中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义30 概率（教师版） 24页

专题 30 概率 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 概率的有关概念 概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们 把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率. 事件类型： ①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件. 概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包 含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 【考查题型汇总】 考查题型一 判断事件发生的可能性 1．（2016·福建中考真题）掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是( ) A．每两次必有 1 次正面向上 B．可能有 5 次正面向上 C．必有 5 次正面向上 D．不可能有 10 次正面向上 【答案】B 【详解】 ACD 都将概率的意义理解错，概率不代表必有或不可能，故 ACD 错误，选 B. 2．（2012·山东中考真题）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛 1 枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛 1 枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事 件.故选 B. 3．（2016·湖北中考真题）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球，其中 4 个黑球、2 个 白球，从袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．摸出的是 3 个白球 B．摸出的是 3 个黑球 C．摸出的是 2 个白球、1 个黑球 D．摸出的是 2 个黑球、1 个白球 【答案】A 【解析】 由题意可知，不透明的袋子中总共有 2 个白球，从袋子中一次摸出 3 个球都是白球是不可能事件，故选 B. 4．（2018·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ） A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式 B．数据 2.0，﹣2，1，3 的中位数是﹣2 C．可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生 D．从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000 名学生 【答案】A 【解析】 A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确； B、数据 2.0，-2，1，3 的中位数是 1，错误； C、可能性是 99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误； D、从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000，错误； 故选 A． 5．（2012·江西中考真题）从 10 名学生（6 男 4 女，其中小芳为女生）中，抽选 6 人参加“防震知识”竞赛．若 规定男生选 3 人，则“选到小芳”的事件应该是____（选填“必然事件、不可能事件、随机事件”）． 【答案】随机事件 【解析】 解：“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”， 从 10 名学生（6 男 4 女，其中小芳为女生）中，抽选 6 人参加“防震知识”竞赛． 若规定男生选 3 人，则女生也选 3 人，“选到小芳”的可能性大，但不一定发生． 故答案为随机事件． 考查题型二 利用概率的定义求事件发生的概率 1．（2019·浙江中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年级男生，他 们的身高 x （ cm ）统计如下： 组别（ cm ） 160x  160 170x  170 180x  180x  人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ） A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 【答案】D 【详解】 样本中身高不低于 180cm 的频率= 15 100 =0.15， 所以估计他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15． 故选 D． 2．（2019·浙江中考真题）一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后 任意摸出一个球，是白球．．的概率为（ ） A． 1 2 B． 3 10 C． 1 5 D． 7 10 【答案】A 【详解】 袋子里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球共 10 个球，从中摸出一个球是白球的概率为： 5 1 10 2  ． 故选 A. 3．（2019·江苏中考真题）抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为（ ） A．500 B．800 C．1000 D．1200 【答案】C 【详解】 抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为1000次， 故选 C． 4．（2015·山东中考真题）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、 正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：投掷一次，向下一面有四种可能，其中圆、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，有两种可 能，故概率为 ； 故选 D. 5．（2017·内蒙古中考模拟）如图，随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个，则灯泡发光的概率是（ ） A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 2 【答案】B 【解析】 ∵随机闭合开关 1S 、 2S 、 3S 中的两个,共有 3 种情况： 1S 2S , 1S 3S , 2S 3S ， 能让灯泡发光的有 1S 3S 、 2S 3S 两种情况。 ∴能让灯泡发光的概率为 2 3 .故选 B. 考查题型三 几何概型的计算方法 1．（2019·北京中考模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直 角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此 正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（ ） A． 9 32 B． 5 16 C． 3 8 D． 7 16 【答案】C 【详解】 解：设“东方模板”的面积为 4，则阴影部分三角形面积为 1，平行四边形面积为 1 2 ， 则点取自黑色部分的概率为： 11 32 4 8   ， 故选：C． 2．（2019·山东中考模拟）正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影 部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ） A． 2 2   B． 2 4   C． 2 8   D． 2 16   【答案】A 【详解】如图，连接 PA、PB、OP， 则 S 半圆 O= 21 2 2    ，S△ABP= 1 2 ×2×1=1， 由题意得：图中阴影部分的面积=4（S 半圆 O﹣S△ABP） =4（ 2  ﹣1）=2π﹣4， ∴米粒落在阴影部分的概率为 2 4 2 4 2    ， 故选 A． 3．（2018·辽宁中考真题）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这 个点取在阴影部分的概率是（ ） A． 1 5 B． 1 6 C． 1 7 D． 1 8 【答案】C 【解析】 设阴影部分的面积是 x，则整个图形的面积是 7x， 则这个点取在阴影部分的概率是 1 7 7 x x  ， 故选：C． 4．（2019·甘肃中考真题）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚 小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( ) A． 1 4 B． 1 2 C． 8  D． 4  【答案】C 【详解】 设正方形 ABCD 的边长为 2a ， 针尖落在黑色区域内的概率 2 2 1 2 4 8 a a      ． 故选：C． 5．（2019·北京青云店中学中考模拟）如图是 12 个大小相同的小正方形，其中 5 个小正方形已涂上阴影，现 随机丢一粒豆子在这 12 个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ） A． 5 6 B． 5 12 C． 5 9 D． 7 12 【答案】B 【详解】 P= 阴影面积 全部面积 = 5 12 ， 故答案选 B 考查题型四 利用概率的结果还原事件的方法 1．（2018·湖南中考模拟）已知一个布袋里装有 2 个红球，3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相 同．若从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 1 3 ，则 a 等于（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 【答案】A 【详解】 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得： 2 1 2 3 3a   ， 解得：a=1， 经检验，a=1 是原分式方程的解，故本题选 A. 2．（2018·吉林中考模拟）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完 全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球 的个数很可能是（ ） A．6 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【解析】 ∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，∴摸到白球的频率为 1-15%-45%=40%， 故口袋中白色球的个数可能是 40×40%=16 个．故选 A． 3．（2018·河北中考模拟）在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白 色棋子的概率是 2 5 ．如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 1 4 ，则原来盒中有白色棋子 ( ) A．8 颗 B．6 颗 C．4 颗 D．2 颗 【答案】C 【详解】 由题意得 2=+ 5 1=+ +6 4 { x x y x x y ， 解得 x=4， y=6 ， 经检验 x、y 是原方程组的解， 故选 C． 4．（2019·内蒙古中考模拟）一个不透明布袋里有 3 个红球，4 个白球和 m 个黄球，这些球除颜色外其余都 相同，若从中随机摸出 1 个球是红球的概率为 1 3 ，则 m 的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】 由题意可得， m＝3÷ 1 3 ﹣3﹣4＝9﹣3﹣4＝2． 故选：A． 5．（2019·辽宁中考真题）一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均 匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 70 次摸到红球．请你估计这个口袋中有_____个白球． 【答案】3 【详解】 由题意可得，红球的概率为 70%．则白球的概率为 30%， 这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个）， 故答案为：3. 知识点二 概率计算  利用列举法求概率 方法一:直接列举法求概率 当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 方法二:列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用列表法。 方法三：树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树状图法求概率。  利用频率估计概率 实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率 ， 虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制， 使得可求概率的随机事件的范围扩大. 【考查题型汇总】 考查题型五 利用树状图求事件概率 1．（2019·山东中考真题）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性 大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( ) A． 2 3 B． 2 9 C． 1 3 D． 1 9 【答案】B 【详解】 画“树形图”如图所示： ∵这两辆汽车行驶方向共有 9 种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有 2 种， ∴一辆向右转，一辆向左转的概率为 2 9 ； 故选：B． 2．（2019·山东中考真题）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】C 【详解】 解：根据题意可得树状图为： 一共有 25 种结果，其中 15 种结果是大于 5 的 因此可得摸出的小球标号之和大于 5 的概率为 15 3 25 5  故选 C. 3．（2019·广西中考真题）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之 和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ） A． 13 25 B． 12 25 C． 4 25 D． 1 2 【答案】A 【详解】 解：画树状图如图： 共有 25 个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个， ∴小李获胜的概率为 13 25 ； 故选 A． 4．（2018·辽宁中考模拟）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4．随 机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 5 6 【答案】C 【详解】画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为 12， 所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率= 12 3 16 4  ， 故选 C． 5．（2018·河南中考模拟）一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4， 随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于 6 的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 5 C． 1 4 D． 1 3 【答案】A 【详解】 画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于 6 的有 2 种情况， ∴两次摸出的小球标号之和等于 6 的概率 2 1.12 6= = 故选 A． 考查题型六 利用列表法求事件概率 1．（2019·山东中考真题）从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数，分别记为 m 、n ，那么点 ,m n 在函数 6y x  图象的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 8 【答案】B 【详解】 点 ,m n 在函数 6y x  的图象上， 6mn  ． 列表如下： m ﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6 n 2 3 ﹣6 ﹣1 3 ﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣1 2 3 mn ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18 mn 的值为 6 的概率是 4 1 12 3  ． 故选： B ． 2．（2019·河南中考模拟）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各 组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A． 1 9 B． 1 6 C． 1 3 D． 2 3 【答案】C 【解析】 将三个小区分别记为 A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有 3 种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为 3 1=9 3 . 故选：C． 3．（2019·海南中考模拟）从﹣2，﹣1，2 这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【详解】列表如下： 积 ﹣2 ﹣1 2 ﹣2 2 ﹣4 ﹣1 2 ﹣2 2 ﹣4 ﹣2 由表可知，共有 6 种等可能结果，其中积为正数的有 2 种结果， 所以积为正数的概率为 2 1 6 3  ， 故选 C． 4．（2018·内蒙古中考模拟）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别 标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线 上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 列表得， 1 2 0 -1 1 （1，1） （1，2） （1，0） （1，-1） 2 （2，1） （2，2） （2，0） （2，-1） 0 （0，1） （0，2） （0，0） （0，-1） -1 （-1，1） （-1，2） （-1，0） （-1，-1） 表格可知，总共有 16 种结果，两个数都为正数的结果有 4 种，所以两个数都为正数的概率为 4 1=16 4 ，故选 C. 5．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺 演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题解析：列表如下： ∴共有20 种 等可能的结果，P（一男一女）= = ． 故选 B． 考查题型七 利用频率估计事件概率的方法 1．（2018·农安县靠山初级中学中考模拟）一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中 有 9 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸 球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（ ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】D 【详解】 试题解析：根据题意得 9 n =30%，解得 n=30， 所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球． 故选 D． 2．（2018·内蒙古中考模拟）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 30 个，黑球有 n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球， 经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【解析】 详解：根据题意得: .n 0 430 n  , 计算得出:n=20, 故选 A. 3．（2015·湖北中考模拟）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，是指（ ） A．连续掷 2 次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 1 次 B．连续抛掷 100 次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 50 次 C．抛掷 2n 次硬币，恰好有 n 次“正面朝上” D．抛掷 n 次，当 n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5 【答案】D 【解析】 利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．连 续抛掷 2n 次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故 A、B、C 错误， 抛掷 n 次，当 n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5，故 D 正确. 故选 D． 4．（2018·湖北中考模拟）盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数， 某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复 360 次，摸出白色乒乓球 90 次，则 黄色乒乓球的个数估计为( ) A．90 个 B．24 个 C．70 个 D．32 个 【答案】B 【解析】 试题分析：设黄球数为 x 个， ∵重复 360 次，摸出白色乒乓球 90 次， ∴摸出白球的频率为 90 360 ＝ 1 4 ， ∴估计摸出白球的概率为 1 4 ， ∴ 1 4 ＝ 8 8 x ， 解得 x＝24． 故选 B． 5．（2015·江苏中考模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如 图 的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．袋子中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 6 【答案】D 【解析】 A、应该在 0．16 附近波动，故错误；B、黄球的概率是 ≈0．667，故错误；C、应该在 0．5 附近，故错 误；D、正确； 故选 D． 考查题型八 利用概率解决平均收益问题 1．（2018·湖南中考模拟）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如下图），并规定：购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿、黄、白区域，那么 顾客就可以分别得到 80 元、30 元、10 元、0 元的购物券，凭购物券仍然可以在商场购物；如果顾客不愿意 转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元． （1）每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少？ （2）若在此商场购买 100 元的货物，那么你将选择哪种方式获得购物券？ （3）小明在家里也做了一个同样的转盘做实验，转 10 次后共获得购物券 96 元，他说还是不转转盘直接领 取购物券合算，你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）15 元；（2）选择转动转盘，理由见解析；（3）小明的说法不正确. 【解析】 解：（1）15%×30+10%×80+25%×10=15 元； （2）选择转动转盘，因为由（1）得转动转盘的平均获取金额为 15 元，不转的情况下，获得的仅为 10 元； 故要选择转一次转盘． （3）小明的说法不正确，当实验次数多时，实验结果更趋近于理论数据，小明转动次数太少，有太大偶然 性． 2．（2017·山东中考模拟）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为 20 份)， 并规定：顾客每购买 200 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、 黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 200 元、100 元、50 元的购物券，凭购物券可以在该商场继续 购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 30 元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）= 1 2 ；（2）选择转转盘对顾客更合算． 【详解】 解：（1）∵转盘被均匀分为 20 份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴转动一次转盘获得购物券概 率= 10 1 20 2  ． （2）因为红色概率= 1 20 ，黄色概率= 3 20 ，绿色概率= 6 3 20 10  ， 1 3 6200 100 50 4020 20 20        元， 40 30 ∴选择转转盘对顾客更合算． 3．（2018·山东中考模拟）在“五•一”劳动节期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如 图，转盘被平均分成 20 份），并规定：顾客每购物满 200 元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停 止后，指针正好对准标有数字的区域（未标数字的视为 0），则顾客就可以分别获得该区域相应数字的返金 券，凭返金券可以在该商场继续购物．若顾客不愿意转转盘，则每购物满 200 元可享受九五折优惠． （1）写出转动一次转盘获得返金券的概率； （2）转转盘和直接享受九五折优惠，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由． 【答案】（1） 9 20 ；（2）选择转转盘比较合算． 【详解】 （1）∵共有 20 种可能的结果，获得返金券的有 9 种情况， ∴转动一次转盘获得返金券的概率为： 9 20 ； （2）转盘合算． 理由：∵转转盘：50× 1 20 +30× 3 20 +20× 5 20 =12（元）， 直接享受九五折优惠：200×（1﹣95%）=10（元）， ∴选择转转盘比较合算． 考查题型九 判断游戏是否公平 1．（2017·浙江中考模拟）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别 2m 和 3m 的同心圆（如图）， 蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判． （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢”．请 你设计方案，解决这一问题．（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式） 【答案】（1）不公平，理由详见解析；（2）详见解析. 【解析】 解：（1）不公平，理由： 根据几何概率的求法：掷中阴影小红胜的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值；小明胜的概率为小圆 面积与总面积的比值， 而计算可得大圆面积为 9π，小圆面积为 4π．则阴影部分面积为 5π， 则阴影部分面积比小圆面积大． 则小红胜的概率大于小明胜的概率， 所以该游戏是不公平的，对小红有利； （2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积. 设计方案：①设计一个面积为 S 的正方形将非规则图形围起来，如图： ②蒙上眼在一定距离外向正方形内掷小石子,掷在正方形外不作记录； ③掷的次数充分大，记录并统计结果，其中掷入正方形内 m 次，n 次掷非规则图形内； ④设非规则图形的面积为 S1，用频率估计概率，即频率 P（掷入非规则图形内）= n m ≈概率 P（掷入非规则 图形内）= 1S S ,解得 S1≈ Sn m . 2．（2017·湖南中考模拟）杨华与季红用 5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图 1 所示，背面完全一 样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨 华得 1 分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得 1 分（如图 2）．问题：游戏规则对双方公 平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？ 【答案】（1）游戏对双方不公平 （2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得 3 分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平 【解析】 （1）这个游戏对双方不公平 ∵   3 10P 拼成电灯 ；   1 10P 拼成小人 ；   3 10P 拼成房子 ；   3 10P 拼成小山 ， ∴杨华平均每次得分为 3 1 41 110 10 10     （分）； 季红平均每次得分为 3 3 61 110 10 10     （分）． ∵ 4 10 ＜ 6 10 ， ∴游戏对双方不公平 （2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得 3 分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不惟一， 其他规则可参照给分） 考查题型十 利用概率解决实际问题 1．（2019·江西中考模拟）我市长途客运站每天 6:30 7:30 开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适 程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车 方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车， 而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆 车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 【答案】（1）共 6 种可能；（2）乘坐优等车的可能性大． 【解析】 (1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、 中、优，共 6 种可能. (2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表： 顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优 小张 优 优 中 中 差 差 小王 差 中 优 优 优 中 由表格可知： 小张乘坐优等车的概率是 1 3 ，而小王乘坐优等车的概率是 1 2 . 所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大. 2．（2019·山东中考模拟）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物 100 元以上可以 获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的 交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 m n （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位） （2）铅笔每只 0.5 元，饮料每瓶 3 元，经统计该商场每天约有 4000 名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每 天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在 3000 元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的 圆心角应调整为______度． 【答案】（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5000 元；（3）36 【详解】 （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为 0.7； 故答案为 0.7 （2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5000 元； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 n 度， 则 4000×3× 360 n +4000×0.5（1﹣ 360 n ）＝3000，解得 n＝36， 所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 36 度． 故答案为 36． 3．（2018·四川中考模拟）现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费 5 元，活动 规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成 6 个相等的扇形，参与者转动这两个转盘， 转盘停止后，指针各自指向一个数字，（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止）， 若指针最后所指的数字之和为 12，则获得一等奖，奖金 20 元；数字之和为 9，则获得二等奖，奖金 10 元； 数字之和为 7，则获得三等奖，奖金为 5 元；其余均不得奖；此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖 金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活； （1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次活动有 2000 人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生？ 【答案】(1)P（一等奖）= 1 36 ；P（二等奖）= 1 9 ，P（三等奖）= 1 6 ；（2）5000 元赞助费用于资 助贫困生． 【解析】 详解：列表得： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴一共有 36 种情况，此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的分别有 1，4，6 种情况， ∴（1）P（一等奖）= 1 36 ；P（二等奖）= 1 9 ，P（三等奖）= 1 6 ； （2）（ 1 36 ×20+ 1 9 ×10+ 1 6 ×5）×2000=5000， 5×2000﹣5000=5000， ∴活动结束后至少有 5000 元赞助费用于资助贫困生．