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  • 2021-11-11 发布

中考数学选择填空压轴题汇编:几何综合结论

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‎2020年中考数学选择填空压轴题汇编:几何综合结论 ‎1.(2020深圳)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,折痕为EF,点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H.给出以下结论:‎ ‎①EF⊥BG;‎ ‎②GE=GF;‎ ‎③△GDK和△GKH的面积相等;‎ ‎④当点F与点C重合时,∠DEF=75°,‎ 其中正确的结论共有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:如图,连接BE,设EF与BG交于点O,‎ ‎∵将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,‎ ‎∴EF垂直平分BG,‎ ‎∴EF⊥BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正确,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠EGO=∠FBO,‎ 又∵∠EOG=∠BOF,‎ ‎∴△BOF≌△GOE(ASA),‎ ‎∴BF=EG,‎ ‎∴BF=EG=GF,故②正确,‎ ‎∵BE=EG=BF=FG,‎ ‎∴四边形BEGF是菱形,‎ ‎∴∠BEF=∠GEF,‎ 当点F与点C重合时,则BF=BC=BE=12,‎ ‎∵sin∠AEB‎=ABBE=‎6‎‎12‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴∠AEB=30°,‎ ‎∴∠DEF=75°,故④正确,‎ 由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等,故③错误;‎ 故选:C.‎ ‎2.(2020贵州铜仁)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,BE=1,∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF‎=‎‎2‎,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①△ECF的面积为‎17‎‎2‎;②△AEG的周长为8;③EG2=DG2+BE2;其中正确的是(  )‎ A.①②③ B.①③ C.①② D.②③‎ ‎【解答】解:如图,在正方形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD=4,∠B=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠HAD=90°,‎ ‎∵HF∥AD,‎ ‎∴∠H=90°,‎ ‎∵∠HAF=90°﹣∠DAM=45°,‎ ‎∴∠AFH=∠HAF.‎ ‎∵AF‎=‎‎2‎,‎ ‎∴AH=HF=1=BE.‎ ‎∴EH=AE+AH=AB﹣BE+AH=4=BC,‎ ‎∴△EHF≌△CBE(SAS),‎ ‎∴EF=EC,∠HEF=∠BCE,‎ ‎∵∠BCE+∠BEC=90°,‎ ‎∴HEF+∠BEC=90°,‎ ‎∴∠FEC=90°,‎ ‎∴△CEF是等腰直角三角形,‎ 在Rt△CBE中,BE=1,BC=4,‎ ‎∴EC2=BE2+BC2=17,‎ ‎∴S△ECF‎=‎‎1‎‎2‎EF•EC‎=‎‎1‎‎2‎EC2‎=‎‎17‎‎2‎,故①正确;‎ 过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,‎ ‎∴∠APF=90°=∠H=∠HAD,‎ ‎∴四边形APFH是矩形,‎ ‎∵AH=HF,‎ ‎∴矩形AHFP是正方形,‎ ‎∴AP=PH=AH=1,‎ 同理:四边形ABQP是矩形,‎ ‎∴PQ=AB=4,BQ=AP1,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC﹣BQ=3,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△FPG∽△FQC,‎ ‎∴FPFQ‎=‎PGCQ,‎ ‎∴‎1‎‎5‎‎=‎PG‎3‎,‎ ‎∴PG‎=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴AG=AP+PG‎=‎‎8‎‎5‎,‎ 在Rt△EAG中,根据勾股定理得,EG‎=AG‎2‎+AE‎2‎=‎‎17‎‎5‎,‎ ‎∴△AEG的周长为AG+EG+AE‎=‎8‎‎5‎+‎17‎‎5‎+‎3=8,故②正确;‎ ‎∵AD=4,‎ ‎∴DG=AD﹣AG‎=‎‎12‎‎5‎,‎ ‎∴DG2+BE2‎=‎144‎‎25‎+‎1‎=‎‎169‎‎25‎,‎ ‎∵EG2=(‎17‎‎5‎)2‎=‎289‎‎25‎≠‎‎169‎‎25‎,‎ ‎∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,‎ ‎∴正确的有①②,‎ 故选:C.‎ ‎3.(2020黑龙江鹤岗)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF‎=‎‎2‎BE,CF与AD相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列结论:‎ ‎①∠ECF=45°;‎ ‎②△AEG的周长为(1‎+‎‎2‎‎2‎)a;‎ ‎③BE2+DG2=EG2;‎ ‎④△EAF的面积的最大值是‎1‎‎8‎a2;‎ ‎⑤当BE‎=‎‎1‎‎3‎a时,G是线段AD的中点.‎ 其中正确的结论是(  )‎ A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤‎ ‎【解答】解:如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.‎ ‎∵BE=BH,∠EBH=90°,‎ ‎∴EH‎=‎‎2‎BE,‎ ‎∵AF‎=‎‎2‎BE,‎ ‎∴AF=EH,‎ ‎∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°,‎ ‎∴∠FAE=∠EHC=135°,‎ ‎∵BA=BC,BE=BH,‎ ‎∴AE=HC,‎ ‎∴△FAE≌△EHC(SAS),‎ ‎∴EF=EC,∠AEF=∠ECH,‎ ‎∵∠ECH+∠CEB=90°,‎ ‎∴∠AEF+∠CEB=90°,‎ ‎∴∠FEC=90°,‎ ‎∴∠ECF=∠EFC=45°,故①正确,‎ 如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),‎ ‎∴∠ECB=∠DCH,‎ ‎∴∠ECH=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠ECG=∠GCH=45°,‎ ‎∵CG=CG,CE=CH,‎ ‎∴△GCE≌△GCH(SAS),‎ ‎∴EG=GH,‎ ‎∵GH=DG+DH,DH=BE,‎ ‎∴EG=BE+DG,故③错误,‎ ‎∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,‎ 设BE=x,则AE=a﹣x,AF‎=‎‎2‎x,‎ ‎∴S△AEF‎=‎‎1‎‎2‎•(a﹣x)×x‎=-‎‎1‎‎2‎x2‎+‎‎1‎‎2‎ax‎=-‎‎1‎‎2‎(x2﹣ax‎+‎‎1‎‎4‎a2‎-‎‎1‎‎4‎a2)‎=-‎‎1‎‎2‎(x‎-‎‎1‎‎2‎a)2‎+‎‎1‎‎8‎a2,‎ ‎∵‎-‎1‎‎2‎<‎0,‎ ‎∴x‎=‎‎1‎‎2‎a时,△AEF的面积的最大值为‎1‎‎8‎a2.故④正确,‎ 当BE‎=‎‎1‎‎3‎a时,设DG=x,则EG=x‎+‎‎1‎‎3‎a,‎ 在Rt△AEG中,则有(x‎+‎‎1‎‎3‎a)2=(a﹣x)2+(‎2‎‎3‎a)2,‎ 解得x‎=‎a‎2‎,‎ ‎∴AG=GD,故⑤正确,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(2020黑龙江绥化)如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB的中线,过点D作DE⊥AC于点E,延长DE至点F,使EF=DE,连接AF,CF,点G在线段CF上,连接EG,且∠CDE+∠EGC=180°,FG=2,GC=3.下列结论:‎ ‎①DE‎=‎‎1‎‎2‎BC;‎ ‎②四边形DBCF是平行四边形;‎ ‎③EF=EG;‎ ‎④BC=2‎5‎.‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解;∵CD为斜边AB的中线,‎ ‎∴AD=BD,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴BC⊥AC,‎ ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴AE=CE,DE‎=‎‎1‎‎2‎BC;①正确;‎ ‎∵EF=DE,‎ ‎∴DF=BC,‎ ‎∴四边形DBCF是平行四边形;②正确;‎ ‎∴CF∥BD,CF=BD,‎ ‎∵∠ACB=90°,CD为斜边AB的中线,‎ ‎∴CD‎=‎‎1‎‎2‎AB=BD,‎ ‎∴CF=CD,‎ ‎∴∠CFE=∠CDE,‎ ‎∵∠CDE+∠EGC=180°,∠EGF+∠EGC=180°,‎ ‎∴∠CDE=∠EGF,‎ ‎∴∠CFE=∠EGF,‎ ‎∴EF=EG,③正确;‎ 作EH⊥FG于H,如图所示:‎ 则∠EHF=∠CHE=90°,∠HEF+∠EFH=∠HEF+∠CEH=90°,FH=GH‎=‎‎1‎‎2‎FG=1,‎ ‎∴∠EFH=∠CEH,CH=GC+GH=3+1=4,‎ ‎∴△EFH∽△CEH,‎ ‎∴EHCH‎=‎FHEH,‎ ‎∴EH2=CH×FH=4×1=4,‎ ‎∴EH=2,‎ ‎∴EF‎=FH‎2‎+EH‎2‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎,‎ ‎∴BC=2DE=2EF=2‎5‎,④正确;‎ 故选:D.‎ ‎5.(2020湖北随州)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M,N分别在边AD,BC上,沿着MN折叠矩形ABCD,使点A,B分别落在E,F处,且点F在线段CD上(不与两端点重合),过点M作MH⊥BC于点H,连接BF,给出下列判断:‎ ‎①△MHN∽△BCF;‎ ‎②折痕MN的长度的取值范围为3<MN‎<‎‎15‎‎4‎;‎ ‎③当四边形CDMH为正方形时,N为HC的中点;‎ ‎④若DF‎=‎‎1‎‎3‎DC,则折叠后重叠部分的面积为‎55‎‎12‎.‎ 其中正确的是 ①②③④ .(写出所有正确判断的序号)‎ ‎【解答】解:①如图1,由折叠可知BF⊥MN,‎ ‎∴∠BOM=90°,‎ ‎∵MH⊥BC,‎ ‎∴∠BHP=90°=∠BOM,‎ ‎∵∠BPH=∠OPM,‎ ‎∴∠CBF=∠NMH,‎ ‎∵∠MHN=∠C=90°,‎ ‎∴△MHN∽△BCF,‎ 故①正确;‎ ‎②当F与C重合时,MN=3,此时MN最小,‎ 当F与D重合时,如图2,此时MN最大,‎ 由勾股定理得:BD=5,‎ ‎∵OB=OD‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∵tan∠DBC‎=ONOB=‎CDBC,即ON‎5‎‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴ON‎=‎‎15‎‎8‎,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠MDO=∠OBN,‎ 在△MOD和△NOB中,‎ ‎∵‎∠MDO=∠OBNOD=OB‎∠DOM=∠BON,‎ ‎∴△DOM≌△BON(ASA),‎ ‎∴OM=ON,‎ ‎∴MN=2ON‎=‎‎15‎‎4‎,‎ ‎∵点F在线段CD上(不与两端点重合),‎ ‎∴折痕MN的长度的取值范围为3<MN‎<‎‎15‎‎4‎;‎ 故②正确;‎ ‎③如图3,连接BM,FM,‎ 当四边形CDMH为正方形时,MH=CH=CD=DM=3,‎ ‎∵AD=BC=4,‎ ‎∴AM=BH=1,‎ 由勾股定理得:BM‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎10‎,‎ ‎∴FM‎=‎‎10‎,‎ ‎∴DF‎=FM‎2‎-DM‎2‎=‎(‎10‎‎)‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎=‎1,‎ ‎∴CF=3﹣1=2,‎ 设HN=x,则BN=FN=x+1,‎ 在Rt△CNF中,CN2+CF2=FN2,‎ ‎∴(3﹣x)2+22=(x+1)2,‎ 解得:x‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴HN‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∵CH=3,‎ ‎∴CN=HN‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴N为HC的中点;‎ 故③正确;‎ ‎④如图4,连接FM,‎ ‎∵DF‎=‎‎1‎‎3‎DC,CD=3,‎ ‎∴DF=1,CF=2,‎ ‎∴BF‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎,‎ ‎∴OF‎=‎‎5‎,‎ 设FN=a,则BN=a,CN=4﹣a,‎ 由勾股定理得:FN2=CN2+CF2,‎ ‎∴a2=(4﹣a)2+22,‎ ‎∴a‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴BN=FN‎=‎‎5‎‎2‎,CN‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∵∠NFE=∠CFN+∠DFQ=90°,‎ ‎∠CFN+∠CNF=90°,‎ ‎∴∠DFQ=∠CNF,‎ ‎∵∠D=∠C=90°,‎ ‎∴△QDF∽△FCN,‎ ‎∴QDFC‎=‎DFCN,即QD‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴QD‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴FQ‎=‎1‎‎2‎‎+(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎3‎,‎ ‎∵tan∠HMN=tan∠CBF‎=HNHM=‎CFBC,‎ ‎∴HN‎3‎‎=‎‎2‎‎4‎,‎ ‎∴HN‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴MN‎=‎3‎‎2‎‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎3‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∵CH=MD=HN+CN‎=‎3‎‎2‎+‎3‎‎2‎=‎3,‎ ‎∴MQ=3‎-‎4‎‎3‎=‎‎5‎‎3‎,‎ ‎∴折叠后重叠部分的面积为:S△MNF+S△MQF‎=‎1‎‎2‎⋅MN⋅OF+‎1‎‎2‎⋅MQ⋅DF=‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎‎2‎×‎5‎+‎1‎‎2‎×‎5‎‎3‎×1=‎‎55‎‎12‎;‎ 故④正确;‎ 所以本题正确的结论有:①②③④;‎ 故答案为:①②③④.‎ ‎6.(2020湖北仙桃)如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:如图,作AM⊥BD于M,AN⊥EC于N.‎ ‎∵∠BAC=∠DAE=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠CAE,‎ ‎∵AB=AC,AD=AE,‎ ‎∴△BAD≌△CAE(SAS),‎ ‎∴EC=BD,∠BDA=∠AEC,故①正确 ‎∵∠DOF=∠AOE,‎ ‎∠DFO=∠EAO=90°,‎ ‎∴BD⊥EC,故②正确,‎ ‎∵△BAD≌△CAE,AM⊥BD,AN⊥EC,‎ ‎∴AM=AN,‎ ‎∴FA平分∠EFB,‎ ‎∴∠AFE=45°,故④正确,‎ 若③成立,则∠AEF=∠ABD=∠ADB,推出AB=AD,显然与条件矛盾,故③错误,‎ 故选:C.‎ ‎7.(2020湖北咸宁)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:‎ ‎①△ABE∽△ECG;‎ ‎②AE=EF;‎ ‎③∠DAF=∠CFE;‎ ‎④△CEF的面积的最大值为1.‎ 其中正确结论的序号是 ①②③ .(把正确结论的序号都填上)‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠B=∠ECG=90°,‎ ‎∵∠AEF=90°,‎ ‎∴∠AEB+∠CEG=∠AEB+∠BAE,‎ ‎∴∠BAE=∠CEG,‎ ‎∴△ABE∽△ECG,‎ 故①正确;‎ ‎②在BA上截取BM=BE,如图1,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠B=90°,BA=BC,‎ ‎∴△BEM为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BME=45°,‎ ‎∴∠AME=135°,‎ ‎∵BA﹣BM=BC﹣BE,‎ ‎∴AM=CE,‎ ‎∵CF为正方形外角平分线,‎ ‎∴∠DCF=45°,‎ ‎∴∠ECF=135°,‎ ‎∵∠AEF=90°,‎ ‎∴∠AEB+∠FEC=90°,‎ 而∠AEB+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠FEC,‎ 在△AME和△ECF中 ‎∠MAE=∠CEFAM=EC‎∠AME=∠ECF‎,‎ ‎∴△AME≌△ECF,‎ ‎∴AE=EF,‎ 故②正确;‎ ‎③∵AE=EF,∠AEF=90°,‎ ‎∴∠EAF=45°,‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°,‎ ‎∵∠BAE+∠CFE=∠CEF+∠CFE=45°,‎ ‎∴∠DAF=∠CFE,‎ 故③正确;‎ ‎④设BE=x,则BM=x,AM=AB﹣BM=4﹣x,‎ S△ECF=S△AME‎=‎‎1‎‎2‎•x•(2﹣x)‎=-‎‎1‎‎2‎(x﹣1)2‎+‎‎1‎‎2‎,‎ 当x=1时,S△ECF有最大值‎1‎‎2‎,‎ 故④错误.‎ 故答案为:①②③.‎ ‎8.(2020湖南岳阳)如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,AB=8,BD与半圆O相切于点B.点P为AM上一动点(不与点A,M重合),直线PC交BD于点D,BE⊥OC于点E,延长BE交PC于点F,则下列结论正确的是 ②⑤ .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①PB=PD;②BC的长为‎4‎‎3‎π;③∠DBE=45°;④△BCF∽△PFB;⑤CF•CP为定值.‎ ‎【解答】解:①连接AC,并延长AC,与BD的延长线交于点H,如图1,‎ ‎∵M,C是半圆上的三等分点,‎ ‎∴∠BAH=30°,‎ ‎∵BD与半圆O相切于点B.‎ ‎∴∠ABD=90°,‎ ‎∴∠H=60°,‎ ‎∵∠ACP=∠ABP,∠ACP=∠DCH,‎ ‎∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°,‎ ‎∵∠PBD=90°﹣∠ABP,‎ 若∠PDB=∠PBD,则∠ABP+60°=90°﹣∠ABP,‎ ‎∴∠ABP=15°,‎ ‎∴P点为AM的中点,这与P为AM上的一动点不完全吻合,‎ ‎∴∠PDB不一定等于∠ABD,‎ ‎∴PB不一定等于PD,‎ 故①错误;‎ ‎②∵M,C是半圆上的三等分点,‎ ‎∴∠BOC‎=‎1‎‎3‎×180°=60°‎,‎ ‎∵直径AB=8,‎ ‎∴OB=OC=4,‎ ‎∴BC的长度‎=‎60π×4‎‎180‎=‎4‎‎3‎π,‎ 故②正确;‎ ‎③∵∠BOC=60°,OB=OC,‎ ‎∴∠ABC=60°,OB=OC=BC,‎ ‎∵BE⊥OC,‎ ‎∴∠OBE=∠CBE=30°,‎ ‎∵∠ABD=90°,‎ ‎∴∠DBE=60°,‎ 故③错误;‎ ‎④∵M、N是AB的三等分点,‎ ‎∴∠BPC=30°,‎ ‎∵∠CBF=30°,‎ 但∠BFP=∠FCB,‎ ‎∠PBF<∠BFC,‎ ‎∴△BCF∽△PFB不成立,‎ 故④错误;‎ ‎⑤∵△BCF∽△PCB,‎ ‎∴CBCP‎=‎CFCB,‎ ‎∴CF•CP=CB2,‎ ‎∵CB=OB=OC=‎1‎‎2‎AB=4‎,‎ ‎∴CF•CP=16,‎ 故⑤正确.‎ 故答案为:②⑤.‎ ‎9.(2020山东德州)如图,在矩形ABCD中,AB‎=‎3‎+‎2,AD‎=‎‎3‎.把AD沿AE折叠,使点D恰好落在AB边上的D′处,再将△AED′绕点E顺时针旋转α,得到△A'ED″,使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G,连接AA′.有如下结论:①A′F的长度是‎6‎‎-‎2;②弧D'D″的长度是‎5‎‎3‎‎12‎π;③△A′AF≌△A′EG;④△AA′F∽△EGF.上述结论中,所有正确的序号是 ①②④ .‎ ‎【解答】解:∵把AD沿AE折叠,使点D恰好落在AB边上的D′处,‎ ‎∴∠D=∠AD'E=90°=∠DAD',AD=AD',‎ ‎∴四边形ADED'是矩形,‎ 又∵AD=AD'‎=‎‎3‎,‎ ‎∴四边形ADED'是正方形,‎ ‎∴AD=AD'=D'E=DE‎=‎‎3‎,AE‎=‎‎2‎AD‎=‎‎6‎,∠EAD'=∠AED'=45°,‎ ‎∴D'B=AB﹣AD'=2,‎ ‎∵点F是BD'中点,‎ ‎∴D'F=1,‎ ‎∴EF‎=D'E‎2‎+D'F‎2‎=‎3+1‎=‎2,‎ ‎∵将△AED′绕点E顺时针旋转α,‎ ‎∴AE=A'E‎=‎‎6‎,∠D'ED''=α,∠EA'D''=∠EAD'=45°,‎ ‎∴A'F‎=‎6‎-‎2,故①正确;‎ ‎∵tan∠FED'‎=D'FD'E=‎1‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴∠FED'=30°‎ ‎∴α=30°+45°=75°,‎ ‎∴弧D'D″的长度‎=‎75°×π×‎‎3‎‎180°‎=‎‎5‎‎3‎‎12‎π,故②正确;‎ ‎∵AE=A'E,∠AEA'=75°,‎ ‎∴∠EAA'=∠EA'A=52.5°,‎ ‎∴∠A'AF=7.5°,‎ ‎∵∠AA'F≠∠EA'G,∠AA'E≠∠EA'G,∠AFA'=120°≠∠EA'G,‎ ‎∴△AA'F与△A'GE不全等,故③错误;‎ ‎∵D'E=D''E,EG=EG,‎ ‎∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G(HL),‎ ‎∴∠D'GE=∠D''GE,‎ ‎∵∠AGD''=∠A'AG+∠AA'G=105°,‎ ‎∴∠D'GE=52.5°=∠AA'F,‎ 又∵∠AFA'=∠EFG,‎ ‎∴△AFA'∽△EFG,故④正确,‎ 故答案为:①②④.‎ ‎10.(2020四川成都)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF‎=‎‎2‎AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴EB=ED,‎ ‎∵BO=DO,‎ ‎∴OE平分∠BOD,‎ 故①正确;‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠OAD=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠ADB=90°,‎ ‎∵OB=OD,BE=DE,‎ ‎∴OE⊥BD,‎ ‎∴∠BOE+∠OBE=90°,‎ ‎∴∠BOE=∠BDA,‎ ‎∵∠BOD=45°,∠OAD=90°,‎ ‎∴∠ADO=45°,‎ ‎∴AO=AD,‎ ‎∴△AOF≌△ABD(ASA),‎ ‎∴OF=BD,‎ 故②正确;‎ ‎③∵△AOF≌△ABD,‎ ‎∴AF=AB,‎ 连接BF,如图1,‎ ‎∴BF‎=‎2‎AF,‎ ‎∵BE=DE,OE⊥BD,‎ ‎∴DF=BF,‎ ‎∴DF‎=‎2‎AF,‎ 故③正确;‎ ‎④根据题意作出图形,如图2,‎ ‎∵G是OF的中点,∠OAF=90°,‎ ‎∴AG=OG,‎ ‎∴∠AOG=∠OAG,‎ ‎∵∠AOD=45°,OE平分∠AOD,‎ ‎∴∠AOG=∠OAG=22.5°,‎ ‎∴∠FAG=67.5°,∠ADB=∠AOF=22.5°,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴EA=ED,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA=22.5°,‎ ‎∴∠EAG=90°,‎ ‎∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°,‎ ‎∴∠AEG=45°,‎ ‎∴AE=AG,‎ ‎∴△AEG为等腰直角三角形,‎ 故④正确;‎ 故选:A.‎ ‎11.(2020四川攀枝花)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点,DE、AF交于点G,AF的中点为H,连接BG、DH.给出下列结论:‎ ‎①AF⊥DE;②DG‎=‎‎8‎‎5‎;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.‎ 其中正确的结论有 ①④ .(请填上所有正确结论的序号)‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,‎ ‎∵E和F分别为BC和CD中点,‎ ‎∴DF=EC=2,‎ ‎∴△ADF≌△DCE(SAS),‎ ‎∴∠AFD=∠DEC,∠FAD=∠EDC,‎ ‎∵∠EDC+∠DEC=90°,‎ ‎∴∠EDC+∠AFD=90°,‎ ‎∴∠DGF=90°,即DE⊥AF,故①正确;‎ ‎∵AD=4,DF‎=‎‎1‎‎2‎CD=2,‎ ‎∴AF‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎5‎,‎ ‎∴DG=AD×DF÷AF‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎,故②错误;‎ ‎∵H为AF中点,‎ ‎∴HD=HF‎=‎‎1‎‎2‎AF‎=‎‎5‎,‎ ‎∴∠HDF=∠HFD,‎ ‎∵AB∥DC,‎ ‎∴∠HDF=∠HFD=∠BAG,‎ ‎∵AG‎=AD‎2‎-DG‎2‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎,AB=4,‎ ‎∴ABDH‎=ABHF=‎4‎‎5‎‎5‎=‎AGDF,‎ ‎∴△ABG~△DHF,故④正确;‎ ‎∴∠ABG=∠DHF,而AB≠AG,‎ 则∠ABG和∠AGB不相等,‎ 故∠AGB≠∠DHF,‎ 故HD与BG不平行,故③错误;‎ 故答案为:①④.‎ ‎12.(2020四川遂宁)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE、DE,分别交BD、AC于点P、Q,过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F,下列结论:‎ ‎①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°,‎ ‎②AP=FP,‎ ‎③AE‎=‎‎10‎‎2‎AO,‎ ‎④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形ABCD的面积为36,‎ ‎⑤CE•EF=EQ•DE.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎【解答】解:如图,连接OE.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,‎ ‎∴∠BOC=90°,‎ ‎∵BE=EC,‎ ‎∴∠EOB=∠EOC=45°,‎ ‎∵∠EOB=∠EDB+∠OED,∠EOC=∠EAC+∠AEO,‎ ‎∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°,故①正确,‎ 连接AF.‎ ‎∵PF⊥AE,‎ ‎∴∠APF=∠ABF=90°,‎ ‎∴A,P,B,F四点共圆,‎ ‎∴∠AFP=∠ABP=45°,‎ ‎∴∠PAF=∠PFA=45°,‎ ‎∴PA=PF,故②正确,‎ 设BE=EC=a,则AE‎=‎‎5‎a,OA=OC=OB=OD‎=‎‎2‎a,‎ ‎∴AEAO‎=‎5‎a‎2‎a=‎‎10‎‎2‎,即AE‎=‎‎10‎‎2‎AO,故③正确,‎ 根据对称性可知,△OPE≌△OQE,‎ ‎∴S△OEQ‎=‎‎1‎‎2‎S四边形OPEQ=2,‎ ‎∵OB=OD,BE=EC,‎ ‎∴CD=2OE,OE⊥CD,‎ ‎∴EQDQ‎=OECD=‎‎1‎‎2‎,△OEQ∽△CDQ,‎ ‎∴S△ODQ=4,S△CDQ=8,‎ ‎∴S△CDO=12,‎ ‎∴S正方形ABCD=48,故④错误,‎ ‎∵∠EPF=∠DCE=90°,∠PEF=∠DEC,‎ ‎∴△EPF∽△ECD,‎ ‎∴EFED‎=‎PEEC,‎ ‎∴EQ=PE,‎ ‎∴CE•EF=EQ•DE,故⑤正确,‎ 故选:B.‎