中考复习《统计与概率》考点易错题剖析讲解+中考数学试题及答案解析等复习精品大全集 70页

中考复习《统计与概率》考点易错题 剖析讲解+中考数学试题及答案解析等复习精品大全集 统计与概率 【易错分析】 易错点 1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数. 易错点 2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性.不规则的统计图往往使人产生错觉，得 到不准确的信息. 易错点 3：对全面调查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误. 易错点 4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差. 易错点 5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率. 【好题闯关】 好题 1.在一次数学竞赛中，10 名学生的成绩如下： 75 80 80 70 85 95 70 65 70 80.则这次 竞赛成绩的众数是多少？ 解析：对众数的概念理解不清，会误认为这组数据中 80 出现了三次，所以这组数据的众数是 80.根据众数 的意义可知，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数.而在数据中 70 也出现了三次，所以这组 数据是众数有两个. 答案：这组数据的众数是 70 和 80. 好题 2.某班 53 名学生右眼视力（裸视）的检查结果如下表所示： 则该班学生右眼视力的中位数是_______． 解析：本题表面上看视力数据已经排序，可以求视力的中位数，有的同学会误认为：因为 11 个数据按照 大小的顺序排列有：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、1.0、1.2、1.5，则知排在第 6 个的数 是 0.6.但注意观察可以发现：题目中的视力数据实际是小组数据，小组的人数才是视力数据的真正个数．因 此，不能直接求视力数据的中位数，而应先求出 53 名学生视力数据的中间数据，即第 27 名学生的视力就 是本班学生右眼视力的中位数． 答案：（53+1）÷2=27，所以第 27 名学生的右眼视力为中位数，从表中人数栏数出第 27 名学生所对应的 右眼视力为 0.8，即该班学生右眼视力的中位数是 0.8． 好题 3. 样本―a, ―1,0,1,a 的方差是（ ） A． )1(2 1 2 a B． )1(4 1 2 a C． )1(5 2 2 a D． )1(5 1 2 a 解析：本例中因为数据 0 不影响求出的平均数，因此常常会被忽略为一个数据的存在，导致算出样本的平 均数是 0 则  2 2 2 2 2 21 1( 0) ( 1 0) (1 0) ( 0) 14 2              S a a a 的失误. 答案：平均数是 0，  2 2 2 2 2 2 21 2( 0) ( 1 0) (0 0) (1 0) ( 0) 15 5                S a a a ，选 C. 好题 4.如图，一则报纸上广告绘制了下面的统计图，并称“乙品牌牛奶每天销售量是甲品牌牛奶每天销售 量的 3 倍”.请分析这则广告信息正确吗？ 解析：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性.不规则的统计图往往使人产生错觉，得到 不准确的信息.从图中标明的数据看，甲牛奶每天的销售量是 510 万袋，乙牛奶的每天的销售量是 530 万 袋，只比甲种牛奶多了 20 万袋.乙牛奶的销售量并不是甲品牌牛奶销售量的 3 倍.由于统计图制作的不规 范，容易误导消费者认为乙牛奶是消费是甲牛奶消费的 3 倍. 答案：基于上面的剖析，这则广告的宣传是不正确的. 好题 5.指出下列调查运用那种调查方式合适： （1）为了了解全班学生中观看“开心辞典”这一节目的人数作的调查； （2）为了了解中学生的身体发育情况，对全国八年级男生的身高情况作的调查； （3）为了了解一批药物的药效持续时间作的调查； （4）为了了解全国的“甲流”疫情作的调查； （5）为了了解全校初中三年级学生的学习压力情况作的调查. 解析：全面调查可以直接获得总体的情况，结果准确，但是收集、整理、计算数据的工作量大．当总体中 个体的数目较多时，无法对所有个体进行调查，或调查本身带有破坏性,不能全面调查时就要采取抽样调 查的方法，其优点是调查范围小，节省人力、物力、时间，但调查结果不如普查准确．因此，在实际生活 中，要收集数据是采取普查的方式还是采取抽样调查的方式，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的 可能性和所付出的代价的大小．在本题中，要调查全班学生中观看“开心辞典”这一节目的人数，由于调 查范围很小，因此用全面调查的方式合适；要调查全国八年级男生的身高情况，由于调查范围太大，实现 的可能性极小，加之对调查结果的精确度要求并不是太高，因此用抽样调查的方式合适；要了解一批药物 的药效持续时间，普查具有破坏性，因此适合作抽样调查；全国的“甲流”疫情，关系到国计民生，即使 代价再大，也要采取普查的方式；要调查全校初中三年级学生的学习压力情况，由于调查范围很小，因此 用全面调查的方式合适. 答案：（1）、（4）、（5）用全面调查的方式合适，（2）、（3）用抽样调查的方式合适． 好题 6．买彩票中奖的概率是 1 1000 ，买 1000 张彩票是否能中奖？ 解析：即使告诉你中奖的概率是 1 1000 ，买 1000 张彩票也不一定能中奖，因为买的每一张彩票是否中奖仍 然是不确定事件． 答案：不一定会中奖． 好题 7.将分别标有数字 1，2，3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.随机地抽取一张作为十位上的 数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，试利用树状图探究能组成哪些两位数？恰好是“偶数”的可 能性为多少？ 解析：本例中没有很好的理解抽取卡片的操作程序，忽略了关键词“放回后再抽取”，从而导致失误. 答案：正确的树状分析图如下： 能组成 11，12，13，21，22，23，31，32，33，恰为偶数的可能性是： 1 3 . 好题 8. 动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.5，那 么现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是多少？ 解析：不能简单地将本题看成概率的累加，应计算这种动物从 20 岁活到 25 岁的数量与活到 20 岁的数量 的比． 答案：设出生时动物数量为 a，则活到 20 岁的数量为 0.8a，活到 25 岁的数量为 0.5a，所以现年 20 岁的 这种动物活到 25 岁的概率是 8 5 8.0 5.0  a a ． 高中阶段教育学校统一招生考试试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，） 1. 在-3，-1，1，3 四个数中，比-2 小的数是（ ） (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 2．如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） 3. 成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一，今年 4 月 29 日成都 地铁安全运输乘客约 181 万乘次，又一次刷新客流记录，这也是今年以来第四次客流记录的刷新，用科学 记数法表示 181 万为（ ） (A) 18.1×105 (B) 1.81×106 (C) 1.81×107 (D) 181×104 4. 计算 23x y 的结果是（ ） (A) 5x y (B) 6x y (C) 3 2x y (D) 6 2x y 5. 如图， 2l l1∥ ，∠1=56°,则∠2 的度数为（ ） (A) 34° (B) 56° (C) 124° (D) 146° 7. 分式方程 2 13 x x  的解为（ ） (A) x=-2 (B) x=-3 (C) x=2 (D) x=3 8.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成 绩的平均数 x （单位：分）及方差 2s 如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 7 8 8 7 2s 1 1.2 1 1.8 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 9. 二次函数 22 3y x  的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） (A) 抛物线开口向下 (B) 抛物线经过点（2，3） (C) 抛物线的对称轴是直线 x=1 (D) 抛物线与 x 轴有两个交点 10．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC ︵ 的长为（ ） (A) 10 3  (B) 10 9  (C) 5 9  (D) 5 18  第Ⅱ卷（非选择题，共 70 分） 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上) 11. 已知|a+2|=0，则 a = ______. 12. 如图，△ABC≌△ ' ' 'A B C ，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B=___°. 13. 已知 P1（x1,y1），P2（x2 ，y2）两点都在反比例函数 2y x  的图象上，且 x1< x2 < 0，则 y1 ____ y2.（填 “>”或“<”） 14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为_________. 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上) 15. (本小题满分 12 分，每题 6 分) (1)计算：   3 02 16 2sin30 2016     o （2）已知关于 x 的方程 23 2 0x x m   没有实数根，求实数 m 的取值范围. 16．（本小题满分 6 分） 化简： 2 2 1 2 1x xx x x x        17.(本小题满分 8 分) 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如 图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB＝1.5m，测得旗杆顶端 D 的仰角∠DBE＝32°，量出测点 A 到 旗 杆 底 部 C 的 水 平 距 离 AC ＝ 20m. 根 据 测 量 数 据 ， 求 旗 杆 CD 的 高 度 。 （ 参 考 数 据 ： sin 32 0.53,cos32 0.85, tan 32 0.62      ） 18．(本小题满分 8 分) 在四张编号为 A，B，C，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后， 背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张。 （1）请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；（卡片用 A，B，C，D 表示） （2）我们知道，满足的 2 2 2a b c  三个正整数 a，b，c 称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是 勾股数的概率。 19. (本小题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，正比例函数 y kx 的图象与反比例函数直线 my x  的图象都经过点 A(2， -2)． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴相交于点 B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及△ABC 的面积。 20．(本小题满分 1 0 分) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 CB 为半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E， 连接 BD，BE. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当 4 3 AB BC  时，求 tanE； (3)在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线， 与 BE 交于点 F.若 AF＝2，求⊙C 的半径。 B 卷(共 50 分) 一、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上) 21．第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年 9 月 1 日正式实施.为了了解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了部 分居民进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图.若该辖区约有居民 9000 人，则可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有______人. 22．已知 3 2 x y     是方程组 3 7 ax by bx ay       的解，则代数式  a b a b  的值为______. 23． 如图，△ABC 内接于⊙○，AH⊥BC 于点 H. 若 AC=24，AH=18, ⊙○的半径 OC=13，则 AB=______。 24．实数 a，n，m，b满足a”或“<”） 答案：＞ 解析：本题考查反比函数的图象性质。因为函数 2y x  的图象在一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的 增大而减小，所以，由 x1< x2 < 0，得 y1 ＞y2. 14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长 为_________. 答案：3 3 解析：本题考查垂直平分线的性质及矩形的性质。 因为 AE 垂直平分 OB，所以，AB＝AO＝3，BD＝AC＝2AO＝6， AD＝ 2 2 3 3BD AB  三、解答题(本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上) 15. (本小题满分 12 分，每题 6 分) (1)计算：   3 02 16 2sin30 2016     o （2）已知关于 x 的方程 23 2 0x x m   没有实数根，求实数 m 的取值范围. 解析：（1）   3 02 16 2sin 30 2016     o ﹦-8＋4－2×1 2 ＋1= -4-4＋1= -4 （2）∵ 关于 x 方程 23 2 0x x m   没有实数根 ∴ 22-4×3×（-m）<0 解得：m< 1 3  16．（本小题满分 6 分） 化简： 2 2 1 2 1x xx x x x        解析： 2 2 1 2 1x xx x x x        ＝ 2 1)( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x     （ = 1x  17.(本小题满分 8 分) 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如 图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB＝1.5m，测得旗杆顶端 D 的仰角∠DBE＝32°，量出测点 A 到 旗 杆 底 部 C 的 水 平 距 离 AC ＝ 20m. 根 据 测 量 数 据 ， 求 旗 杆 CD 的 高 度 。 （ 参 考 数 据 ： sin 32 0.53,cos32 0.85, tan 32 0.62      ） 解析：∵∠A＝∠C＝∠BEC＝90°，∴ 四边形 ABEC 为矩形 ∴ BE＝AC＝20, CE＝AB＝1.5 在 Rt△BED 中，∴ tan∠DBE＝DE BE 即 tan32°＝DE 20 ∴ DE＝20×tan32°  12.4, CD＝CE＋DE  13.9. [ 答：旗杆 CD 的高度约为 13.9 m. 18．(本小题满分 8 分) 在四张编号为 A，B，C，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后， 背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张。 （1）请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；（卡片用 A，B，C，D 表示） （2）我们知道，满足的 2 2 2a b c  三个正整数 a，b，c 称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是 勾股数的概率。 解析：（1）列表法： 树状图： 由列表或树状图可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有 12 种，分别为（A，B），（A，C），（A， D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A）， （D，B），（D，C）. (2) 由（1）知：所有可能出现的结果共有 12 种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有（B，C）， （B，D），（C，B），（C，D），（D，B），（D，C）共 6 种. ∴ P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)＝ 6 12 ＝1 2 . 19. (本小题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，正比例函数 y kx 的图象与反比例函数直线 my x  的图象都经过点 A(2，-2)． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴相交于点 B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 第二张 第一张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及△ABC 的面积。 解析：(1) ∵ 正比例函数 y kx 的图象与反比例函数直线 my x  的图象都经过点 A(2，-2)．， ∴ 2 2 22 k m     解得： 1 4 k m      ∴ y＝－x , y=- 4 x (2) ∵ 直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得 ∴ B （0，3），kbc＝ koa＝－1 ∴ 设直线 BC 的表达式为 y＝－x＋3 由 4 3 y x y x        解得 1 1 4 1 x y     ， 2 2 1 4 x y     ∵ 因为点 C 在第四象限 ∴ 点 C 的坐标为(4，-1) 解法一：如图 1，过 A 作 AD⊥y 轴于 D，过 C 作 CE⊥y 轴于 E. ∴ S△ABC＝S△BEC ＋S 梯形 ADEC－S△ADB＝1 2 ×4×4＋1 2(2＋4) ×1－1 2 ×2×5＝8＋3－5＝6 解法二：如图 2，连接 OC. ∵ OA∥BC，∴S△ABC ＝S△BOC=1 2  OB xc＝1 2 ×3×4＝6 20．(本小题满分 1 0 分) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 CB 为半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E， 连接 BD，BE. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当 4 3 AB BC  时，求 tanE； (3)在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线， 与 BE 交于点 F.若 AF＝2，求⊙C 的半径。 解析：(1) 证明：∵ DE 为⊙C 的直径 ∴∠DBE＝90° 又∵ ∠ABC＝90°, ∴ ∠DBE＋∠DBC＝90°，∠CBE＋∠DBC＝90° ∴ ∠ABD＝∠CBE 又∵ CB＝CE ∴ ∠CBE＝∠E, ∴ ∠ABD＝∠E. 又∵∠BAD＝∠EAB, ∴△ABD∽△AEB. （2）由（1）知，△ABD∽△AEB，∴ BD BE ＝AB AE ∵ AB BC ＝4 3 , ∴ 设 AB＝4x，则 CE＝CB＝3x 在 Rt△ABC 中，AB＝5x，∴ AE＝AC＋CE＝5x＋3x＝8 x，BD BE ＝AB AE ＝4x 8x ＝1 2 . 在 Rt△DBE 中，∴ tanE＝BD BE ＝1 2 . (3) 解法一：在 Rt△ABC 中，1 2AC BG＝1 2AB BG 即1 2  5x BG＝1 2  4x  3x， 解得 BG＝12 5 x. ∵ AF 是∠BAC 的平分线，∴ BF FE ＝AB AE ＝4x 8x ＝1 2 如图 1，过 B 作 BG⊥AE 于 G，FH⊥AE 于 H，∴ FH∥BG，∴ FH BG ＝EF BE ＝2 3 ∴ FH＝2 3 BG＝2 3 ×12 5 x ＝8 5 x 又∵ tanE＝1 2 ，∴ EH＝2FH＝16 5 x，AM＝AE－EM＝24 5 x 在 Rt△AHF 中，∴ AH2＋HF2＝AF2 即 2 2 224 8) ( ) 25 5 x x （ ，解得 x＝ 10 8 ∴ ⊙C 的半径是 3x＝3 10 8 . 解法二：如图 2 过点 A 作 EB 延长线的垂线，垂足为点 G. ∵ AF 平分∠BAC ∴ ∠1＝∠2 又∵ CB＝CE ∴∠3＝∠E 在△BAE 中，有∠1＋∠2＋∠3＋∠E＝180°－90°＝90° ∴∠4＝∠2＋∠E＝45° ∴ △GAF 为等腰直角三角形 由（2）可知，AE=8 x，tanE＝1 2 ∴AG＝ 5 5 AE＝8 5 5 x ∴AF＝ 2AG＝8 5 5 x=2 ∴x= 10 8 ∴ ⊙C 的半径是 3x＝3 10 8 . 解法三： 如图 3，作 BH⊥AE 于点 H，NG⊥AE 于点 G，FM⊥AE 于点 M，设 BN＝a， ∵ AF 是∠BAC 的平分线，∴NG＝BN＝a ∴CG＝3 4a，NC＝5 4a，∴BC＝9 4a，∴BH＝9 5a ∴ AB＝3a，AC＝15 4 a，∴ AG＝3a ∴ tan∠NAC＝NG AG ＝1 3 ，∴ sin∠NAC＝ 10 10 ∴ 在 Rt △ AFM 中，FM＝AF·sin∠NAC＝2× 10 10 ＝ 10 5 ，AM＝3 10 5 ∴ 在 Rt △ EFM 中，EM＝ FM tanE ＝2 10 5 ∴AE＝ 10 在 Rt △ DBE 中，∵BH＝9 5a，∴EH＝18 5 a，DH＝ 9 10a，∴DE＝9 2a ∴DC＝9 4a，∴AD＝3 2a， 又∵AE＋DE＝AE，∴3 2a＋9 2a＝ 10，∴a＝ 10 6 ∴DC＝9 4a＝3 10 8 B 卷(共 50 分) 一、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上) 21．第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年 9 月 1 日正式实施.为了了 解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了 部分居民进行调 查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图.若该辖区约有 居民 9000 人，则 可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有______人. 答案：2700 解析：“非常清楚”的居民占该辖区的百分比为：1－(30%＋15%＋ 90 360 × 100%) ＝ 30% ∴ 可以估计其中慈善法“非常清楚”的居民约为：9000×30%＝2700（人）. 22．已知 3 2 x y     是方程组 3 7 ax by bx ay       的解，则代数式  a b a b  的值为______. 答案：－8 解析：由题知： 3 2 3 (1) 3 2 7 (2) a b b a         由（1）＋（2）得：a＋b＝－4，由（1）－（2）得：a－b＝2， ∴   a b a b  ＝－8. 23． 如图，△ABC 内接于⊙○，AH⊥BC 于点 H. 若 AC=24，AH=18, ⊙ ○ 的 半 径 OC=13，则 AB=______。 答案：39 2 解析：解：连结 AO 并延长交⊙O 于 E，连结 CE. ∵ AE 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°. 又∵ AH⊥BC，∴∠AHB=90°. 又∵ ∠B＝∠D，∴ sinB＝sinD， ∴ AH AB ＝AC AD 即 18 AB ＝24 26 ，解得：AB＝39 2 24．实数 a，n，m，b 满足 aR+r （2）两圆外切 d=R+r （3）两圆相交 R-rr) （4）两圆内切 d=R-r(R>r) （5）两圆内含 dr) 特殊情况，两圆是同心圆 d=0 3.2 两圆的公切线 定理：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等 初中数学定理：比例性质定理 (1)比例的基本性质 如果 a：b=c：d，那么 ad=bc 如果 ad=bc，那么 a：b=c：d (2)合比性质 如果 a／b=c／d，那么(a±b)／b=(c±d)／d (3)等比性质 如果 a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 第一部分阅读理解型问题解部分 一、专题诠释 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙 述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生 的解题能力的新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新 方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 三、考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 （2011 连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； … A D C BP1 P2 P3 P4 Q1 Q2 Q3 Q4 图 3 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板 ABC，P1，P2 三等分边 AB，R1，R2 三等分边 AC． 经探究知 2121 RRPPS四边形 ＝1 3 S△ABC，请证明． 问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题 1 中的拼合成四边形 ABCD，如图 2，Q1，Q2 三等分 边 DC．请探究 2211 PQQPS四边形 与 S 四边形 ABCD 之间的数量关系． 问题 3：如图 3，P1，P2，P3，P4 五等分边 AB，Q1，Q2，Q3，Q4 五等分边 DC．若 S 四边形 ABCD＝1，求 3322 PQQPS四边形 ． 问题 4：如图 4，P1，P2，P3 四等分边 AB，Q1，Q2，Q3 四等分边 DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为 S1，S2，S3，S4．请直接写出含有 S1，S2，S3，S4 的一个等式． 【分析】问题 1：由平行和相似三角形的判定， 再由相似三角形面积比 是对应边的比的平方的性质可得。 问题 2：由问题 1 的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角 的两边乘积之比，可得。 问题 3：由问题 2 的结果经过等量代换可求。 问题 4：由问题 2 可知 S1＋S4＝S2＋S3＝ 1 2 ABCDS 。 解：问题 1：∵P1，P2 三等分边 AB，R1，R2 三等分边 AC， ∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为 1:4:9． ∴ 2121 RRPPS四边形 ＝4－1 9 S△ABC＝1 3 S△ABC 问题 2：连接 Q1R1，Q2R2，如图，由问题 1 的结论，可知 ∴ 2121 RRPPS四边形 ＝1 3 S△ABC ， 2211 QRRQS四边形 ＝1 3 S△ACD A B C 图 1 P1 P2 R2 R1 A B C 图 2 P1 P2 R2 R1 D Q1 Q2 A D P1 P2 P3 B Q1 Q2 Q3 C 图 4 S1 S2 S3 S4 A B C 图 2 P1 P2 R2 R1 D Q1 Q2 ∴ 2121 RRPPS四边形 ＋ 2211 QRRQS四边形 ＝1 3 S 四边形 ABCD 由∵P1，P2 三等分边 AB，R1，R2 三等分边 AC，Q1，Q2 三等分边 DC， 可得 P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且 P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1． ∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2． 由结论（2），可知 111 QRPS ＝ 222 QRPS ． ∴ 2211 PQQPS四边形 ＝ 2211 PRRPS四边形 ＋ 2211 QRRQS四边形 ＝1 3 S 四边形 ABCD． 问题 3：设 2211 PQQPS四边形 ＝A， 4433 PQQPS四边形 ＝B，设 3322 PQQPS四边形 ＝C， 由问题 2 的结论，可知 A＝1 3 33PADQS四边形 ，B＝1 3 CBQPS 22四边形 ． A＋B＝1 3 (S 四边形 ABCD＋C)＝1 3 (1＋C)． 又∵C＝1 3 (A＋B＋C)，即 C＝1 3 [1 3 (1＋C)＋C]． 整理得 C＝1 5 ，即 3322 PQQPS四边形 ＝1 5 问题 4：S1＋S4＝S2＋S3． 【点评】该种阅读理解题给出新的定理，学生需要学会新定理，借助于试题告诉的信息（结论 1、2）来解 决试题 考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 （2011 北京）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O。若梯形 ABCD 的 面积为 1，试求以 AC，BD， AD BC 的长度为三边长的三角形的面积。 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其 面积即可。他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即是以 AC，BD， AD BC 的长度为三边长的三角形（如图 2）。 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF。 图1 图2 B 图 9-3 O2 O3 O A O1 C O4 （1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于_______。 【分析】：根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB 与△ADC 的面积相等，即△BDE 的面 积等于梯形 ABCD 的面积． （1）分别过点 F、C 作 BE、AD 的平行线交于点 P，得到的△CFP 即是以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一 个三角形． （2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以 AD，BE，CF 的长度为三边长的 三角形的面积等于△ABC 的面积的 ． 解答：解：△BDE 的面积等于 1． （1）如图．以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP． （2）以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ． 【点评】：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段 平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 （2009 河北）如图 9-1 至图 9-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、 ⊙O4 均表示⊙O 与线段 AB 或 BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长 为 c． 阅读理解：（1）如图 9-1，⊙O 从⊙O1 的位置出发，沿 AB 滚动到⊙O2 的 位置，当 AB = c 时，⊙O 恰好自转 1 周．（2）如图 9-2，∠ABC 相邻的补角是 n°， ⊙O 在∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动，在点 B 处，必须由⊙O1 的位置旋转到⊙O2 的位 置， ⊙O 绕点 B 旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O 在点 B 处自转 360 n 周． 实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若 AB = 2c，则⊙O 自转 周； 若 AB = l，则⊙O 自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在 点 B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点 B 处自转_____ 周．（2）如图 9-3，∠ABC=90°，AB=BC= 1 2 c．⊙O 从⊙O1 的位置出发，在∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动到⊙O4 的位置，⊙O 自转 周． 拓展联想：（1）如图 9-4，△ABC 的周长为 l，⊙O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由． （2）如图 9-5，多边形的周长为 l，⊙O 从与某边相切于点 D 的 位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到 与该边相切于点 D 的位置，直接．．写出⊙O 自转的周数． O A B C 图 9-4 D D 图 9-5 O 图 9-1 A O1 O O2 B B 图 9-2 A C n° D O1 O2 【分析】：（1）当 AB = c 时，⊙O 恰好自转 1 周．（2）如图 9-2，∠ABC 相邻的补角是 n°，⊙O 在∠ABC 外部 沿 A-B-C 滚动，在点 B 处，必须由⊙O1 的位置旋转到⊙O2 的位置，⊙O 绕点 B 旋转的角∠O1BO2 = n°， ⊙O 在点 B 处自转 360 n 周，通过上面可以知道圆的转动规律。 解：实践应用 （1）2； l c ． 1 6 ； 1 3 ． （2） 5 4 ． 拓展联想 （1）∵△ABC 的周长为 l，∴⊙O 在三边上自转了 l c 周． 又∵三角形的外角和是 360°， ∴在三个顶点处，⊙O 自转了 360 1360  （周）． ∴⊙O 共自转了（ l c +1）周． （2） l c +1． 【评析】：本题以课题学习的形式呈现，从简单的“圆在直线段和角外部滚动的周数”的数学事实出发， 循序渐进，层层深入，引导学生在解决问题的过程中，不断产生认知发展，进而在不知不觉中提炼归纳出 一般性的结论，使自己对知识的认识得到升华 考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 （2011 南京）问题情境:已知矩形的面积为 a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？ 最小值是多少？ 数学模型:设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 2 ( )( 0 )ay x xx   ＞ ． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 1 ( 0)y x xx   ＞ 的图象性质． A. 填写下表，画出函数的图象： x …… 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数 1y x x   (x＞0)的最小值． 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 54－1 －1 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【分析】⑴将 x 值代入函类数关系式求出 y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像. ⑵仿⑴③ 2( )ay x x   = 2 22 ( ) ( )ax x      = 2 22 ( ) ( ) 2 2a a ax x xx x x          = 22( ) 4ax ax   所以, 当 ax x  =0，即 x a 时，函数 2( )( 0)ay x xx   ＞ 的最小值为 4 a 解答:⑴① x …… 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 …… y …… 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 …… 函数 1y x x   ( 0)x  的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 0 1x  时， y 随 x 增大而减小；当 1x  时, y 随 x 增大而增大；当 1x  时函数 1y x x   ( 0)x  的最 小值为 2． ③ 1y x x   = 2 21( ) ( )x x  = 2 21 1 1( ) ( ) 2 2x x xx x x      = 21( ) 2x x   当 1x x  =0，即 1x  时，函数 1y x x   ( 0)x  的最小值为 2． ⑵仿⑴③ 2( )ay x x   = 2 22 ( ) ( )ax x      = 2 22 ( ) ( ) 2 2a a ax x xx x x          = 22( ) 4ax ax   当 ax x  =0，即 x a 时，函数 2( )( 0)ay x xx   ＞ 的最小值为 4 a ． ⑵当该矩形的长为 a 时，它的周长最小，最小值为 4 a ． 【点评】：画和分析函数的图象,借助图像分析函数性质.类比一元二次方程的配方法求 1y x x   函数的最 大(小)值． 考点五、阅读图表等统计资料，提供有关信息解决相关问题 (2011 无锡)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)， 拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000 元提高到 3000 元，并将 9 级超额累进税率修改为 7 级，两种征 税方法的 1～5 级税率情况见下表： 税 级 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 月应纳税额 x 税率 速算扣除数 1 x≤500 5％ 0 x≤1 500 5％ 0 2 500 ab ， 2 a b = ab . 探究证明： （1） 2AB AD BD OC   ， ∴ 2 a bOC  AB 为⊙O 直径, ∴ 90ACB   . 90A ACD     ， 90ACD BCD    ， ∴∠A=∠BCD. ∴△ ACD ∽△CBD . ∴ AD CD CD BD  . 即 2CD AD BD ab   , ∴CD ab . （2）当 a b 时,OC CD , 2 a b = ab ； a b 时,OC CD , 2 a b > ab ． 结论归纳: 2 a b  ab ． 实践应用 设长方形一边长为 x 米,则另一边长为 1 x 米,设镜框周长为 l 米，则 A B C O D 12( )l x x   ≥ 14 4x x   ． 当 1x x  ,即 1x  （米）时,镜框周长最小．此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. 第二部分 练习部分答案 1、 D 2、（1） 1 3x   ． （2）解：设 2 1y x  ，则 y 是 x 的二次函数． 1 0a    ， 抛物线开口向上． 又当 0y  时， 2 1 0x   ，解得 1 21 1x x  ， ． 由此得抛物线 2 1y x  的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x   或 1x  时， 0y  ． 2 1 0x   的解集是： 1x   或 1x  ． 3、解：（1）如图，连接AC交BD于O，在正方形ABCD中，AC⊥BD ∵BE=BC．∴CO为等腰△BCE腰上的高， ∴根据上述结论可得 FM+FN=CO 而CO= 2 1 AC= 2 23332 1 22  ∴FM+FN= 2 23 （2）如图，设等边△ABC的边长为 a ，连接PA，BP，PC，则 S△BCP+S△ACP+S△ABP=S△ABC 即 ahararar 2 1 2 1 2 1 2 1 321  ∴ hrrr  321 （3）  21 rr …+ nr 是定值．  21 rr …+ nr nr （ r 为正 n 边形的边心距） 4、(1)设抛物线的解析式为： 4)1( 2 1  xay 把 A（3,0）代入解析式求得 1a 所以 324)1( 22 1  xxxy 设直线 AB 的解析式为： bkxy 2 由 322 1  xxy 求得 B 点的坐标为 )3,0( 把 )0,3(A ， )3,0(B 代入 bkxy 2 中 解得： 3,1  bk 所以 32  xy (2)因为 C 点坐标为(１,4) 所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以 CD＝4-2＝2 3232 1 CABS (平方单位) (3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h， 则 xxxxxyyh 3)3()32( 22 21  由 S△PAB= 8 9 S△CAB 得： 38 9)3(32 1 2  xx 化简得： 09124 2  xx 解得， 2 3x 将 2 3x 代入 322 1  xxy 中， 解得 P 点坐标为 )4 15,2 3( 5、解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y＝k x＋b. ∵ 直线 l 与直线 y＝—2x—1 平行，∴ k＝ —2. ∵ 直线 l 过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6. ∴ 直线 l 的函数表达式为 y＝—2x＋6. y xO 2 4 6 2 4 6－2 －2 （5 题） l 直线l 的图象如图. (2) ∵直线l 分别与 y 轴、 x 轴交于点 A 、 B ，∴点 A 、 B 的坐标分别为（0，6）、 （3，0）. ∵l ∥m ,∴直线m 为 y＝—2x+t. ∴C 点的坐标为( ,0)2 t . ∵ t＞0,∴ 02 t  . ∴C 点在 x 轴的正半轴上. 当 C 点在 B 点的左侧时， 1 3(3 ) 6 92 2 2 t tS       ; 当 C 点在 B 点的右侧时， 1 3( 3) 6 92 2 2 t tS       . ∴△ ABC 的面积 S 关于t 的函数表达式为 39 (0 6),2 3 9( 6).2 t t S t t         一线三等角 相似三角形判定的基本模型 A 字型 X 字型 反 A 字型 反 8 字型 母子型 旋转型 双垂直 三垂直 相似三角形判定的变化模型 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶 点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形， 图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例 1】如图，等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 【例 2】如图，等腰△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，∠EDF=∠B， 求证：△BDE∽△DFE C A DB E F CD E A B F 【例 3】如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设 BP=x，CM=y．求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长． 【例 4】（1）在 ABC 中， 5 ACAB ， 8BC ，点 P 、Q 分别在射线CB 、 AC 上（点 P 不与点C 、点 B 重 合），且保持 ABCAPQ  . ①若点 P 在线段CB 上（如图），且 6BP ，求线段CQ 的长； ②若 xBP  ， yCQ  ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的 定义域； （2）正方形 ABCD 的边长为5 （如图 12），点 P 、Q 分别在直线．．CB 、 DC 上 （点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持  90APQ . 当 1CQ 时，写出线段 BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. A B C 备用图 A B CP Q A B C D 图 12 A B P C M 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求 解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用 原来的方法求解。 【例 5】已知：菱形 ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点 P、Q 分别从点 B、C 出发，沿线段 BC、CD 以 1m/s 的速度向终点 C、 D 运动,运动时间为 t 秒 （1）连接 AP、AQ、PQ，试判断△APQ 的形状，并说明理由。 （2）当 t=1 秒时，连接 AC，与 PQ 相交于点 K.求 AK 的长。 （3） 当 t=2 秒时，连接 AP、PQ,将∠APQ 逆时针旋转，使角的两边与 AB、AD、AC 分别交于点 E、N、F，连接 EF.若 AN=1,求 S△EPF. 【应用】 1.如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点 P 为 x 轴上的一个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合．连接 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D． （1）直接写出点 B 的坐标 ． （2）当点 P 在线段 OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且 BD: AD=3:2 ，求点 P 的坐标． 2、已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点． （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 ①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当 BEPDMF SS   4 9 时，求 BP 的长． 模型训练： 1. 如图，在△ABC 中， 8 ACAB ， 10BC ，D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且 CADE  ． (1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果 xBD  ， yAE  ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； (3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 2. 已知：如图，在△ABC 中， 5 ACAB ， 6BC ，点 D 在边 AB 上， ABDE  ，点 E 在边 BC 上．又点 F 在边 AC 上，且 BDEF  ． (1) 求证：△FCE∽△EBD； (2) 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCE SS   4 ． 如果有可能，那么求出 BD 的长．如果不可能请说明理由． A B CD E E D CB A P （第 25 题图） E D CB A （备用图） 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在 P 点，然 后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。 （1）求证△BPD∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不重合)，PE⊥AB 与 E，PF⊥BC 交 AC 与 F， 设 PC=x，记 PE= 1y ，PF= 2y （1）分别求 1y 、 2y 关于 x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。 CP E A B D CP E A B F A B C D E F 5. 已知在等腰三角形 ABC 中， 4, 6AB BC AC   ，D 是 AC 的中点， E 是 BC 上的动点（不与 B 、C 重合）， 连结 DE ，过点 D 作射线 DF ，使 EDF A   ，射线 DF 交射线 EB 于点 F ，交射线 AB 于点 H . （1）求证： CED ∽ ADH ； （2）设 ,EC x BF y  . ①用含 x 的代数式表示 BH ； ②求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的定义域. 6. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直 线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） H A B C D E F C DA B P