不透明的口袋中装有‎2‎个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在‎20%‎ ，则口袋中的白球有________个‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若一个菱形的边长是方程 x‎2‎‎−8x+15=0‎ 的一个根，其中一条对角线的长为‎8‎，则菱形的面积为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在 ‎△ABC中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到F，使 FC=‎1‎‎2‎BC，连接EF，CD，若 AC=4，BC=3‎，则四边形CDEF的周长为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知关于x的一元二次方程 x‎2‎‎−4x+m−1=0‎ 的实数根为 x‎1‎‎，‎x‎2‎ 满足 ‎3x‎1‎x‎2‎−x‎1‎−x‎2‎>2‎ ，则m的取值范围是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 要在一张长为‎7cm，宽为‎5cm的矩形纸片上剪下一个腰长为‎4cm的等腰三角形（三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为________． ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎ 解方程： ‎ ‎(1)‎x‎2‎‎+3x=4‎ ‎ ‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎(2)‎‎3x(2x+1)=4x+2‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，F为BA延长线上一点，且AF=CE．连接DE，DF．求证：DE=DF． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，某公园有一块长‎30‎米，宽‎20‎米的矩形空地，计划在这块空地上划出部分的区域种花（花带的宽度相同），使余下空地面积为‎408‎平方米，求花带的宽度为多少米？ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在四边形ABCD中，AD // BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． 求证：四边形ABCD是菱形. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，已知 ‎▱ABCD，点E是AB边的中点，且 AB=2BC ，请用无刻度的直尺作图. ‎ ‎(1)‎在图①中，在CD边上找到一点F，使线段EF平分‎▱ABCD 的面积；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎在图②中画出一个矩形‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在等边 ‎△ABC   中，点D是BC上的一点， ‎∠ADE=‎60‎‎∘‎，AB=9，BD‎=3‎．求AE的长‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 某商场为了促销，规定顾客购买商品满‎200‎元即可参加抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有‎2‎个红球和‎2‎个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得‎1‎份奖品，若摸到黑球，则没有奖品‎.‎ ‎ ‎(1)‎如果小丽只有一次摸球机会，那么小丽获得奖品的概率为________.‎ ‎ ‎ ‎(2)‎如果小丽有两次摸球机会（摸出后不放回），用画树状图或列表的方法，求小丽获得‎2‎份奖品的概率.‎ ‎ ‎ ‎ 若一元二次方程 x‎2‎‎+2kx+k‎2‎−2k+3=0‎ 有两个实数根 x‎1‎‎，x‎2‎.‎ ‎ ‎(1)‎若当 x‎1‎‎=−1‎ 时，求  x‎2‎ 及k的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎是否存在这样的实数k，使得 x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=x‎1‎⋅‎x‎2‎ ，若存在求出k的值，若不存在请说明理由‎.‎ ‎ ‎ ‎ 特产专卖店销售核桃，其进价为每千克‎40‎元，按每千克‎60‎元出售，平均每天可售出‎100‎千克，后来经过市场调查发现，单价每降低‎2‎元，则平均每天的销售可增加‎20‎千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利‎2240‎元，求： ‎ ‎(1)‎每千克核桃应降价多少元？‎ ‎ ‎ ‎(2)‎在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？‎ ‎ ‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎ 某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图‎1‎，在‎△ABC中，点O在线段BC上，‎∠BAO=‎‎30‎‎∘‎，‎∠OAC=‎‎75‎‎∘‎，AO=3‎‎3‎，BO:CO=1:3‎，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD // AC，交AO的延长线于点D，通过构造‎△ABD就可以解决问题． ‎ ‎1‎请回答：‎∠ABD=‎________‎​‎‎∘‎，AB=‎________．‎ ‎ ‎ ‎2‎请参考以上解决思路解决问题： 如图‎3‎，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=3‎‎3‎，‎∠ABC=∠ACB=‎‎75‎‎∘‎，BO:OD=1:3‎，求DC的长．‎ ‎ ‎ ‎ 如图①，在菱形ABCD中，已知‎∠B=∠EGF=‎‎60‎‎∘‎，‎∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F． ‎ ‎(1)‎如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎知识探究： （Ⅰ）如图③，当顶点G运动到AC的中点时，探究线段EC，CF与BC的数量关系； （Ⅱ）在顶点G的运动过程中，若ACCG‎=t，请直接写出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；‎ ‎ ‎ ‎(3)‎问题解决：如图④，已知菱形边长为‎8‎，BG=7‎，CF=‎‎6‎‎5‎，当ACCG‎>2‎时，求线段EC的长．‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 参考答案与试题解析 ‎2019-2020学年江西九江九年级上数学期中试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 等可能事件的概率 三角形三边关系 ‎【解析】‎ 从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】‎ 解：从四条线段中任意选取三条， 所有的可能有：‎1‎，‎3‎，‎5‎；‎1‎，‎3‎，‎7‎；‎1‎，‎5‎，‎7‎；‎3‎，‎5‎，‎7‎共‎4‎种， 其中构成三角形的有‎3‎，‎5‎，‎7‎共‎1‎种， 则P能构成三角形‎=‎‎1‎‎4‎． 故选C．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 比例线段 ‎【解析】‎ 根据比例线段的定义对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】‎ 解：A，‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎6‎，故本选项正确； B，‎1‎‎2‎‎≠‎‎4‎‎6‎，故本选项错误； C，‎1‎‎2‎‎≠‎‎5‎‎6‎，故本选项错误； D，‎3‎‎4‎‎≠‎‎5‎‎6‎，故本选项错误． 故选A．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 三角形内角和定理 平行四边形的性质 翻折变换（折叠问题）‎ ‎【解析】‎ 由平行四边形的性质可得‎∠ABC=‎180‎‎∘‎−∠A=‎‎125‎‎∘‎，由折叠性质知‎∠ABD=∠A′BD=‎‎45‎‎∘‎，即‎∠ABA′=‎‎90‎‎∘‎，根据‎∠A′BC=∠ABC−∠ABA′‎可得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且‎∠A=‎‎55‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABC=‎180‎‎∘‎−∠A=‎‎125‎‎∘‎， ∵ ‎∠ABD=‎‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABD=∠A′BD=‎‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABA′=‎‎90‎‎∘‎， 则‎∠A′BC=∠ABC−∠ABA′=‎‎35‎‎∘‎. 故选B. ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 根据AD是中线，得出CD=4‎，再根据AA证出‎△CBA∽△CAD，得出ACBC‎=‎CDAC，求出AC即可．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ BC=8‎，AD是中线， ∴ CD=4‎， 在‎△CBA和‎△CAD中， ∵ ‎∠B=∠DAC，‎∠C=∠C， ∴ ‎△CBA∼△CAD， ∴ ACBC‎=‎CDAC， ∴ AC‎2‎=CD⋅BC=4×8=32‎， ∴ AC=4‎‎2‎. 故选B.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 根据比例的等比性质进行化简即可得出结果．‎ ‎【解答】‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 解：①当a+b+c=0‎时，即b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c， 所以k=b+c−aa=‎−a−aa=−2‎， 或‎(a+c−ba=‎−b−bb=−2，a+b−cc=‎−c−cc=−2)‎； ②当a+b+c≠0‎时，k=b+c−aa=a+c−bb=‎a+b−cc ‎=b+c−a+a+c−b+a+b−ca+b+c=1‎， 综上，k的值为‎−2‎或‎1‎. 故选C．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 三角形的面积 矩形的性质 ‎【解析】‎ 过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证‎△PEA∽△CDA和‎△PFD∽△BAD，根据PECD‎=‎PACA和PFAB‎=‎PDBD，即PE‎3‎‎=‎PA‎5‎和PF‎3‎‎=‎PD‎5‎，两式相加得PE+PF=‎‎12‎‎5‎，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．‎ ‎【解答】‎ 解：连结OP，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F． ∵ AD=4‎，CD=3‎， ∴ AC=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5‎， 又∵ 矩形的对角线相等且互相平分， ∴ AO=OD=2.5cm， ∴ S‎△APO‎+‎S‎△POD‎=‎1‎‎2‎×2.5⋅PE+‎1‎‎2‎×2.5⋅PF‎=‎1‎‎2‎×2.5(PE+PF)=‎1‎‎4‎×3×4‎， ∴ PE+PF=‎‎12‎‎5‎． 故选C．‎ 二、填空题 ‎【答案】‎ ‎10‎ ‎【考点】‎ 平行线分线段成比例 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：∵ 在‎△ABC中，DE//BC， ∴ DEBC‎=‎ADAB， 即‎4‎BC‎=‎‎2‎‎2+3‎， 解得：BC=10‎. 故答案为：‎10‎.‎ ‎【答案】‎ ‎8‎ ‎【考点】‎ 利用频率估计概率 ‎【解析】‎ 先设口袋中白球可能有x个，根据摸到红球的频率稳定在‎40%‎附近，得出口袋中摸到黑色球的概率为‎40%‎，再根据概率公式列出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由题知：一共有：‎2÷0.2=10‎个球， 所以白球有‎10−2=8‎个. 故答案为：‎8‎.‎ ‎【答案】‎ ‎24‎ ‎【考点】‎ 菱形的面积 解一元二次方程-因式分解法 勾股定理 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：x‎2‎‎−8x+15=0‎， 解得x‎1‎‎=3，x‎2‎=5‎， 因为菱形一条对角线长为‎8‎， 所以菱形的边长为‎5‎， 另一条对角线的长为‎2×‎5‎‎2‎‎−‎‎4‎‎2‎=6‎， 所以菱形的面积为‎1‎‎2‎‎×6×8=24‎. 故答案为：‎24‎. ‎ ‎【答案】‎ ‎8‎ ‎【考点】‎ 平行四边形的判定 三角形中位线定理 勾股定理 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：∵ 点D，E分别是AB，AC的中点， ∴ DE=‎1‎‎2‎BC=‎‎3‎‎2‎，且DE//BF， ∴ 四边形CDEF是平行四边形. 又CE=‎1‎‎2‎AC=2‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎， ∴ CD=DE‎2‎+CE‎2‎=‎‎5‎‎2‎. 四边形CDEF的周长为CD+DE+EF+FC=2CD+2DE=5+3=8‎. 故答案为：‎8‎. ‎ ‎【答案】‎ ‎32‎，‎ ‎∴ Δ=b‎2‎−4ac=16−4(m−1)≥0‎，即m≤5‎，‎ 由韦达定理得：x‎1‎‎+x‎2‎=−ba=4‎，‎ x‎1‎‎⋅x‎2‎=ca=m−1‎‎，‎ 由于‎3x‎1‎x‎2‎−(x‎1‎+x‎2‎)>2‎，‎ 所以‎3(m−1)−4>2‎，即m>3‎，‎ 综上所述‎32‎，‎ ‎∴ 点G在线段CM上，‎ 在Rt△CBM中， ∵ ‎∠BMC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠MBC=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ CM=‎1‎‎2‎BC=4，BM=4‎‎3‎，‎ ‎∴ MG=BG‎2‎−BM‎2‎=1‎，‎ ‎∴ CG=CM−MG=3‎，‎ 由（‎2‎)（Ⅱ）可知 CE+CF=CGAC⋅BC=‎3‎‎8‎×8=3‎，‎ ‎∴ CG=3−CF=3−‎6‎‎3‎=‎‎9‎‎5‎.‎ ‎【考点】‎ 全等三角形的性质与判定 菱形的性质 等边三角形的性质 ‎【解析】‎ ‎（1）如图‎2‎中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．首先证明‎△ABE≅△ACF，再证明‎△AEM≅△FEC，即可解决问题．‎ ‎（2）①结论：EC+CF=‎1‎‎2‎BC．如图‎3‎中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．利用（1）的结论解决问题． ②结论：CE+CF=‎BCt．如图‎4‎中，作GP // AB交BC于P，GQ // AD交CD于Q．利用（1）的结论解决问题．‎ ‎（3）如图‎4‎中，作BM⊥AC于M．利用（1）的结论：CG=CE+CF，求出CE即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明：∵ 四边形ABCD是菱形，‎∠B=‎‎60‎‎∘‎， ∴ AB=BC=CD=AD，‎∠B=∠D=‎‎60‎‎∘‎， ∴ ‎△ABC，‎△ACD都是等边三角形， ∴ AB=AC，‎∠B=∠ACF=∠BAC=‎‎60‎‎∘‎， ∵ ‎∠EGF=‎‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠BAE=∠CAF， 在‎△BAE和‎△CAF中，‎∠BAE=∠CAF，‎‎∠B=∠ACF，‎AB=AC，‎ ∴ ‎△ABE≅△ACF， ‎ ‎∴ BE=CF ∴ EC+CF=EC+BE=BC.‎ ‎(2)‎解：（Ⅰ）如图，在BC上取中点P，连结PG.‎ ‎ ‎∵ AG=CG，  ∴ PG是 ‎△ABC 的中位线，‎ ‎∴ PG//AB，  ∴ ‎∠CPG=∠B=‎60‎‎∘‎,∠CGP=∠CAB=‎‎60‎‎∘‎ .‎ ‎∴ ‎△CPG 为等边三角形‎.‎ ‎ ‎∴ PG=GC，‎ ‎∵ ‎∠PGC=∠EGF=‎‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠PGE=∠FGC，‎ 在‎△PGE 和‎△CGF 中，‎‎∠GPE=∠GCF，‎PG=CG，‎‎∠PGE=∠CGF，‎ ‎∴ ‎△PGE≅△CGF，‎ ‎∴PE=CF‎，‎ ‎∴ EC+CF=PC=‎1‎‎2‎BC，‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎（Ⅱ）EC+CF=‎1‎tBC.‎ ‎(3)‎如图④，过B作 BM⊥AC ，垂足为M，‎ ‎∵ ACCG‎>2‎，‎ ‎∴ 点G在线段CM上，‎ 在Rt△CBM中， ∵  ‎∠BMC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠MBC=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ CM=‎1‎‎2‎BC=4，BM=4‎‎3‎，‎ ‎∴ MG=BG‎2‎−BM‎2‎=1‎，‎ ‎∴ CG=CM−MG=3‎，‎ 由（‎2‎)（Ⅱ）可知 CE+CF=CGAC⋅BC=‎3‎‎8‎×8=3‎，‎ ‎∴ CG=3−CF=3−‎6‎‎3‎=‎‎9‎‎5‎.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页